毕业论文开题报告 向量在立体几何中的应用
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向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be plex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect bination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving bee programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录ⅠⅠ1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用 2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=.例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行 1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ,∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为和，则有b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l . 证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量,,,.因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使y x += 将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥， 所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为和，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F （2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos=055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0)设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→,则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC 取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n )2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则有〈=cos sin β例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a BD GE ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点O （A 1z()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解 ()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==5BD =所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离29131055d ⎛⎫=-=⎪⎝⎭3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
浅谈向量在立体几何中的应用
浅谈向量在立体几何中的应用作者：陆俊玲来源：《科技风》2020年第18期摘要：众所周知，立体几何在高中数学中有着举足轻重的地位，它对于学生逻辑思维和空间想象能力的培养和提高有着重要意义。
利用空间向量可以解决所有的空间角与距离问题，并用代数的立式的形式对几何问题进行深入研究，并弥补了学生空间想象力的不足。
文中简要地论述了高中立体几何教学中的困惑，并探讨了向量在高中立体几何中的重要作用，最后结合实例，感受向量在解题中的优势所在，旨在提升我国高中立体几何的教学水平。
关键词：向量;立体几何;应用和传统的几何法相比，向量法的运用能够让学生在解答立体几何问题时变得更加快速、便捷，具有直觀、计算简单、以及不容易出错的特点。
除此之外，向量作为高中数学中的重要组成部分，它能够采用数形结合以及坐标运算的方式快速解答各类几何问题，而且无需增加辅助线，让学生的答题过程变得更加轻松、高效。
一、向量在立体几何中的重要作用向量能够把不同直线或者线段之间的几何关系运用直观的方式表现出来。
由于向量的内容较为单一而且学习难度大，所以学生在进行向量学习的过程中要具有“数形结合”的思维意识，运用代数的方式来对几何图形进行描述。
（一）提高学生的运算水平作为常用的代数对象，向量能够被运用到多种的运算模式中并且容易掌握，在提高学生解题效率和运算速度的过程中，还可以将原本复杂多变、解题难度大的几何问题用代数运算的方式进行直观地展示。
（二）具有重要的思维价值向量既可以代数运算，又能够被运用到与度量相关的几何类问题，因此具有数形结合的特点。
通过对向量的学习和运用，可以显著提高学生数学的学习兴趣，转变传统固态化的数学思维模式，提高自身的数学思维水平和空间理解能力。
二、向量法的解题方式与步骤（一）向量法的解题方式运用向量法解决立体几何问题主要有两种方式：即运用向量进行直接代数计算和利用向量坐标计算。
在通常情况下是以坐标计算为主，因为这种计算方式所需要的计算技巧较少并且学生更容易理解和运用。
向量在立体几何当中的应用
体坐标系意识打 下 基 础，防 止 学 生 在 授 课 过 程 中 难 以 理 解 立体坐标系．
2． 课上 在课上，首先是进行成果展示环节，让学生各自展示自 己如何在一个立 体 图 形 上 画 最 短 的 线，之 后 询 问 如 同样适用． 同理还可以
由平面上两条线之间的距离是作一条同时垂直于两条直线 的线引出空间中距离的计算公式． 对一些较难的问题可以
教学方法
JIAOXUE FANGFA
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向量在立体几何当中的应用
◎元凌燕 （ 福建省南平市邵武第四中学，福建 南平 354000）
【摘要】“向量”最早出现在欧洲 19 世纪 20 年代，由两 个数学家提出． 起初它是用于表示复数的形式，在时代的发 展中人们提出了 维 度 的 概 念，人 们 将 向 量 与 维 度 概 念 相 结 合，进而提出了三维、四维乃至 n 维的概念． 其中向量在物 理学中也有很大的应用，物理学中的矢量指的便是向量，用 来代表有大小有方向的量． 向量在学生的学习中占有很大 的比重，在社会生活中其具有很大的利用价值． 本文主要介 绍高中学 习 中 关 于 向 量 的 概 念 以 及 在 立 体 几 何 方 面 的 应用．
一、向量学习的重要性 （ 一） 向量使用广泛 1． 生活中的向量概念使用 随着科技的不断发展，知识改变生活的概念越加凸显， 在生活中处处都 可 以 看 到 向 量 的 使 用，向 量 使 人 们 的 生 活 质量有了很大的提升． 如，在进行铁道、桥梁建设时，要想建 设两边同时开工 而 又 不 出 现 偏 差 时 就 需 要 使 用 向 量 ，保 证 在最后的连接过程中不会出现问题． 2． 软件中处处有向量 在这个信息时代，人们使用着各型各色的软件，在软件 的研发与设计过程中无处不体现着向量的使用． 如，微信、 qq 中精美的图片在任何手机上放出都不会出现模糊，这就 是由于照片是使 用 向 量 进 行 设 计 的，换 言 之 照 片 在 传 输 过 程中是通过传输向量式而非传输像素点位置． 在建设工程 中 cad、sordwork 等建筑软件在进行绘图时也全都使用着向 量的原理，通过向量可以绘制出完美的直线． 现在人们的生 活 中 处 处 都 有 着 向 量 的 使 用 ，向 量 已 经 在潜移默化中改变着人们的生活． 学习向量的概念与运用 方式对人们有着极大的好处． 高中生作为祖国的未来，承担 着祖国未来发展的重责，学习向量则是他们获得知识提高， 为祖国发展奉献的最佳途径． （ 二） 向量在解决问题方面有独特优势 向量在解决空 间 类 问 题 有 很 大 的 优 势，本 文 主 要 介 绍 其中的一类，使用向量求直线与平面之间所成的角． 例 1 如图所示，从一个四方体 上割掉一个角，取这个角，以 AC 边作 为 x 轴，AS 边作为 z 轴，建立直角坐标 系，由图可知 AC，AB 边 均 垂 直 于 AS 边，底边三角形 ABC 为 等 边 三 角 形， SA = 3，AB = 2． 试 求 直 线 AB 与 平 面 SBC 之间所成的角的正弦值大小． 解 根据题意可以建立空间直角 坐标系． ∵ AS = 3，底边三角形 ABC 为边长为 2 的等边三角形，
浅谈向量法在立体几何中的应用
浅谈向量法在立体几何中的应用摘要：关键词：向量 空间角 空间距离 平行与垂直纵观近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。
在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,有着它独有的优势 −− 不用作图而直接计算。
下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题和平行与垂直的问题谈谈自己的看法。
一、用向量法处理空间角问题一）用向量求两条异面直线所成的角求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a,所成的角或其补角（如图1所示），即=><=,cos cos θ。
【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形，90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。
求异面直线BD 与PA 所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B得()()2,2,0,0,1,2-==，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则BCD PA图2，1010852,cos cos =⨯==><=θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为1010arccos。
利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。
题中通过><,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。
二）用向量求直线与平面所成的角如图4，求直线L 和平面α所成的角，只需在L上取定，是平面α的法向量，再求|||CP |cos n ⋅=θ，则2πβθ=-为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求直线CP 与面ADP 所成角的大小； 解：如图6，建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0P D C A ， 故()2,0,2-=()()2,1,2,2,2,0--=-= 设面ADP 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则有⎩⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02202200z y x z y 令1=y 得1=z ，21=x ，即⎪⎭⎫⎝⎛=1,1,211n ， 设直线CP 与B CD PA图5面ADP 所成角的大小为θ，故622381,cos sin 1=⨯==><=n CP θ，62arcsin=∴θ 即直线CP 与面ADP 所成角的大小为62arcsin。
向量在立体几何中的几点应用
向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。
在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。
1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。
它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。
在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。
例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。
这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。
另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。
如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。
这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。
2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。
它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。
例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。
这就用到了向量的点积。
在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。
这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。
3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。
而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。
例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。
这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。
再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。
这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。
数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
浅谈向量在立体几何中的应用
浅谈向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中是一个重要而有效的应用。
在三维几何中，向量是一种抽象
的概念，表示两个点之间的方向与距离；它可以根据加减乘除等四则运算计算出来，从而解决复杂的几何问题。
首先，向量在立体几何中用于表示Google网页上平面上直线、弧和曲线等位
置和方向，可以将它们抽象为向量，然后依据向量的特征完成平面的几何操作。
其次，向量可以用于表示Google网页上立体几何的结构，包括垂足、中线、法向量等。
例如，在研究几何图形的投影及其关系时，可以借助向量表示平面和空间图形之间的关系，从而实现立体几何的计算。
此外，在三维几何中，向量可以用于表示几何图形的平移旋转及其变换。
可以
借助向量的加减乘除等四则运算，实现对三维几何图形的变换，比如旋转、缩放等，从而满足实际应用中的要求。
综上所述，向量在立体几何中的应用十分广泛，不仅在表示平面、立体几何结
构中具有重要作用，而且还可以应用于立体几何图形变换中，从而实现几何模型变形和变换，解决实际工程问题。
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用
嘿呀，向量在立体几何中的应用那可真是太有趣啦！比如说，它可以用来求异面直线的夹角呀！就好像在一个复杂的三维世界里，向量就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角的秘密之门。
你想想，两条异面直线好比两个调皮的小精灵在空间里乱跑，而向量就能把它们抓住，告诉我们它们之间的角度呢！
还可以用向量来证明直线和平面平行呢！这就如同给直线找到了一个安稳的家——平面，向量能帮我们确认它们之间是不是和谐相处。
“哇，原来这条直线真的和这个平面平行啊！”
向量也能计算二面角的大小哦！二面角就像是空间里的一个神秘口袋，向量就能精准地告诉我们这个口袋的大小。
“嘿，有了向量，这个二面角的大小可就藏不住啦！”
甚至可以用向量来解决距离问题呢！空间中两点的距离，就像是一段未知的旅程，而向量能带着我们快速精准地找到那段距离。
“哎呀，向量真的太厉害啦，一下子就找到两点间的距离啦！”总之啊，向量在立体几何中真的是神通广大，让我们能轻松应对各种复杂的几何问题，你难道不觉得这超酷的吗？。
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【八】谢正新空间向量在立体几何中的应用[J]. 中学生数学 2004年07期
【九】冯家惠; 高根会;空间向量在立体几何中的初步应用[J]. 数学通讯 2002年13期
【十】冯红果; 苏少卿; 陈清华空间向量在立体几何中的应用[J]. 福建中学数学 2006年10期
【二】梁毅麟平面法向量在解立体几何题中的应用探究科技传播 2010年第3期
【三】杨志文新课标必修数2“立体几何初步”教学分析及建议.中学数学教学参考,2006,(1)
【四】吴金安.例谈向量解题策略[J].数学通讯,2005,(8)
【五】谭洁用好一个工具解决一揽子问题谈空间向量在立体几何中的应用
【六】李雪霞空间向量在立体几何中的应用[J]. 高中数学教与学 2004年08期
毕业设计（论文）开题报告
课题名称: 向量在立体几何中的应用
学 院: 数学与计算机学院
专业: 数学与应用数学
班 级:
指导教师:
学生姓名:
学 号:几何中的应用
学生姓名
学号
专业
数学与应用数学
1．课题的目的意义：
作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。我们发现向量在立体几何中有很大的用处：有关空间问题中的“三大角度”和“两大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途。
3、主要研究内容
1、利用向量解决“直线与直线、直线与平面、平面与平面”的位置关系问题
2、利用向量解决“空间距离”问题
3、利用向量解决“空间角”问题
4、研究方法及参考文献：
以理论指导研究，在研究过程中做好资料的累积和整理工作，写出阶段性总结。
【一】空间向量在立体几何中的应用--《高中数学教与学》2004年08期
【十一】刘晓瑜; 王萍;用空间向量法求角[J]. 山西教育(高中文科版) 2005年04期
【十二】胡银伟;空间向量在立体几何中的应用[J]. 数学爱好者(高考版) 2007年02期
【十三】周子君;空间向量在角和距离求解中的运用[J]. 数学通报 2003年11期
【十四】郑兴明;空间向量的性质及其应用[J]. 数学大世界(高中辅导) 2004年06期
二、近几年来国内外在该方向的研究现状及分析:
向量进入中学数学教材，是近几十年来国内外教学改革的一个主要特征．向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一，它是一个具有几何和代数双重身份的概念，具有特别广泛的教育价值．它来解决部分立体几何问题，可以大大降低难度，激发学生的学习兴趣，有利于学生在学习中获得成功的体验．教师在这一部分的教学中的难点和焦点在于：向量在立体几何中如何运用？如何在立体几何的教学中，正确处理好向量和传统方法的关系?怎样设计这部分知识的教学才能帮助学生更好地理解本部分的内容?
资料搜集及整理、归纳、分析.充分与导师进行沟通，完成论文初稿，并完成论文中期报告。
完成论文初稿
4
2011.4—2011.5
对论文的二稿进行修改和完善，并完成论文的最终定稿
完成论文的定稿
5
2011.5---2011.6
打印论文；撰写论文答辩提纲，完 成论文答辩
完成论文答辩
6
2011.6
对论文进行工作总结
完成论文写作的工作总结
指导教师意见
签字：
2010年月日
【十五】刘汉文;运用空间向量知识,解决立体几何问题[J]. 六盘水师范高等专科学校学报 2005年03期
五、课题分阶段进度计划：
序号
起止日期
工作内容
阶段成果
1
2010.9---2010.10
查阅资料
确定题目
2
2010.10---2010.11
查阅资料，构思论文框架，
填写开题报告
完成开题报告
3
2011.3---2011.4