生物统计学教案(4)

生物统计学教案

第四章 抽样分布

教学时间：2学时 教学方法：课堂板书讲授

教学目的：重点掌握样本平均数的t 分布、F 分布和样本方差的X 2分布，掌握两个样

本标准差比的分布。

讲授难点：t 分布、F 分布和X 2分布

4.1 从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布 4.1.1 样本平均数的分布

标准差已知时的平均数的分布

从平均数为μ，标准差为σ的正态总体中，独立随机地抽取含量为n 的样本，其样本平均数为一服从正态分布的随机变量。它的平均数和方差分别为：

σ/n 称为标准误差。标准化的平均数

服从N (0,1)分布。

标准差未知时的平均数的分布－t 分布

若上述总体的标准差未知，可以用样本标准差代替总体标准差，标准化的平均数称为t

统计量t 不再服从N (0,1)分布，而服从n - 1自由度的t 分布。 S/n 称为样本标准误差。

n

x x σ

σμμ=

=n

x u σ

μ

-=

n

s x t μ-=

t 分布也是一种对称分布，在密度函数中只有自由度一个参数，随着自由度的增加，t 分布越来越接近于标准正态分布。

不同自由度下的t 分布

与标准正态分布类似，t 分布的上侧、下侧和双侧临界值，由以下各式给出： 对于给定的α从附表4中可以查出相应的上侧、下侧和双侧临界值。

4.1.2 样本方差的分布

从方差为σ2的正态总体中，随机抽取含量为n 的样本，计算出样本方差s 2，

标准化的s 2称为χ2。

()()αα

α

α

αα

=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛≥=-≤

=≥2t t P t t P t t P ()2

2

2

2

2

1σσ

χs n s df df -=

=

在这里，χ2服从n－1自由度的卡方分布。它是概率曲线随自由度而改变的一类分布。

附表6给出了P(χ2 >χ2

α

) =α时的χ2

α

，称为上侧临界值。该图形是不对称的，求下侧临界值时不能用标准正态分布和t分布的方法查找。正确的做法是，只要查出1－α的上侧临界值即可。

χ2分布的上侧和下侧分位点

4.2 从两个正态总体中抽取的样本统计量的分布

4.2.1 标准差σi已知时，两个平均数的和与差的分布

()

(

)

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

x

x

σ

σ

σ

μ

μ

μ

+

=

±

=

±

±

如果两个总体的分布都是正态或近似正态的，平均数的和与差的分布也是正态的

标准化的变量服从标准正态分布

4.2.2 标准差σi 未知但相等时，两个平均数的和与差的分布

当σ1和σ2未知时，可用s 1和s 2代替，标准化变量t 服从df 1+df 2自由度的t 分布，统计量t 为：

4.2.3 两个样本方差比的分布—F 分布

统计量F 的定义为：

F 分布的密度函数是由两个自由度df 1和df 2决定的。属于不对称分布，分布曲线如下图。F 分布的临界值的查法，将在下一章中介绍。

()⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±

22

212121,n

n N σσμμ()()

2

22

1

21

2121n n x x u σσμμ+

±-±=

()()

()()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+--+-±-±=

+21212

22211212111111121n n n n s n s n x x t df df μμ22

22212

1

σσs s F =