山东省济南外国语学校三箭分校2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(解析版) (1)

2015-2016学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷一、选择题1．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°2．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（）A．B．C．D．或3．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A．50 B．49 C．48 D．474．（文）已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．105．已知a，b，c∈R，下列命题中正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．ac2＞bc2⇒a＞bC．D．a2＞b2⇒a＞|b|6．在△ABC中，若2acosB=c，则△ABC必定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在等比数列{a n}中，a6，a10是方程x2﹣8x+4=0的两根，则a8等于（）A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．不能确定8．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣149．下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C．D．10．若已知x＞，函数y=4x+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：11．等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，m∈N*，且，则m=．12．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于．13．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．14．数列{a n}中，数列{a n}的通项公式，则该数列的前项之和等于．15．x、y为正数，若2x+y=1，则的最小值为．三、解答题（共60分）16．（1）求函数的定义域．（2）若（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．17．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，求甲、乙两楼的高．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，．（1）求数列{a n}通项公式，并证明{a n}为等差数列．（2）求当n为多大时，S n取得最小值．19．学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC=c•cosB，△ABC的面积S=10．（1）求角C；（2）若a＞b，求a、b的值．21．已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．2015-2016学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选D【点评】本题主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题2．在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则A=，故选：C．【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3．等差数列{a n}中，已知a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A．50 B．49 C．48 D．47【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由a n=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值．【解答】解：设公差为d，∵a1=，a2+a5=4，∴a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=．再由a n=a1+（n﹣1）d=+（n﹣1）×=33，解得n=50，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．4．（文）已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．10【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】因为S n表示数列的前n项的和，所以a5表示数列前5项的和减去数列前4项的和，进而可得到答案．【解答】解：由题意可得：a5=S5﹣S4，因为S n=2n（n+1），所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，所以a5=20．故选C．【点评】解决此类问题的关键是掌握S n表示的意义是数列前n项的和，并且加以正确的计算．5．已知a，b，c∈R，下列命题中正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．ac2＞bc2⇒a＞bC．D．a2＞b2⇒a＞|b|【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．取c=0时，即可判断出；B．利用不等式的性质即可得出；C．取a=1，b=﹣2，即可判断出；D．取a=﹣2，b=1，即可判断出．【解答】解：A．取c=0时，ac2=bc2=0，因此不正确；B．∵ac2＞bc2，∴a＞b，正确；C．取a=1，b=﹣2，满足a3＞b3，但是a=，因此不正确；D．取a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但是a＜|b|，因此不正确．综上可知：只有B正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，属于基础题．6．在△ABC中，若2acosB=c，则△ABC必定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】△ABC中，2acosB=c，由正弦定理可知2sinAcosB=sinC=sin（A+B），展开后逆用两角差的正弦即可．【解答】解：∵△ABC中，2acosB=c，∴由正弦定理得：2sinAcosB=sinC，又△ABC中，A+B+C=π，∴C=π﹣（A+B），∴sinC=sin（A+B），∴2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin（A﹣B）=0，又A、B为△ABC中的内角，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC必定是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，考查两角和与两角差的正弦，属于中档题．7．在等比数列{a n}中，a6，a10是方程x2﹣8x+4=0的两根，则a8等于（）A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．不能确定【考点】等比数列的性质；根与系数的关系．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用韦达定理，结合等比数列的性质，即可求得结论．【解答】解：∵a6，a10是方程x2﹣8x+4=0的两根，∴a6a10=4，a6+a10=8，∴a6＞0，a10＞0∵数列{a n}是等比数列∴a82=a6a10=4∴a8=2故选：B．【点评】本题考查韦达定理，考查等比数列的性质，属于基础题．8．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题．【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a、b即可．【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．9．下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C．D．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：对于A．∵，∴=2，当且仅当x=1时取等号．因为只有一个正确，故选A．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．10．若已知x＞，函数y=4x+的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．【解答】解：x＞，函数y=4x+=4x﹣5++5≥2+5=7，当且仅当4x﹣5=即x=时取等号．故选：B．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．二、填空题：11．等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，m∈N*，且，则m=15．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．+a n+1=2a n，由此根据已知条件得到2a m﹣a m2=0，解得a m=2，由此能求【分析】由等差数列的性质得a n﹣1出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，m∈N*，+a n+1=2a n，∴a n﹣1∵且，+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0∴a m﹣1解得：a m=2，=（2m﹣1）a m=58又∵S2m﹣1∴2m﹣1=29，解得m=15．故答案为：15．【点评】本题考查等差数列中项数m的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于．【考点】正弦定理；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，得B=60°，再利用面积公式可求．【解答】解：由题意，∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴B=60°∴S=ac×sinB=故答案为【点评】本题以等差数列为依托，考查正弦定理，考查三角形的面积公式，属于基础题．13．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣3．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小由题意可得，当y=﹣2x+z经过点C时，z最小由，可得A（﹣1，﹣1），此时z=﹣3故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义14．数列{a n}中，数列{a n}的通项公式，则该数列的前9项之和等于．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用“裂项求和”可得S n，即可得出．【解答】解：∵=，∴S n=+…+=1﹣=，令=，解得n=9．∴该数列的前9项之和等于．故答案为：9．【点评】本题考查了“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．x、y为正数，若2x+y=1，则的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意整体代入可得=（2x+y）（）=3++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x、y满足2x+y=1，∴=（2x+y）（）=3++≥3+2=，当且仅当=即x=且y=﹣1时取等号．故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及“1”的整体代换，属基础题．三、解答题（共60分）16．（1）求函数的定义域．（2）若（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）求被开方数≥0，对分母x﹣2分别讨论即可；（2）对二次项系数m+1分别讨论，当系数为零时，显然不成立，要使小于零恒成立，则开口向下，且与x轴无交点，即，△=（m﹣1）2﹣12（m+1）（m﹣1）＜0．【解答】解：（1）≥0，∴当x＞2时，（x﹣1）（x+2）≥0，∴x＞2；当x＜2时，（x﹣1）（x+2）≤0，∴﹣2≤x≤1，故定义域为[﹣2，1]∪（2，∞）；（2）当m=﹣1时，2x﹣6＜0恒成立，显然错误，m≠﹣1；当m≠﹣1时，∴m+1＜0，△=（m﹣1）2﹣12（m+1）（m﹣1）＜0，∴m＜﹣．【点评】考查了三次不等式解法和二次函数分类讨论．17．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，求甲、乙两楼的高．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；解三角形．【分析】由题意画出图形，过点C作CM⊥AB于点M，根据题意得：CM=BD=20米，∠ACM=30°，∠ADB=60°，然后在Rt△ACM与Rt△ADB中，用正切函数计算即可求得两楼的高度【解答】解：如图过点C作CM⊥AB于点M，根据题意得：CM=BD=20米，∠ACM=30°，∠ADB=60°，在Rt△ACM中，tan30°==∴AM=CM=20×=（米），在Rt△ADB中，tan60°=∴AB=DB•tan60°=20（米），CD=AB﹣AM=20﹣=（米）所以甲楼高米，乙楼高米【点评】本题考查了应用正弦定理、余弦定理解三角形应用题问题；一般是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，通过解这些三角形，从而使实际问题得到解决．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，．（1）求数列{a n}通项公式，并证明{a n}为等差数列．（2）求当n为多大时，S n取得最小值．【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由，由，能求出数列{a n}通项公式，并能证明{a n}为等差数列．（2）由当时，解得n≤4，能求出S n取得最小值是n的值．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，，∴当n≥2时，=2n﹣8，当n=1时，S1=a1=﹣6，满足上式，∴，又∵，∴{a n}为等差数列．（2）∵当时，解得n≤4，a4=2×4﹣8=0，∴当n=3或n=4，时S n取得最小值．【点评】本题考查数列的通项公式和等差数列的证明，考查S n取得最小值时项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】先设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，又设占地面积为ym2，依题意，写出函数y的解析式，再利用基本不等式求出此函数的最小值即得游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小．【解答】解：设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为，又设占地面积为ym2，依题意，得，当且仅当，即x=28时，取“=”．答：游泳池的长为28m，宽为14m时，占地面积最小为648m2【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、基本不等式的知识解决实际问题的能力．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC=c•cosB，△ABC的面积S=10．（1）求角C；（2）若a＞b，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；函数思想；转化法；解三角形．【分析】（1）已知等式利用余弦定理化简整理后得到一个关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinC及已知面积代入取出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形求出a+b的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（1）解：（1）∵（2a﹣b）cosC=c•cosB，由余弦定理（2a﹣b）•=c•，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC=，∵在三角形中，C∈（0，π），∴C=；（2）由可得：ab=40，①由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=49=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣120，即a+b=13，②联立①②解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∵a＞b，∴a=8，b=5．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．21．已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先把n=1代入求出a1，再利用a n+1=S n+1﹣S n求解数列的通项公式即可．（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=1﹣a n①∴S n+1=1﹣a n+1②②﹣①得a n+1=﹣a n+1+a n⇒a n；n=1时，a1=1﹣a1⇒a1=（Ⅱ）因为b n==n•2n．所以T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1④③﹣④﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=整理得T n=（n﹣1）2n+1+2．【点评】本题的第一问考查已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．。