2015年高中数学 1.5二项式定理导学案 苏教版选修2-3

1.5 二项式定理
1．二项式定理
(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a
n －1
b ＋…＋C r n a
n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *
)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n
的二项展开式，它一共n ＋1项，
其中C r n a n －r b r 叫做二项展开式的第r ＋1项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n a
n －r b r
. C r n (r ＝0,1，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．
预习交流1
你是如何理解和记忆二项式定理的？
提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n ；字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n .
2．二项式系数的性质及应用
一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n
n 有如下性质：
①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；③当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ，当r ＞n －12时，C r ＋1
n ＜C r n ；④C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .
预习交流2
如何说明C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n ·C n
n ＝0.
提示：利用赋值法，令公式中的
a ＝1，
b ＝－1，展开就会得到上式．
一、二项式定理
求⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．
思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形
后再展开．
解：解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋C 3
4
(3x )⎝
⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 4＝81x 2
＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝ 3x ＋1 4
x 2
＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2
＋108x ＋54＋12x ＋1
x
2.
求二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10
的展开式中的常数项．
解：设第r ＋1项为常数项，则10C r (x 2)10－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x r ＝10C r
5202r x -·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r (r ＝0,1，…，10)，
令20－52r ＝0得r ＝8，所以第9项为常数项，常数项为C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫128
＝45256
.
利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r 的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．
二、二项式系数的性质及应用
如果(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7
，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝__________. 思路分析：比较展开式与a 1＋a 2＋…＋a 7结构，会发现当x ＝1时，含有a 1＋a 2＋…＋a 7，
即(1－2)7
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，从而只要知道a 0即可．
答案：－2
解析：令x ＝0得(1－2×0)7
＝a 0，∴a 0＝1.
再令x ＝1，则有(1－2×1)7
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.
∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－1－1＝－2.
设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012
(x ∈R )． (1)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值．
(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．
解：(1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012
.①
令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝(－1)2 012
＝1.②
由①②，得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011)＝1－32 012
，
∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－3
2 012
2
.
(2)∵T r ＋1＝2012C r 1
2 012－r
·(－2x )r
＝(－1)r
2012C r (2x )r
，
∴a 2k －1＜0(k ∈N *
)，a 2k ＞0(k ∈N *
)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012|
＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012
.
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多
项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为f 1 －f －1 2，偶数项系数的和为f 1 ＋f －1
2.
1．⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *
)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值为__________．
答案：5
解析：T r ＋1＝C r n (2x 3)
n －r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n ·x 3n －5r .
令3n －5r ＝0，
又∵0≤r ≤n ，r ，n ∈Z ，∴n 的最小值为5.
2．(1＋2x )3
(1－3x )5的展开式中x 的系数是__________． 答案：2
解析：(1＋2x )3
(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，
故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 0
5＝－10x ＋12x ＝2x . 3．⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋a x
5
(x ∈R )展开式中x 3
的系数为10，则实数a 等于__________．
答案：2
解析：T r ＋1＝5C r
x r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x
5－r ＝5C r a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，
∴r ＝4.∴C 4
5·a ＝10，解得a ＝2.
4．在⎝
⎛⎭⎪⎫32x －1220
的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？
解：T r ＋1＝20
C
r (32x )
20－r
⎝
⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r ·20C r ·x 20－r
. ∵系数为有理数，∴(2)r
与203
2r -均为有理数．
∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． ∴r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20，∴符合题意的有4项．
5．m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2
的系数的最小值
及此时展开式中x 7
的系数．
解：由题设知m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *
， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝17，…⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝18，n ＝1. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2
－19m ＋171.
∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 7
10＝156.。