§2.1 函数的概念及其表示

对应学生用书起始页码 Ｐ１２
一、函数定义域问题的求解
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（２） 由题意得－８≤２ｘ＋１≤１，解得－
９ ２
≤ｘ≤０，由
ｘ ＋ ２≠０，解
[ ) 得 ｘ≠－２，故函数的定义域是
－
９ ２
，－２
∪（ －２，０］ ，故选 Ｃ．
答案 （１）Ｂ （２）Ｃ
１－１
下列函数中，与函数
ｙ
＝
１ ３ｘ
定义域相同的函数为
（ ）
Ａ．ｙ
＝
１ ｓｉｎ
ｘ
Ｂ．ｙ
＝
ｌｎ ｘ
ｘ
Ｃ．ｙ ＝ ｘｅｘ
分类讨论法 分离参数法 分类讨论法 转化法 分类讨论法
代入求值法
２０１５ 课标Ⅱ，１０ ５ 分 选择题 易 函数图象的识辨 根据文字描述确定函数大致图象
排除法；定量计算法
逻辑推理； 直观想象 逻辑推理； 直观想象 直观想象； 逻辑推理 数学运算 数学运算； 直观想象
数学运算
数学运算
数学运算
数学运算
直观想象； 逻辑推理
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考点一 函数的概念及其表示
１．函数的有关概念 （１） 函数的定义：设 Ａ、Ｂ 为两个非空的数集，如果按照某种确
定的对应关系 ｆ，使对于集合 Ａ 中的任意一个数 ｘ，在集合 Ｂ 中都 有唯一确定的数 ｆ（ｘ） 和它对应，那么就称 ｆ：Ａ→Ｂ 为从集合 Ａ 到 集合 Ｂ 的一个函数，记作 ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ，其中 ｘ 叫自变量．
时要注意新元的取值范围．
( ) ４．解方程（ 组） 法：已知关于 ｆ（ ｘ） 与 ｆ
１ ｘ
或 ｆ（ ｘ） 与ｆ（ －ｘ）
的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式，组成方程组，
通过解方程组求出 ｆ（ｘ）．
（１）已知 ｆ（ ｘ ＋１）＝ ｘ＋２ ｘ ，则 ｆ（ｘ）＝ ．
（２） 已知 ｆ（ ｘ）是一次函数，且满足 ３ｆ（ ｘ＋１） －２ｆ（ ｘ－１） ＝ ２ｘ＋
入原式得 ｆ（ ｔ） ＝ （ ｔ－１） ２ ＋２（ ｔ－１） ＝ ｔ２ －１，所以 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ －１（ ｘ≥１） ．
（２） （ 待定系数法） 设 ｆ （ ｘ） ＝ ａｘ ＋ ｂ （ ａ ≠ ０） ， 则 ３ｆ （ ｘ ＋ １） －
２ｆ（ ｘ－１） ＝ ａｘ＋５ａ ＋ｂ，所以 ａｘ ＋ ５ａ ＋ｂ ＝ ２ｘ ＋ １７ 对任意实数 ｘ 都成
重基础知识的考查，又注重能力的考查． ２．考查形式 既 有 单 独 考 查 的 情 况， 又 有 与
其他内容结合命题的情况，形式多样，难 度以中等为主． ３．以函数性质为主，常以指数函数，对数函 数，分段函数 为载体， 考查函数的 综 合 应用．
第二章 函数的概念与基本初等函数 ７
§ ２．１ 函数的概念及其表示
０２ 考频赋分 每年 ２ 个小题，分值为 １０ 分．
０３ 题型难度 题型有选择题、填空题，多数为中档题或较 难的题．
０４ 命题特点 １． 函数零 点、 方 程 的 根 的 相 关 考 查 常 出 现
在第 １１ 题、１５ 题的位置，难度较大，解决 这类问题的关键在于函数的构造及数形 结合法的使用． ２．分段函 数 的 考 查 是 这 些 年 的 热 点 问 题， 难度较大，常结合复合函数、初等函数以 及导数进 行 命 题， 考 查 函 数 的 图 象 和 性 质、零 点 问 题、 最 值 问 题、 不 等 式 的 求 解 问题，解决 这 类 问 题 的 关 键 是 充 分 利 用 函数图象及分类讨论思想．学生需要具有 较强的运 算 能 力、 逻 辑 推 理 能 力 和 直 观 想象能力．
２ （４）
３
ｘ
＋
１ ３
２－１ 设 ｆ（ ｘ） 是定义在 Ｒ 上的奇函数，当 ｘ＞０ 时， ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２
－２ｘ＋３．则 ｆ（ｘ）在 Ｒ 上的解析式为 ．
第二章
函数的概念与基本初等函数
真题多维细目表
考题
涉分 题型 难度
考点
考向
解题方法
核心素养
２０１９ 课标Ⅲ，７ ５ 分 选择题 中 函数图象的识辨 ２０１９ 课标Ⅲ，１１ ５ 分 选择题 难 函数的单调性
已知 函 数 解 析 式 确 定 函 数 的 大 致 排除法
图象 已知函数奇偶性与单调性比较函数
直接法 值的大小
０５ 解题方法 配方法、换元法、构造法、图象法、数形结合 法、分离参数法、分类讨论法、特值法等．
０６ 核心素养 学科核心素养以数学运算、直观想象、逻辑 推理为主．
０７ 关联考点 导数、 三 角 函 数、 向 量、 不 等 式、 解 析 几 何等．
０８ 命题趋势 １．本章必然 是 高 考 的 重 点 考 查 内 容， 既 注
的定义域为
（ ）
Ａ．（ －１，１）
( ) Ｂ．
－１，－
１ ２
Ｃ．（ －１，０）
( )１
Ｄ． ，１ ２
１－２ 答案 Ｂ
解析 已知 ｆ（ｘ）的定义域为（ － １，０），则－ １＜ ２ｘ＋ １＜ ０，解
( ) 得－１＜ｘ＜－
１ ２
，所以函数ｆ（ ２ｘ＋ １）
的定义域为
－１，－ １ ２
，选 Ｂ．
８ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
二、函数解析式问题的求解
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２０１８ 课标Ⅲ，７ ５ 分 选择题 中难 函数图象的识辨 根据函数方程确定函数大致图象
排除法；定量计算法
２０１８ 课标Ⅲ，１５ ５ 分 填空题 中难 函数与方程 ２０１７ 课标Ⅲ，１１ ５ 分 选择题 难 函数与方程 ２０１７ 课标Ⅲ，１５ ５ 分 填空题 中难 分段函数 ２０１６ 课标Ⅲ，６ ５ 分 选择题 易 指数式与指数函数 ２０１６ 课标Ⅲ，２１ １２ 分 解答题 难 二次函数
由 ｇ（ｘ）∈Ａ 求出 ｘ 的范围，即为 ｙ ＝ ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域．
（２） 已知 ｙ ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域是 Ａ，求 ｙ ＝ｆ（ｘ）的定义域，可由 ｘ
∈Ａ 求 ｇ（ｘ）的范围（即 ｙ ＝ｇ（ｘ）的值域），即为 ｙ ＝ｆ（ｘ）的定义域．
（１） （ ２０１８ 云南 师大 附中 １２ 月月 考，２） 函数 ｆ （ ｘ） ＝
Ｄ．ｙ
＝
ｓｉｎ ｘ
ｘ
１－１ 答案 Ｄ
解析
函数
ｙ
＝
１ ３ｘ
的定义域为｛
ｘ
｜
ｘ≠０｝
，Ａ
选项中函数的
定义域为｛ ｘ ｜ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ｝ ；Ｂ 选项中函数的定义域为｛ ｘ ｜ ｘ＞０｝ ；
Ｃ 选项中函数的定义域为｛ ｘ ｜ ｘ∈Ｒ｝；Ｄ 选项中函数的定义域为
｛ ｘ ｜ ｘ≠０｝ ，故选 Ｄ．
１－２ 已知函数 ｆ（ ｘ） 的定义域为（ －１，０） ，则函数 ｆ（ ２ｘ＋ １）
{ { 立，所以
ａ ＝ ２，
５ａ＋ｂ
＝
解得 １７，
ａ ＝ ２， ｂ ＝ ７． 所以
ｆ（ ｘ） ＝
２ｘ＋７．
( ) ( ) （３）（配凑法） ｆ
ｘ＋
１ ｘ
＝
ｘ２
＋
１ ｘ２
＝
æ
ç
è
ｘ２
＋２＋
１ ｘ２
ö
÷
ø
－２ ＝
ｘ＋
１ ｘ
２
－２，所以 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ －２（ ｜ ｘ ｜ ≥２） ．
( ) （４）（消去法） 在 ｆ（ ｘ） ＝ ２ｆ
１．配凑法：由已知条件 ｆ（ ｇ（ ｘ） ）＝ Ｆ（ ｘ） ，可将 Ｆ（ ｘ） 改写成关
于 ｇ（ ｘ） 的表达式，然后以 ｘ 替代 ｇ（ ｘ） ，便得 ｆ（ ｘ） 的表达式．
２．待定系数法：若已知函数的类型（ 如一次函数、二次函数）
可用待定系数法．
３．换元法：已知复合函数 ｆ（ｇ（ ｘ）） 的解析式，可用换元法，此
１７，则 ｆ（ ｘ）＝ ．
( ) （３）已知 ｆ
ｘ＋
１ ｘ
＝
ｘ２
＋
１ ｘ２
，则
ｆ（
ｘ）
＝
．
( ) （４） 已知函数 ｆ（ ｘ） 的定义域为（ ０，＋∞ ） ，且 ｆ（ ｘ） ＝ ２ｆ
１ ｘ
· ｘ －１，则 ｆ（ｘ）＝ ．
解析 （１）（换元法） 令 ｘ ＋１ ＝ ｔ，则 ｘ ＝ （ ｔ－１） ２（ ｔ≥１），代
１ ｘ
·
ｘ －１ 中，将 ｘ 换成
１ ｘ
，则
( ) ìïïｆ（ｘ）＝ ２ｆ
１ ｘ
· ｘ －１，
由í
( ) îïïｆ
１ห้องสมุดไป่ตู้ｘ
＝ ２ｆ（ｘ）·
１ －１， ｘ