姜启源 数学模型第五版-第7章
第姜启源数学模型复习总结
第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。
建模的全过程（框图）4个环节的含义。
模型的特点（技艺性）。
模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。
抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。
设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。
（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。
（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<， 即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。
传染病模型和sars的传播数学建模姜启源
传染病模型和sars的传播数学建模姜启源
传染病模型是一种数学模型，用于描述传染病的传播和蔓延过程。
传染病传播的数学建模可以帮助我们更好地理解疾病的传播机制，评估和预测疫情的发展趋势，指导疾病的控制和预防措施的制定。
SARS（严重急性呼吸综合征）是2002年至2003年期间爆发的一种严重急性呼吸道疾病，由一种名为SARS冠状病毒引起。
姜启源等研究人员在SARS爆发期间进行了一些数学建模研究，以对疾病的传播进行评估和预测。
姜启源等人基于传染病数学建模的经典理论和方法，开展了SARS传播的数学建模研究。
他们考虑了人际传播和环境传播两种传播方式，并建立了相应的动力学模型。
通过模型分析和数值模拟，他们可以估计SARS的传播速度、传播距离和传染性等参数，并通过对不同控制措施的模拟推断出最有效的控制策略。
研究结果显示，人际传播是SARS的主要传播途径，而环境传播的影响较小。
他们还发现，SARS传播速度受到接触感染率和感染者的平均潜伏期的影响。
他们的研究为SARS的疫情控制提供了重要的科学依据，并对其他传染病的传播数学建模研究提供了参考。
总的来说，姜启源等人的研究为我们对传染病的传播和控制机制有了更深入的理解，为疫情的预测和防控提供了重要的科学依据。
这些研究对于应对类似疫情的
发生和传播至关重要。
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
姜启源编《数学模型》第四版_第七章_稳定性模型
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim
t
x(t)
x0
,
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
F (x0 ) 0 x0 稳定 F (x0 ) 0 x0 不稳定
第六页，共61页。
产量模型 x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
c2 )
p2N 2
第九页，共61页。
捕捞 过度
• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大
• 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
ER
r (1 2
c) pN
R(E) T (E) S(E)
pNE (1
E ) cE
令
=0
r
c Es r(1 pN )
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
~ 临界强度
临界强度下的渔场鱼量
x1 (t )
r1x1 (1
x1 N1
)
x2 (t)
r2 x2 (1
x 2
N
)
2
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用
与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用.
模型
x1 (t )
r1 x1 1
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1
2
x1 N1
x2 N2
对于消耗甲的资源而言，
乙(相对于N2)是甲(相对于 N1) 的 1 倍.
建模
h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F(x) f (x) h(x)
有捕捞情况下渔场 鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex
数模学习(姜启源笔记)
天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输<i>姜启源数学建模资料</i>静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法<i>姜启源数学建模资料</i>问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
<i>姜启源数学建模资料</i>问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =*****元，准备费元准备费5000元，总计元总计*****元。
深圳大学 数学模型课程教学大纲
主要内容
§2.1覆盖问题
§2.2方桌问题
§2.3万有引力定律
§2.4货物交换模型
§2.5人、鸡、狗、米过河问题
§2.6到海平线的距离
§2.7思考题
教学要求
了解数学建模示例(椅子能在不平的地面上放稳吗？人、鸡、狗、米怎样安全过河，森林救火等)
理解
掌握数学建模的方法与步骤。
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
5．学分分配：3学分
（二）开设目的
随着科学技术和计算机的迅速发展，数学在各个领域中的渗透已日趋明显，数学不仅在传统的物理学、电子学和工程技术领域继续发挥着重要的作用，而且在经济、人文等社会科学领域也成为必不可少的解决问题工具。数学在经济竞争中是不可少的技术。因此，本课程按教育部教学大纲的要求，是为数学与应用数学专业设计的一门基础课，该课程旨在培养学生数学建模基本能力和善于用数学思想与方法分析与解决实际问题的能力。通过本课程的学习有助于提高学生的数学素质，和应用数学知识解决实际问题的能力。该课程主要是通过数学建模案例分析，培养学生的数学“翻译”能力，体会数学建模的技巧和过程。通过问题实际背景的机理分析，根据问题性质的因果关系，在合理的假设条件下，得到描述其数学特征的数学模型，设计合适的算法，得到和分析解的性质，并用于分析、预测、控制实际问题。通过该课程学习，使学生的数学理论实践能力得到培养和提高是该课程的教学目的和要求。
二、教学内容
第1章绪论数学模型概论
教学目的
弄清数学模型的概念，引入数学建模的方法与步骤；
主要内容
§1.1数学模型的概念
§1.2数学建模的方法与步骤
§1.3总结
教学要求
了解从现实对象到数学模型，数学建模的重要意义，数学模型的特点和分类；
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
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v (0.4118 , 0.2381 , 0.0869 ) v (0.1977 , 0.1323 , 0.0621 )
Si
Si
2 ( v v ij j ) j 1
3
3
S+=(0.2141,0.1470,0.1087) S--=(0.1087,0.0966,0.2141) C+=(0.3368,0.3966,0.6633) 归一化 C+=( 0.2411,0.2840,0.4749)
dij
标准化第2步：对dij作比例尺度变换
rij
d
i 1
m
rij
ij
i 1, 2 ,m
max dij
rij
dij
2 d ij i 1 m
R的列和为1 ~归一化
R的列最大值 为1~最大化
R的列模为1 ~模一化
R~标准化的决策矩阵 当且仅当dij=0时才有rij=0 比例变换假定: 属性的重要性随属性值线性变化.
vi d , i 1,2,, m
wj ij j 1
n
• 可直接用方案对属性的原始值dij, 不需要标准化.
• 若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的
权重应取负值 .
3. 接近理想解的偏好排序法 (TOPSIS , Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）
25 9 7 D 18 7 7 12 5 5
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5
性能X2, 款式X3
对费用型的属性值dij作倒数变换 ——将全部属性统一为效益型.
1）决策矩阵及其标准化
dij
R (rij )mn , 0 rij 1
rij Ej Fj wj
w1最大
3种汽车价格X1取值相差最大,款式X3取值相差最小. • rij (i=1,2,…,m)的均方差可作为区分度Fj (m较大时).
3）主要的综合方法
决策矩阵 + 属性权重 方案对目标的权重 综合方法 （综合取值）
1. 简单加权和法 (SAW, Simple Additive Weighting)
n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统
• 每个点的坐标由各方案标准化的加权属性值确定. • 决策矩阵模一化, 以便在空间定义欧氏距离.
• 正理想解(最优方案)由所有最优加权属性值构成.
• 负理想解由所有最劣加权属性值构成. • 定义距正、负理想解距离的数量指标:相对接近度.
• 按照相对接近度确定备选方案的优劣顺序.
属性Xj对于方案的区分度 Xj的权重(归一化的区分度) w Fj , j n
F
j 1
j 1,2,, n
j
2）属性权重的确定
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5 归 一 化
汽车选购
X1 0.2236 0.3106 0.4658 0.9594 0.0406 0.5330 X2 0.4286 0.3333 0.2381 0.9749 0.0251 0.3293 X3 0.3684 0.3684 0.2632 0.9895 0.0105 0.1377 w3最小
SAW(R归一化, 最大化), WP结果差别很小, TOPSIS结果差别稍大. 优劣顺序均为A3 , A2 , A1
• 简单、直观的加权和法(SAW)是人们的首选.
• SAW的前提~属性之间相互独立, 并且具有互补性.
多属性决策应用的步骤
1. 确定决策目标、备选方案与属性集合；
2. 用量测、调查等手段确定决策矩阵和属性权重, 推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重；
D (dij )mn , dij 0 ~决策矩阵
决策矩阵的获取
• 调查、量测各方案对属性的取值(定量, 偏于客观). • 决策者打分评定或用层次分析法的成对比较得到 (定性, 偏于主观).
1）决策矩阵及其标准化 决策矩阵D的列~各方案对某属性的取值(属性值). 各属性物理意义(包括量纲)不同 决策矩阵标准化 标准化第1步：区分 费用型属性 价格X1 效益型属性
以汽车选购为例说明如何确定决策矩阵、 属性权重以及利用综合方法得到决策结果. • 3个方案供决策 ~ 选购的汽车型号A1, A2, A3 • 3个属性为选购准则 ~ 价格X1, 性能X2, 款式X3 • 3种汽车价格(万元): 25, 18, 12
• 3种汽车性能 (打分, 10分满分): 9, 7, 5
汽车选购等决策问题的共同特点 • 考虑的因素常涉及经济、社会等领域，对它们的 重要性、影响力作比较、评价时缺乏客观的标准. • 待选对象对于这些因素的优劣程度常难以量化. 多属性决策是处理这类决策问题的常用方法. 什么是多属性决策 为一特定目的在备选方案中确定一个最优的 (或 给出优劣排序、优劣数值), 而方案的优劣由若干 属性(准则、特征、性能)给以定量或定性的表述.
比例尺度变换的理想模式和分配模式
• 两种模式计算的结果数值上一般不会相同. • 方案的优劣排序大体上一致(方案数量不多时).
在实际应用中究竟应该采用哪种模式?
理想模式~决策者关心每个方案相对于基准指标 的优劣; 从众多候选方案中只选一个最优者. 分配模式~决策者关心每个方案相对于其他方案 的占优程度; 需要对候选方案的优劣给出定量评 价;特别用于资源分配问题.
2. 区间尺度变换使用中的问题 区间尺度变换 ~对原始权重dij作伸缩与平移变换
2 ( v v ij j ) j 1
C i
S i S i S i
汽车选购
方法 方案 A1 A2 A3
用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序
SAW (R归一化) 0.3110 0.3260 0.3629 SAW (R最大化) 0.3162 0.3277 0.3562 WP 0.3067 0.3364 0.3569 TOPSIS 0.2411 0.2840 0.4749
2）属性权重的确定 方案关于属性Xj的熵
E j k rij ln rij , k 1 ln m
i 1 m
rij=1/m时Ej=1. Xj对于辨别方案优劣不起作用. rij只有一个1其余为0时Ej=0 Xj最能辨别方案优劣.
Fj 1 E j , 0 Fj 1
rij (i=1,2,…,m)相差越大, Ej越小, Xj越能辨别优劣.
• 3种汽车款式: 7, 7, 5 dij~Ai对Xj的取值 (原始权重)
dij A1 A2 A3 X1 25 18 12 X2 9 7 5 X3 7 7 5
1）决策矩阵及其标准化
m个备选方案 A1, A2,…,Am n个属性 X1, X2, …, Xn dij ~Ai对Xj的取值
25 9 7 汽车 D 18 7 7 选购 12 5 5
2）属性权重的确定 w1, w2, , wn~属性X1, X2, …, Xn的权重
• 根据决策目的和经验先验地给出. • 用层次分析法的成对比较Βιβλιοθήκη 到.，wj 1
n
j
1
偏于主观
• 信息熵法
偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的 (概率)分布越一致，不确定性越大. R归一化的每一列 (r1 j , r2 j ,, rmj ) ~ 各方案对Xj信息量的(概率)分布.
汽车选购
用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5
统一为效益型的决策矩阵 R归一化 R最大化
R模一化
0.2236 0.4286 0.3684 0.4800 1.0000 1.0000 0.3709 0.7229 0.6312 , R 0.6667 0.7778 1.0000, R 0.5151 0.5623 0.6312 R 0 . 3106 0 . 3333 0 . 3684 0.4658 0.2381 0.2632 1.0000 0.5556 0.7143 0.7727 0.4016 0.4508
属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T
汽车选购
用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序
1. 简单加权和法 (SAW) R归一化
v Rw
v=(0.3110,0.3260,0.3629)T v=(0.7228,0.7492,0.8143)T
v归一化
R最大化
v=(0.3162,0.3277,0.3562)T
3. 将全部属性统一 (如效益型)，并采用归一化、 最大化或模一化对决策矩阵标准化；
4. 选用加权和、加权积、TOPSIS等综合方法 计算方案对目标的权重，作为决策的依据.
多属性决策应用中的几个问题
1. 比例尺度变换的归一化和最大化 归一化 ~ 分配模式 (Distributive Mode) • 列和为1: 各方案分配总量固定(1单位)的资源. • 某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之改变. 最大化 ~ 理想模式 (Ideal Mode) • 列最大值为1:各方案与占资源1的最优方案比较. • 任一方案的属性值独立于最优方案外的其他方案.
R (rij ) mn
n n
w (w1 , w2 , , wn )T
方案Ai 对n个属性的综合取值为
vi vij rij w j , i 1,2,, m
j 1 j 1
对决策矩阵采用不同的标准化,得到的结果会不同.
2. 加权积法（WP, Weighted Product） 将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：
2. 加权积法(WP)