理工附中初三数学零模测试终结稿4.19附答案及评分标准
2019-2020年九年级数学模拟检测试题参考答案及评分意见
2019-2020年九年级数学模拟检测试题参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．B 9．D 10．D 11．C 12．B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13． 14． 15．20 16．9三、解答题(本大题共5小题，共44分)17.解：6)1(30cos 3)2017(2201701-+--︒+---π6)1(233121+--⨯+-= …………………………… 4分 …………………………… 6分…………………………… 8分18．证明：∵ BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，∴ BE ∥DF ，∠BEA =∠DFC =90°. ……………………………… 1分∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB =CD , AB ∥CD. ……………………………………………… 2分∴ ∠BAE =∠DCF . ………………………………… 3分在△ABE 和△CDF 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB DCF BAE DFC BEA ,∴ △ABE ≌△CDF . ……………………………………………… 5分 ∴ BE =DF . ………………………………… 6分又∵ BE ∥DF ，∴ 四边形BEDF 是平行四边形. ……………………………… 7分∴ DE =BF . ……………………………………………… 8分19.解：（1）40； ………………………………………………… 1分 补全统计图如图所示：………………………………… 3分（2）10，40，144 …………………………… 6分（3）设获A等级的小明用A表示，其他的三位同学用a、b、c表示，画树状图如下：…………………………… 8分共12种等可能的结果，其中小明参加市朗诵比赛的结果有6种，∴A等级的小明参加市朗诵比赛的概率为： P（小明参加市比赛）==.…………………………… 9分20. 解：（1）过点A作AH⊥PQ于点H．………………………… 1分∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴AH：PH=1：2.4.设米，则米. ………………………… 2分在Rt△APH中，由勾股定理得，即．解得．………………………… 3分∴AH=10米．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．………………………… 4分（2）延长BC交PQ于点D．∵ AH ：PH =1：2.4，AH =10，∴ PH =24 . ………………………… 5分 ∵ BC ⊥AC ，∴ ∠ACB =∠ACD =90°，∵ AC ∥PQ ，∴ ∠BDP =∠ACB =90°，∴ 四边形AHDC 是矩形，∴ CD =AH =10，AC =DH ． ………………………… 6分∵ ∠BPD =45°，∴ ∠PBD =45°=∠BPD.∴ PD =BD ． ………………………… 7分 设BC =，则．∴． ………………………… 8分在Rt △ABC 中，︒=∠=76tan tan BAC ACBC ，即， 解得 .答：古塔BC 的高度约为19米. ………………………… 9分21. 解：（1）∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴ ，且. ……………………………… 2分解得：且．∴ 的取值范围是且． ……………………………… 4分（2）∵ 原方程的两个实数根为、，∴ ，． ……………………………… 5分∵ 且，∴ ，，∴ ，． ……………………………… 6分∵ ，∴ ，即.∴ ， ……………………………… 8分整理得 ，解得：，. ……………………………… 9分又∵ 且，∴ 不合题意，舍去.经检验，是方程的解.∴的值为. ……………………………… 10分B 卷（共60分）四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）22.2 23.1 24. 25.23题：解法一（特殊值法，仅用于解选择填空题）：考虑其特殊位置，PQ ∥BC 时，易知，，故.解法二(适用于解答题)：当PQ ∥BC 时，易知；当PQ 与BC 不平行时，过点A 作BC 的平行线交PQ 于点E ，设PQ 交直线BC 于点F . 若F 在BC 延长线上，易证△BPF ∽△APE ，△CQF ∽△AQE ，于是有AECF AE DF BD AE CF AE BF AQ CQ AP BP n m ++=+=+=+11,又∵BD =CD ，∴AEDF AE CF CD DF AE CF AE DF CD n m 211=++=++=+,易证△DMF ∽△AME ，得，∴；若F 在CB 延长线上（如图2），同理可得. 综上，.图1 图224题解析：由2)4(25)3(25--=+++-m m n m m ，得 52)4()3(252-=-+++-m m n m m ，所以，则52)4()3(522-=-+++-m m n m m ，即，由非负数性质知：，∴ .25题解析：把A (4，0)代入，得，∴二次函数解析式为，其对称轴为直线，∵A (4，0)关于直线的对称点为O (0，0)，∴PA =PO . 当点P 不在直线OC 上时，由三角形三边关系知，；当点P 在OC 上时，. 故当点P 在OC 上时，有最大值为OC . 易知直线OC 解析式为，当时，. ∴点P 的坐标为.五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）26.解：（1）10 ………………………………4分（2）连结AO .∵ AD :DB =1:3，，∴ 9364141=⨯==∆∆ABC ADC S S ，. …………………5分 ∵ CE :AE =1:2，，∴ 24363232=⨯==∆∆ABC ABE S S ，. …………………6分 设，，则，. 根据题意有，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==56527y x . …………………7分 ∴ . …………………8分（3）证明：连结DE 、DF ，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，DH ⊥FC 于点H .∵ △ADE 与□ABCD 等底等高，∴ S □ABCD ，同理S □ABCD .∴ . ……………………………………10分又∵，.∴ .又∵ ,∴ .∴ PD 平分∠APC . ……………………………………12分27.（1）∵ A 在轴正半轴上，且OA =8，∴ A （8，0）.设直线的解析式为，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+25308b k b k ， ……………………………………2分 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=421b k .∴ 直线的解析式为：. ……………………………………4分（2）∵ 点P 在AB 上，横坐标为t ，∴ P (，). …………………………5分 设直线的解析式为，则，解得.直线的解析式为. ……………………………………6分 又∵ PQ ∥轴，∴ Q (，).点P 在线段AC 上时，434)421(65-=+--=t t t PQ ，（）. …………7分 当EF 在AD 上时，，有.设正方形PQEF 与△ACD 重叠部分面积为S ，当时，，当时，S 有最大值为. ……………9分 当时，325)211(343234434)8)(434(22+--=-+-=--=t t t t t S . 当时，S 有最大值为. ……………………………………11分 ∵ ，∴ 正方形PQEF 与△ACD 重叠部分的面积的最大值为. …………………12分28.解：（1）∵ 在Rt △AOB 中，OA =1，，∴ OB =3OA =3． ……………………1分 ∵ △DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴ △DOC ≌△AOB .∴ OC =OB =3，OD =OA =1.∴ A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（-3，0）． …………………………2分 ∵ 抛物线经过点A 、B 、C ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++03930c b a c c b a ， 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a .∴ 抛物线的解析式为. …………………………………………4分（2）① ∵4)1(3222++-=+--=x x x y ，∴ 抛物线的对称轴为直线.∴ E （-1，0）．∵ ∠ECF =∠OCD ，∠COD =90°， ∴ 当∠CEF =90°或∠CFE =90°时，△CEF 与△COD 相似. ……………………5分 当∠CEF =90°时，点P 在抛物线的对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，∴ P （-1，4）. ……………………6分 当∠CFE =90°时，过点P 作PM ⊥轴于点M ，则∠PME =∠CFE =90°,∴ ∠MPE +∠CEF =∠OCD +∠CEF =90°，∴ ∠MPE =∠OCD.又∵ ∠PME =∠COD =90°，∴ △PME ∽△COD .∴ ，∴ MP =3EM ． ……………………………………7分 ∵ P 的横坐标为，且在抛物线上，∴ P （，）．∵ P 在第二象限，∴ PM =，EM =.∴ .解得，（不合题意，舍去）.∴ P （-2，3）．∴ 当△CEF 与△COD 相似时，点P 的坐标为（-1，4）或（-2，3）. …………8分 ②过点B 作BQ ⊥AB 交射线AP 于点Q ，作QH ⊥轴于点H .则∠BHQ =∠AOB =90°,∠ABQ =90°，∠AQB =∠BAP =45°.∴ BQ =AB . ……………………………………9分 ∵ ∠OAB +∠ABO =∠HBQ +∠ABO =90°，∴ ∠OAB =∠HBQ .∴ △BQH ≌△ABO .∴ HQ =BO =3，BH =AO =1.∴ OH =OB -BH =2.∴ Q （-3，2）. ……………………10分 设直线AQ 的解析式为，由题意得 ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2121m k .∴ 直线AQ 的解析式为. …………………………………11分∵ P （，）在直线AQ 上，∴ .解得，（不合题意，舍去）.∴ P （，）.∴ 当∠BAP =45°时，点P 的坐标是（，）. ……………………12分。
2019-2020理工大附中初三数学第一次月考试卷详解
故本选项错误；
D 、由原方程移项，得
3x2 − 4x = 2 ，
化二次项的系数化为 1，得
x2 − 4 x = 2 33
等式两边同时加上一次项系数的一半的平方 ( 2)2 ，得 3
x2 − 4 x + ( 2)2 = 2 + ( 2)2 ，即 (x − 2)2 = 10
3 3 33
39
故本选项正确．
2 等式两边同时加上一次项系数的一半的平方 (7)2 ，得
4
t2 − 7 t + (7 )2 = 2 + ( 7)2 ，即 (t − 7 )2 = 81
24
4
4 16
故本选项正确；
C 、由原方程移项，得
x2 + 8x = −9 ，
等式两边同时加上一次项系数 8 的一半的平方 16，得
x2 + 8x + 42 = −9 + 16 ，即 (x + 4)2 = 7 ；
相似比是 3 : 2 ， 又 相似三角形对应高的比等于相似比，
对应高线的比为 3 : 2 ．
故选： C ．
8．以对角线相等的四边形的各边中点为顶点的四边形是 ( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
【解答】解：根据三角形的中位线定理，得
新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半．
又 原四边形的对角线相等，
C 、 A = A ， ABP = C ，
ABP∽ACB ，故本选项错误；
D 、 A = A ， APB = ABC ，
ABP∽ACB ，故本选项错误；
故选： B ．
11．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 CD 上一点， DE : CE = 2 : 3，连结 AE ， BD 交于
2024年北京理工大学附属实验学校中考零模数学试题(解析版)
北理工实验初三年级数学零模测试一、选择题：（每小题2分，共16分）1. 据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】300 000是6位整数，用科学记数法表示时，，.【详解】解：300 000=3×105，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法表示为（，为整数）.2. 如图是几何体的三视图，该几何体是A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 正三棱锥【答案】C【解析】【详解】由展开图的特点知识是三棱柱的展开图.故选C ．3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（）A. 2B.C.D. 【答案】B 60.310⨯5310⨯6310⨯43010⨯3a =615n =-=10n a ⨯110a ≤<n a b a b a -<<b3-【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，先根据数轴求出，，再估算出，进而得到，据此可得答案．【详解】解：由数轴可知，∴，∵，∴，∴，∴四个选项中只有B 选项符合题意，故选：B ．4. 如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD =76°，则∠BOM 等于（ ）A. 38°B. 104°C. 142°D. 144°【答案】C【解析】【分析】根据对顶角相等的性质，得∠AOC =76°，根据补角的定义，得∠BOC =104°；由射线OM 平分∠AOD ，根据角平分线定义，∠COM =38°，即可求解．【详解】解：∵∠BOD =76°∴∠AOC =76°∴∠BOC =104°∵OM 平分∠AOC∴∠COM =38°∴∠BOM =∠COM ＋∠BOC =142°．故选C ．【点睛】本题主要考查角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义，掌握角平分线定义，对顶角的性质，12a <<21a -<-<-12<<11,242-<<-<<12a <<21a -<-<-124<<12<<11,242-<<-<<补角的定义是解题的关键．5. 正十边形的外角的度数是( )A. 18°B. 36°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°求解即可．【详解】∵多边形的外角和为360°∴正十边形的外角的度数故答案为：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角问题，掌握多边形外角和定理是解题的关键．6. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】一共6个球，其中2个黄球，根据概率的定义所以概率为，故选：B.【点睛】考点：概率7. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为AD ∥BC ，3603610︒==︒1613122313AO CO12131419所以△ADO ∽△CBO ，所以，又，，所以，故选B ．考点：相似三角形的判定与性质．8. 为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．【详解】解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，AD AO BC CO=1AD =3BC =13AO CO =重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．故选：B ．【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：（每小题2分，共16分）9.x 的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式成立的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．10. 分解因式：ab 2﹣4ab +4a =________．【答案】a （b ﹣2）2【解析】【详解】ab 2﹣4ab +4a=a （b 2﹣4b +4）=a （b ﹣2）2故答案为a （b ﹣2）2．11. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程，根据根的判别式即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，12x ≥210x -≥12x ≥12x ≥x 220x x m +-=m 1-x 220x x m +-=∴，∴，∴，故答案为：．12. 分式方程的解为____________________．【答案】【解析】【分析】根据解分式方程的方法即可求解．【详解】解：去分母得：，移项合并得：，系数化为，解得：，检验，把代入原分式方程，原分式方程有意义，∴是原分式方程的解，故答案为：．【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解方程的方法，检验根是否符合分式方程等知识是解题的关键．13. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为，则的值为_______．【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，故答案为：0.240b ac ∆=-=()22410∆=-⨯⨯-=m 1m =-1-312422x x x -=--53x =312422x x x -=--312(2)22x x x -=--322x x -=-35x =--153x =53x =53x =53x =xOy y x =m y x=12,y y 12y y +120y y +=【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.14. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．【答案】15【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案．【详解】解：连接，∵过圆心，为的中点，∴，∵分米，C 为的中点，∴分米，设圆的半径为x 分米，则分米，∵分米，∴分米，在中，由勾股定理，18AB =C AB D O CD 27CD =AO 9AC BC ==x OA OD x ==()27OC x =-x AO CD C AB CD AB ⊥18AB =AB 9AC BC ==OA OD x ==27CD =()27OC x =-Rt OAC 222AC OC OA +=∴，∴，即拱门所在圆的半径是15分米．故答案为：15．15. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们身高（单位：）如下表所示：队员1队员2队员3队员4队员5甲队177176175172175乙队170175173174183则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可．【详解】解：由题意得，，，∴；，，∴，故答案为：，．16. 平面直角坐标系中，将抛物线在x 轴和x 轴下方的部分记作，将沿x 轴翻折记作，和构成的图形记作G ．关于图形G ，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是______．①图形G 关于原点对称；②图形G 关于直线对称；③图形G 的面积为S ，满足．的()222927x x +-=15x =cm x 甲x 乙><、=2S 甲2S 乙><、==<177176175172175175cm 5x ++++==甲170175173171183175cm 5x ++++==乙x x =甲乙()()()()222221721752175175176175177175 2.85S -+⨯-+-+-==甲()()()()()22222217017517317517417517517518317518.85S -+-+-+-+-==乙22S S <甲乙=<xOy 21y x =-1G 1G 2G 1G 2G y x =2S π<<【答案】①③【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．【详解】解：如图，由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误；观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积，所以，图形的面积满足，故③正确．故答案为：①③．三、解答题（17-22题，每小题5分，23-24题，每小题6分，25题5分，26-28题，每小题7分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，零指数幂，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式加减计算法则求解即可．G y x =G S ABC ∆O G 2S π<<()101π32sin 453-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭2-【详解】解：．18. 解不等式组．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．19. 已知，求代数式的值.【答案】，【解析】【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再整体代值求解即可．【详解】解：()101π32sin 453-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭123=+--13=+--2=-23123x x x x -<⎧⎪+⎨>⎪⎩115x -<<23123x x x x -<⎧⎪⎨+>⎪⎩①②1x >-15x <115x -<<1a b -=2222222a b ab b a a ab a ⎛⎫--÷- ⎪+⎝⎭()12a b -122222222a b ab b a a ab a ⎛⎫--÷- ⎪+⎝⎭()()()2222a b a b a ab b a a b a +--+=÷+，当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式，掌握分式混合运算法则并正确计算是解答的关键．20. 如图，在ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE=BC ，连结DE ，CF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若AB =4，AD =6，∠B =60°，求DE 的长．【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD ∥BC ，且AD =BC ；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF 的对边平行且相等（DF =CE ，且DF ∥CE ），即四边形CEDF 是平行四边形；（2）如图，过点D 作DH ⊥BE 于点H ，构造含30度角的直角△DCH 和直角△DHE ．通过解直角△DCH 和在直角△DHE 中运用勾股定理来求线段ED 的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD 中，AD BC ，且AD =BC∵F 是AD 的中点∴DF =AD又∵CE =BC∴DF =CE ，且DF CE∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）如图，过点D 作DH ⊥BE 于点H ．()()22a b a a a b -=⨯-()12a b =-1a b -=11212==⨯ 12 1212在▱ABCD 中，∵∠B =60°，∴∠DCE =60°．∵AB =4，∴CD =AB =4，∴CH=CD =2，DH．在▱CEDF 中，CE =DF =AD =3，则EH =1．∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ．21. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若m 为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）当m =1时，或满足题意（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m 的值．【小问1详解】解：∵二次函数为 ，∴，，．∴，∴此方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】∵当m =1时，原方程：，为1212=21502x mx m -+-==4x =-2x 21502x mx m -+-=12a =b m =-5c m =-()()222214452101092b ac m m m m m ∆=-=-⨯=-=-+-+>21402x x --=∴原式可化，则，∴或，∴当m =1时，或满足题意（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式Δ=b 2-4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为，流速为，开水的温度为流速为，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为．【解析】【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．【详解】解：设该学生接温水的时间为，根据题意可得：，解得，∴，∵，∴，答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为．为228=0x x --()219x -==4x =-2x =4x =-2x 30℃20ml /s 100℃，20ml /s 280ml 60℃⨯=⨯8s 6s s x 20ml x ()28020ml x -s x ()()()2060302802010060x x ⨯-=-⨯-8x =208160ml ⨯=280160120ml -=120206s ÷=8s 6s23. 一次函数的图像与轴交于点，且经过点．（1）当时，求一次函数的解析式及点的坐标；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】（1）y =x +，点A 的坐标为(-4，0) （2）【解析】【分析】（1）当m =2时，把点C 的坐标代入y =kx +4k (k ≠0)，即可求得k 的值，得到一次函数表达式，再求出点A 的坐标即可；（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：∵m =2，∴将点C (2，2)代入y =kx +4k ，解得k =；∴一次函数表达式为y =x +，当y =0时，x +=0，解得x =-4∵一次函数y =x +的图像与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(-4，0)．【小问2详解】解：如图，y =kx +4k (k ≠0)过定点，()40y kx k k =+≠x A ()2,B m =2m A 1x >-x =y x ()40y kx k k =+≠k 134313k ≤-13134313431343()=+4k x ()4,0-∵当时，，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数y =kx +4k (k ≠0)的值，∴，，解得k ≤−．∴k≤−．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．24. 品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎，节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：a ．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下图，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分：b ．丙参加比赛的得分统计图如下图：（说明：丙在第四轮比赛中被淘汰）1x =-1y x ==-=y x ()=+4k x 1x =-41k k -+≤-1313根据以上信息，回答下列问题；（1）已知点A 的坐标为，则此轮比赛中；甲的得分为 ，与甲同场答题的百人团中，有 人答对；（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有 轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为 ；（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】（1）26；74．（2）2；乙． （3）【解析】【分析】（1）根据题意每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分，因此由点A 的坐标可求甲的得分．又百人团答错的人数即为选手该轮得分，故可求出百人团答错的人数，进而得到百人团中答对的人数；（2）由图可得横坐标大于纵坐标的点有2个，故甲得分高于乙得分的比赛共有2轮；图中5个点的横坐标即为甲的得分，纵坐标为乙的得分，再根据第二个图可得到乙的得分最高；（3）方差衡量数据的波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小．由图可得乙的得分的波动比甲的大，故百人团答对的人数波动也打，故．小问1详解】甲得分为26，百人团答对人数为：【()26,1821s 22s 21s 22s <2212s s <()26,18A ∴1002674-=故答案为：26；74．【小问2详解】∵丙的最后两轮得分均为0∴丙的总得分最少∵图中的点中，横坐标大于纵坐标的点有2个,各点的纵坐标之和大于横坐标之和∴乙的总得分高于甲的总得分∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙故答案为：2；乙．【小问3详解】∵由图可知甲的得分在30分左右波动，而乙的得分波动更大∴甲参赛时百人团答错人数的波动比乙参赛时百人团答错的人数波动更小∴甲参赛时百人团答对人数的波动比乙参赛时百人团答对的人数波动更小故答案为：．【点睛】本题主要考查在材料阅读下解决实际问题，涉及到平面直角坐标系中点的坐标，统计中的方差，正确理解题意是解题的关键．25. 如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求半径的长．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形三线合一得出，再由等腰三角形的性质得出，利用等量代换确定，即可证明；（2）根据垂径定理得出，再由正切函数的定义得出，设半径的长为r，则2212s s ∴<<AB O CD AB ⊥E D DH CB ⊥CB H F DH CF CD =CF O 1tan 2DCB ∠=8=CF O OC DCH FCH ∠∠=OCB OBC ∠=∠90OCF ∠=︒4CE DE ==2BE =O，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：连接，如图所示：∵，，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵为的半径，∴是的切线；【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设半径的长为r ，则，∵，2OE r =-OC CF CD =CH DF ⊥CH DCF ∠DCH FCH ∠∠=CO BO =OCB OBC ∠=∠CD AB ⊥90BCE OBC ∠+∠=︒90OCB HCF ∠∠+=︒90OCF ∠=︒OC CF ⊥OC O CF O 8=CF CF CD =8CD =CD AB ⊥4CE DE ==1tan 2DCB ∠=12BE CE =2BE =O 2OE r =-222OE CE OC +=∴，解得：，∴半径的长为5．【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，正切函数的定义，垂径定理及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．26. 已知抛物线的对称轴为直线．（1）若点在抛物线上，则_____；（2）若点在抛物线上，时，直接写出取值范围；（3）已知，为抛物线上两点，，且，若，求的取值范围．【答案】（1）1 （2）或（3）或【解析】【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键．（1）将点代入抛物线表达式得：，则，即可求解；（2）当时，，即可求解；当时， 即，，同理可解；（3）根据题意可得抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则由可得，据此讨论t 的取值范围去绝对值求解即可．【小问1详解】解：将点代入抛物线表达式得：，∴∴；【小问2详解】解：当时，，∴抛物线的表达式为：，∴顶点坐标为的()22224r r -+==5r O 23y ax bx =++x t =()23，t =()()12,1,,5x x 1t =a ()1,A m y ()21,B t y +24m ≤≤213y y <<0a >t 2a ≥2a ≤-13t <<3t >()23，3423a b =++2b a =-0a >31a -+≤a<035a -+≥213y y <<10t t m t t +-<-<-()23，3423a b =++2b a=-12b t a=-=1t =2b a =-()()2222321313y ax ax a x x a a x a =-+=-+-+=--+()13a -+，∵点在抛物线上当时，解得：；当时， 即，解得：；综上所述，或；【小问3详解】解：∵，∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，当时， ∵，∴，∴，当时，则，此时不符合题意；当时，，∴，∴，∵，∴；当时，则，∴，∵，∴；综上所述，或．27. 如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B ，D 重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点()()1215x x ，，，0a >31a -+≤2a ≥a<035a -+≥2a ≤-2a ≥2a ≤-0a >0x =3y =213y y <<10t t m t t +-<-<-10m t t <-<-0t <1m t t <-<-0t m <<1m t t <-<12t m m t +<⎧⎪⎨>⎪⎩12m t m <<-24m ≤≤13t <<t m >1t m t <-<1t m >+24m ≤≤3t >13t <<3t >ABC AB AC =()045B αα∠=︒<<︒AD E BD ED E 2αEF AF CB，使，连接．（1）补全图形；（2）判断的位置关系______，证明结论；（3）若，且，直接写出______．【答案】（1）画图见解析（2），证明见解析（3【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）如图所示，延长到H ，使得，连接，则是的中位线，得到，，由旋转的性质可得，可证明；再由线段之间的关系证明，即可证明，得到，则由三线合一定理可得；（3）设，由（2）得，则，证明，则，，即可得到．【小问1详解】解；如图所示，即为所求；G GE CE =GF AF GF ，30α=︒GB AB =DE DB=AF GF ⊥GF GF HF =AG AH CH 、、EF HCG △2CH EF =EF CH ∥2ED EF DEF α==，∠ACH ABG =∠∠22BG CH EF DE ===()SAS ABG ACH ≌AG AH =AF CF ⊥DE x =2GB DE =2GB AB x ==AD BC ⊥12AD AB x ==BD ==DE DB ==【小问2详解】解：，证明如下：如图所示，延长到H ，使得，连接，∵，，∴是的中位线，∴，，∴，由旋转的性质可得，∴，∵，∴，∴，，∴；∵是中线，∴，∴，∴，∴，∴，∴；AF GF ⊥GF GF HF =AG AH CH 、、GE CE =GF HF =EF HCG △2CH EF =EF CH ∥180GCH CEF =︒-∠∠2ED EF DEF α==，∠1802GCH α=︒-∠AB AC =ABC ACB α∠=∠=180180ABG ABC α=︒-=︒-∠∠180ACH GCH ACB α=+=︒-∠∠∠ACH ABG =∠∠AD BD CD =2BG EG BE CE BE CD DE BE BD DE BE DE =-=-=+-=+-=22BG CH EF DE ===()SAS ABG ACH ≌AG AH =AF CF ⊥【小问3详解】解：设，由（2）得，又∵，∴，∵，是中线，∴，∵，∴，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股DE x =2GB DE =GB AB =2GB AB x ==AB AC =AD AD BC ⊥30ABD α==︒∠12AD AB x ==BD ==DE DB ==定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，对于已知的点C 和图形W ，给出如下定义：若存在过点C 的直线l ，使之与图形W 有两个公共点P ，Q ，且C ，P ，Q 三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点P 是图形W 的“相合点”．（1）已知点，线段与线段组成的图形记为W ；①点中，图形W 的“相合点”是___；②点M 在直线上，且点M 为图形W 的“相合点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）⊙O 的半径为r ，直线与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，若在线段上存在⊙O 外的一点P ，使得点P 为⊙O 的相合点，直接写出r 的取值范围．【答案】（1）①，②或；（2或【解析】【分析】（1）①由题作出草图即可判断；②根据中点坐标公式分为（Ⅰ）为中点，（Ⅱ）为中点，（Ⅲ）为中点，建立不等式组即可得解；（2）先根据题意设过的直线交⊙O 于、，作直线交⊙O 于、，连接、，通过证明，以及圆的基本性质解得，再分为（Ⅰ）与⊙O 相离，（Ⅱ）与⊙O 相交，两种情况建立不等式求解．【详解】解：（1）作图1如图示，①由图1可知为、中点，为、中点，对不存在符合要求的情况，故答案为：、；设，在上，在上，②（Ⅰ）为中点，则，，，解得，xOy (0,2),(4,0)A B OA OB 123(1,1),(3,1),(3,2)C C C -2y x =-+3y x r =+-EF 13,C C 20m -≤≤14m ≤≤r ≤<r >M PQ P MQ Q PM P M N OP A B NB AM PBN PMA △∽△3r PO r <≤EF EF 3P 3C 3Q 1C 1P 1Q 2C 1C 3C (),2M m m -+P OA Q OB M PQ ()0,24P m -+()2,0Q m 0242024m m ≤-+≤⎧∴⎨≤≤⎩12m ≤≤（Ⅱ）为中点，则，，，解得：，（Ⅲ）为中点，则，，，解得：，综上：或；（2）令，解得，，令，则，即，，则，与横轴所成锐角为，在⊙O 外部，设过的直线交⊙O 于、，作直线交⊙O 于、，连接、如图2,,,又,,,，又是弦，，，又在⊙O 外部，；P MQ 20,2m P -+⎛⎫ ⎪⎝⎭(),0Q m -202204m m -+⎧≤≤⎪∴⎨⎪≤-≤⎩20m -≤≤Q PM ,02m Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,2P m -022042m m ≤-≤⎧⎪∴⎨≤≤⎪⎩24m ≤≤20m -≤≤14m ≤≤3=0y x r =+-)x r =-(),0F OF 0x =3y r =-(0,3)E r -3OE r =-OF =∴EF EFO ∠30︒P P M N OP A B NB AM 180B AMN AMN PMA ∠+∠=︒=∠+ B PAM ∴∠=∠APM NPB ∠=∠ PBN PMA ∴△∽△PM PN PA PB ∴= PM MN= 2222()()MN PO r PO r PO r ∴=-+=-MN 2MN r ∴≤∴22222()()8MN PO r PO r PO r r =-+=-≤P 3r PO r ∴<≤当过二、三、四象限时，，⊙O 的半径为，一定在⊙O 内部，即一定与⊙O 相交，若与⊙O 相离则直线必过一、二、四象限，（Ⅰ）与⊙O 相离，相离时直线过一、二、四象限如图2，要求存在在⊙O 外部且是⊙O 的相合点，作，，则只需，，，（Ⅱ）与⊙O 相交且存在在⊙O 外部如图3：直线过二、三、四象限，连接⊙O 与的交点,则只需，，解得：，或．EF3OE r =-r E ∴EF ∴EF EF EF EF P OD EF⊥sin 30OD OF ∴=︒=max =)r PO OF r <-min 3r PO OD ≥=r ≤<EF P EF EF G max =3)r PO OF r <-min 3r PO OG r ≥==r >r ≤<r >懂新定义，根据新定义会利用参数建立不等式，结合圆的性质作答是本题的关键．。
2023年北京理工大学附中中考数学零模试卷及答案解析
2023年北京理工大学附中中考数学零模试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）据北京市小客车指标调控管理办公室通告指出，2022年家庭新能源小客车指标额度约为44000个，将44000用科学记数法表示应为（）A．44×103B．4.4×105C．4.4×104D．0.44×105 2．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．长方体3．（2分）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．a＞﹣b C．|a|＜|b|D．a+b＞0 5．（2分）不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外小球无其他差别，随机从中同时摸出两个球，两个球的颜色相同的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．B．1C．D．07．（2分）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条8．（2分）下面的三个问题中都有两个变量：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x；②一个体积固定的长方体，长方体的高y与底面积x；③矩形面积一定时，周长y与一边长x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a3﹣a＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．13．（2分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环 2）如下表所示．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．甲乙丙丁8999 s20.830.8 1.6 14．（2分）如图，半径为1的⊙O与边长为的等边三角形ABC的两边AB，BC都相切．连接OC，则tan∠OCA＝．15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，，则AF的长为．16．（2分）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）A15410B2338C3148D42511E5139F34512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案．（写出要购买的大礼包编号）三、解答题（共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17．（5分）计算：3tan30°﹣（π﹣4）0++|﹣2|．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a﹣b＝1，求代数式的值．20．（5分）已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C 为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依据）．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠EAF，AC＝6，．求四边形AFCE的面积．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+3k（k≠0）的图象与x轴交于点A，且经过点B（1，m）．（1）当m＝4时，求一次函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值都大于一次函数y＝kx+3k（k≠0）的值，请直接写出k的取值范围．23．（6分）某中学进行普法综合知识竞赛，为了解七、八年级的答题情况，分别从两个年级各随机抽取m名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表：分组/分数频数频率60≤x＜7010.1070≤x＜80a0.5080≤x＜903b90≤x≤10010.10合计m 1.00b：七年级学生竞赛数据在70≤x＜80这一组的是：78，79，73，78，72．c：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：平均数中位数众数方差七年级80c7851.8八年级79808026.4根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m＝，a＝，b＝，c＝；（2）请估计哪个年级的竞赛成绩更优秀，并说明理由．（3）按照比赛规定80分及以上可以获得奖品，若七、八年级各有200名学生，估计两个年级共可以获得奖品的学生至少为多少人？24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上的一点，CD为⊙O的切线，D为切点，DE⊥AB于点F，连结BE．（1）求证：；（2）作BG⊥CD交CD延长线于点G，交⊙O点H，若，BG＝10，求GH的长．25．（6分）某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，并且可以360°旋转喷水，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现对某个方向喷水的路径测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）…0123…h（米）…0.9 2.1 2.5 2.1…（1）在网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；（3）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1m，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留π）26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+3，y2），当y1•y2＜0，求a的取值范围．27．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝90°，∠C＝45°，作∠CDE＝135°，使得点E和点A在直线CD异侧，连接AC，将射线AC绕点A逆时针旋转90°交射线DE于点F．（1）：①依题意，补全图形；②证明：DF＝BC．（2）连接BD，若G为线段BD的中点，连接CG，请用等式表示线段CG与AF之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为P ″，NP″中点记为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上，若点P（﹣3，0），点Q为点P 的“对应点”．①在图1中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T．求证：；（2）⊙O的半径为2，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（1＜t＜2），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．2023年北京理工大学附中中考数学零模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将44000用科学记数法表示应为4.4×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．【解答】解：俯视图是三角形，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，画三视图注意“长对正，宽相等，高平齐”的原则，三视图实际上就是从三个方向的正投影所得到的图形．3．【分析】首先计算∠4的度数，再根据平行线的性质可得∠1＝∠4，进而可得答案．【解答】解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，∴∠4＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠4＝75°，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．4．【分析】根据数轴上的对应点，数轴上越靠右的数越大，结合不等式的相关性质和绝对值的内容，对选项逐一验证即可．【解答】解：A．由图可知a＞b，不等式两边同时减一个数不等号不变，所以a﹣5＞b ﹣5成立，故A选项不符合题意．B．a与﹣b分别可以表示实数a、实数b到原点的距离，a距离原点更远，所以a＞﹣b 成立，故B选项不符合题意．C．|a|与|b|分别可以表示实数a、实数b到原点的距离，a距离原点更远，所以|a|＞|b|，所以C选项不成立，故C选项符合题意．D．a与﹣b分别可以表示实数a、实数b到原点的距离，a距离原点更远，所以a＞﹣b，不等式两边同时+b符号不变，a+b＞0成立，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了实数的大小比较、数轴、不等式的性质、绝对值的基础知识，注意看清题干选择不成立的选项．5．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球的颜色相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：∴两个球的颜色相同的概率是＝，故选：B．【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝0，解得m＝1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．【分析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．【解答】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8．【分析】分别求出对应的y与x的关系，再根据函数图象可知函数图象表示的是反比例函数，由此判断即可．【解答】解：由函数图象可知，图中的y是x的反比例函数，①由题意得，x与y的乘积一定，y是x的反比例函数，符合题意；②由题意得，x与y的乘积一定，y是x的反比例函数，符合题意；③y由题意得，设矩形面积为S，则S＝x•，整理得，y＝，y不是x的反比例函数，不符合题意；所以可以利用如图所示的图象表示的是①②．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的图象，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件得出1﹣3x≥0，再求出答案即可．【解答】解：要使在实数范围内有意义，必须1﹣3x≥0，解得：x≤．故答案为：x≤．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．10．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣1），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．11．【分析】先去分母，化为整式方程，再进一步求解即可．【解答】解：，去分母，得2（x﹣1）+x（x﹣1）＝x2，解得x＝2，经检验，x＝2是原分式方程的根，故答案为：x＝2．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．12．【分析】根据图形，可知∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，从而可以得到∠PAB+∠PBA的值．【解答】解：延长BP，点C为BP延长线上一点，如右图所示，∵∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查三角形的内角和外角的关系，解答本题的关键是明确题意，知道三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和．13．【分析】根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．【解答】解：由表知乙、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数，∴从乙、丙、丁中选择一人参加竞赛，∵丙的方差较小，∴选择丙参加比赛，故答案为：丙．【点评】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．14．【分析】设⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD，根据切线定理得到BO平分∠ABC，OD⊥BC，解直角三角形即可得解．【解答】解：设⊙O与BC边相切于点D，连接OB并延长交AC于E，连接OD，OA，∵⊙O与AB、BC都相切，∴BO平分∠ABC，OD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠OBD＝∠ABC＝30°，∵OD＝1，tan∠OBD＝tan30°＝＝，∴BD＝，∵BC＝3，∴CD＝BC﹣BD＝2，∴OC＝＝，∵∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，BO＝BO，∴△ABO≌△CBO（SAS），∴OA＝OC，∴点O在AC的垂直平分线上，∵BA＝BC，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴CE＝AC＝，∴OE＝＝＝，∴tan∠OCA＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．15．【分析】根据题意和矩形的性质可得AB＝CD＝4，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AE＝2，根据勾股定理求得AD＝3，AC＝5，易证△AEF∽△CDF，则，，以此即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∵E是边AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝2，在Rt△DAE中，，AE＝2，∴＝＝3，在Rt△ADC中，AD＝3，CD＝4，∴＝＝5，∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴，∴，∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．16．【分析】根据“该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多”进行判断即可．【解答】解：当购买A，B，C，D各一个时，一等奖的个数为1+2+3+4＝10，8＜10＜14，二等奖的个数为5+3+1+2＝11，7＜11＜13，三等奖的个数为4+3+4+5＝16，16＞11＞10，满足题意，奖品总个数为10+11+16＝37，37＜41，满足题意．故答案为：A，B，C，D各买一个（答案不唯一）．【点评】本题主要考查方案选择问题、有理数加法的实际应用，解题关键是理解题意，列出算式，进行求解．三、解答题（共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3×﹣1+2+2﹣＝﹣1+2+2﹣＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣6＜3x，得：x＞﹣6，解不等式，得：x≤，则不等式组的解集为﹣6＜x≤．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，整体代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝•＝，当a﹣b＝1时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．21．【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD＝BC．AE∥FC，根据等量减等量差相等，得出AE＝FC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；＝AO•（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO＝4，求出S△AEOEO＝6，从而求出四边形AFCE的面积．【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝3，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝3，tan∠DAC＝，∴EO＝4，＝AO•EO＝6，∴S△AEOS菱形＝4S△AEO＝24．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，锐角三角函数，菱形的判定与性质，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．22．【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式，再令y＝0求出点A坐标即可；（2）根据一次函数y＝kx+3k恒过定点（﹣3，0），当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值都大于一次函数y＝kx+3k（k≠0）的值，可得﹣k+3k≤﹣1，进一步求解即可．【解答】解：（1）当m＝4时，点B坐标为（1，4），代入y＝kx+3k，得4＝k+3k，解得k＝1，∴一次函数解析式为y＝x+3，当y＝x+3＝0时，x＝﹣3，∴点A坐标为（﹣3，0）；（2）∵一次函数y＝kx+3k＝k（x+3），∴一次函数y＝kx+3k过定点（﹣3，0），当x＝﹣1时，y＝x＝﹣1，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值都大于一次函数y＝kx+3k（k≠0）的值，∴﹣k+3k≤﹣1，解得k≤﹣，∴k的取值范围是k≤﹣．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．23．【分析】（1）由样本容量＝频数÷频率求解即可得出m、a、b的值，再根据中位数的定义求解可得c的值；（2）根据平均数、中位数和方差的意义求解即可；（3）总人数乘以样本中80分及以上人数所占比例即可得出答案．【解答】解：（1）∵m＝1÷0.1＝10，∴a＝10×0.5＝5，b＝3÷10＝0.3，七年级成绩的中位数为第5、6个数据的平均数，而这2个数据分别为78、79，所以其中位数c＝＝78.5，故答案为：10、5、0.3、78.5；（2）七年级竞赛成绩更优秀，因为七年级竞赛成绩的平均数大于八年级；（3）200×+200×＝180（人），答：估计两个年级共可以获得奖品的学生至少为180人．【点评】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体，掌握相应的定义是解题的关键．24．【分析】（1）连接OD，OE，利用垂径定理和圆周角定理得到∠ABE＝∠DOA，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的性质得到∠CDE＝∠DOA，利用等量代换可得结论；（2）连接OD，AH，利用直角三角形的边角关系定理求得线段BC，利用圆周角定理，平行线的判定与性质得到∠C＝∠HAB，则sin∠HAB＝，设BH＝2x，则AB＝3x，OB＝OD＝AB＝x，利用切线的性质定理和直角三角形的边角关系定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OD，OE，如图，∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴，∴∠DOA＝∠EOA．∵∠ABE＝∠EOA，∴∠ABE＝∠DOA．∵CD为⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．∵∠ODE+∠DOA＝90°，∴∠CDE＝∠DOA，∴∠ABE＝∠CDE；（2）解：连接OD，AH，如图，∵BG⊥CD，sin C＝，sin C＝，∴，∴，∴BC＝15．∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°．∴∠AHB＝BGC＝90°，∴CG∥AH，∴∠C＝∠HAB，∴sin∠HAB＝，∵sin∠HAB＝，∴．设BH＝2x，则AB＝3x，OB＝OD＝AB＝x．∴OC＝BC﹣OB＝15﹣x．∵CD为⊙O的切线，∴OD⊥CD，∵sin C＝，sin C＝，∴，∴，解得：x＝4，∴BH＝2x＝8．∴GH＝BG﹣BH＝10﹣8＝2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．25．【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出圆的周长．【解答】解：（1）如图；（2）由（1，2.1）和（3，2.1）可知，抛物线的对称轴为d＝2，当d＝2时，h＝2.5，∴水柱最高点距离湖面的高度是2.5米；（13由图象可得，顶点（2，2.5），设二次函数的关系式为h＝a（d﹣2）2+2.5，把（0，0.9）代入可得a＝﹣，∴h＝﹣（d﹣2）2+2.5；当h＝0时，即﹣（d﹣2）2+2.5＝0，解得d＝﹣（舍去）或d＝，∴圆的半径为+1＝（米），∴至少需要准备栏杆4×π＝22π（米），∴公园至少需要准备22π米的护栏．【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26．【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解．（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（3）根据点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离以及y1•y2＜0，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝ax2﹣2a2x，得0＝4a﹣4a2，解得a＝1或a＝0（舍去），∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）∵y＝ax2﹣2a2x，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a；（3）∵抛物线对称轴为x＝a，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，当a＞0时，∵y1•y2＜0，∴y1＜0，y2＞0，即，解得1＜a＜3；当a＜0时，∵y1•y2＜0，∴y1＞0，y2＜0，即，无解，综上所述，a的取值范围为1＜a＜3；【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．27．【分析】（1）①按要求画图即可；②由“ASA”可证△ABC≌△ADF，即可证明；（2）由“AAS”可证△DGH≌△BGC，可得CG＝HG，BC＝DH，由“SAS”可证△CDH ≌△CDF，可得CF＝CH＝2CG，由等腰直角三角形的性质可得结论．【解答】（1）①解：如图1所示：②证明：∵将射线AC绕点A逆时针旋转90°，∴∠FAC＝90°＝∠DAB，∴∠FAD＝∠CAB，∵∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，∴∠ADC+∠ABC＝225°，∵∠ADC+∠CDF+∠ADF＝360°，∴∠ADC+∠ADF＝225°，∴∠ADF＝∠ABC，又∵AD＝AB，∴△ABC≌△ADF（ASA），∴DF＝BC；（2）如图2，过点D作DH∥BC，交CG的延长线于H，连接CF，∵点G是BD的中点，∴DG＝BG，∵DH∥BC，∴∠DHC＝∠BCH，∠HDC+∠BCD＝180°，∴∠HDC＝135°，∵∠DGH＝∠BGC，∴△DGH≌△BGC（AAS），∴CG＝HG，BC＝DH，∴DF＝DH＝BC，CH＝2CG，又∵∠CDF＝∠CDH＝135°，CD＝CD，∴△CDH≌△CDF（SAS），∴CF＝CH＝2CG，∵△ABC≌△ADF，∴AC＝AF，∠FAC＝90°，∴CF＝AF，∴CG＝AF．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据定义，先求出P'，P″的坐标，从而得出Q的位置；②连接PP'，利用相似三角形的判定和性质可得NT＝PP′，求出PP′＝OM，即可得结论；（2）连接PO，并延长至S，使OP＝2OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP′∥OM，PP′＝OM，P'N＝2NQ，利用相似三角形的判定和性质得TQ的长，从而求出SQ 的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．【解答】（1）①解：由题意知，P'（﹣3+1，0+1），∴P'（﹣2，1），∵点P'关于点N的对称点为P″，N（2，2），∴P″（6，3），如图，点Q即为所求；②证明：连接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∴△QNT∽△QP′P，∴，∵P'N＝P″N，P″Q＝QN＝P″N，∴QN＝QP′，∴NT＝PP'，∵PP'＝＝，OM＝＝，∴PP'＝OM，∴NT＝OM；（2）解：如图，连接PO，并延长至S，使OP＝2OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝2NQ，∴△P′MN∽△P′TQ，∴，∴TQ＝MN，∵MN＝OM﹣ON＝2﹣t，∴TQ＝3﹣t，∴SQ＝ST﹣TQ＝2﹣（3﹣t）＝t﹣1，∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝3t﹣2．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用相似三角形的判定和性质求出QT的长是解题的关键。
2020年年北京理工附中九年级下学期数学线上模拟试题(含答案及解析)
理工附中初三年级数学线上模拟测试一一、选择题1. 若代数式22x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A. x ＝0B. x ＝2C. x≠0D. x≠2【答案】D【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0即可解题. 【详解】解：∵代数式22x x -有意义， ∴x-2≠0,即x≠2,故选D.【点睛】本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义的条件是解题关键.2. 如图，在ABC 中，过点B 作PB BC ⊥于B ，交AC 于P ，过点C 作CQ AB ⊥，交AB 延长线于Q ，则ABC 的高是（ ）A. 线段PBB. 线段BCC. 线段CQD. 线段AQ【答案】C【解析】【分析】以三角形的一边为底，过第三个顶点向底边所作的垂线是三角形的高线，根据定义解答.【详解】由题意得：CQ AB ⊥，∴ABC 的高是线段CQ ，故选：C.【点睛】此题考查三角形的高线的定义，熟记定义，正确区分高线是解题的关键.3. 如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A. 0B. 1C. 3D. 5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的几何意义：在数轴上，一组相反数所表示的点到原点的距离相等，即可确定原点的位置，进而得出点C表示的数.【详解】∵点A，B互为相反数，∴AB的中点就是这条数轴的原点，∵数轴上每相邻两点距离表示1个单位，且点C在正半轴距原点3个单位长度，∴点C表示的数为3.故选C.【点睛】本题考查了相反数和数轴的知识.利用相反数的几何意义找出这条数轴的原点是解题的关键.4. 不等式组21512xx①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：21512xx①②->⎧⎪⎨+≥⎪⎩解不等式①可得x＜1，解不等式②得x≥-3，则不等式组的解集为：-3≤x＜1，由此可知用数轴表示为：故选B.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米【答案】C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD ＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.6. 一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是( )A. 3B. 4C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它的外角的度数，即可得方程：x+x=180，解此方程即可求得答案．【详解】设正多边形的一个外角等于x°，∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数，∴这个正多边形的一个内角为：x°，∴x+x=180，解得：x=900，∴这个多边形的边数是：360°÷90°=4．故选B．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．7. “龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A. 赛跑中，兔子共休息了50分钟B. 乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C. 兔子比乌龟早到达终点10分钟D. 乌龟追上兔子用了20分钟【答案】D【解析】分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A选项错误；乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：5001050（米/分钟），故B选项错误；兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误；在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.故选D.点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.8. 在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x=<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当4233b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（ ） A. 3个B. 2个C. 1个D. 没有 【答案】D【解析】【分析】 根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.【详解】∵()20y x x =<，过整点（-1，-2），（-2，-1）， 当b=43-时，如图：区域W 内没有整点，当b=23-时，区域W 内没有整点，∴4233b -≤≤-时图形W 增大过程中，图形内没有整点， 故选：D.【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.二、填空题9. 北京大力拓展绿色生态空间，过去5年，共新增造林绿化面积134万亩．将1 340 000用科学计数法表示为__________．【答案】61.3410⨯【解析】分析：按照科学记数法的定义进行解答即可.详解：61340000 1.3410=⨯.故答案为：61.3410⨯.点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为10n a ⨯的形式时，我们要注意两点：①a 必须满足：110a ≤<；②n 比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定n ）.10. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．【答案】0.88．【解析】【分析】首先结合现实生活，对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法，然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可．【详解】解：1(0.8650.9040.8880.8680.8750.8920.8820.8788.8790.881)0.8810x=+++++++++≈故答案为0.88．【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键．11. 计算：23222333m n++++⨯⨯⨯个个=______．【答案】23nm+【解析】【分析】根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案.【详解】∵2222m+++个＝2m，3333n⨯⨯⨯个＝3n，∴23222333m n++++⨯⨯⨯个个=23nm+.故答案为23nm+.【点睛】本题考查了乘法与乘方的定义.解题的关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算.12. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____毫米．【答案】10 3【解析】分析：利用相似三角形性质：相似三角形的对应边的比相等，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．详解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CA=DE：AB，∴20：60=DE：10，∴DE=103（毫米），∴小管口径DE的长是103毫米.点睛：本题考查了相似三角形的实际应用.借助相似三角形的性质，即相似三角形的对应边的比相等来建立方程是解题的关键.13. 已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是_____．【答案】8【解析】分析：原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值．详解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）=2a2+a﹣a2+4=a2+a+4，当a2+a=4时，原式=4+4=8．故答案为8．点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD AB⊥于点E，AB＝10cm，CD＝8cm，则BE＝___cm．【答案】2【解析】【分析】根据勾股定理求出CE，根据勾股定理计算即可．【详解】∵弦CD⊥AB，∴CE＝12CD＝4，在Rt△OEC中，OE22OC CE-＝3，∴BE＝OB−OE＝2（cm），故填：2.【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．15. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，若S 四边形ABFE =9，则S 三角形EFC =________．【答案】3【解析】分析：由已知条件易得：EF ∥AB ，且EF ：AB=1：2，从而可得△CEF ∽△CAB ，且相似比为1：2，设S △CEF =x ，根据相似三角形的性质可得方程：194x x =+，解此方程即可求得△EFC 的面积. 详解：∵在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AB，EF ：AB=1：2， ∴△CEF ∽△CAB ， ∴S △CEF ：S △CAB =1：4， 设S △CEF =x ， ∵S △CAB =S △CEF +S四边形ABFE ，S 四边形ABFE =9， ∴194x x =+， 解得：3x =，经检验：3x =是所列方程的解.故答案为：3.点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键. 16. ▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接EO 并延长，交CD 于点F ，连接AF ，CE ，下列四个结论中：①对于动点E ，四边形AECF 始终是平行四边形；②若∠ABC ＜90°，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是矩形；③若AB ＞AD ，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是菱形；④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．以上所有正确说法的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】①根据平行四边形的性质得AB∥DC，OA＝OC，再由平行线的性质和对顶角相等可得∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，根据ASA来判定△AOE≌△COF，推出AE=CF,由此可判断四边形为平行四边形；②根据矩形的判定定理可知，当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，而图2-2中，AB<AD时，点E不在线段AB上；③根据菱形的判定定理可知：当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形；④当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，在AB上一定存在一点E【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，故选项①正确；（2）如图2，当∠ABC＜90°,当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，在图2中，AB>AD时，存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；而图2-2中，AB<AD时，点E不在线段AB上；故选项②不正确．（3）如图3，当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，∵AB＞AD，∴在AB上一定存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；故选项③正确．（4）如图4，当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，故选项④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．三、解答题17. 计算：（13）﹣1﹣（π30+|13﹣2sin60°．【答案】1 【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】原式=3﹣11﹣2×2=1． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18. 解不等式组3(1)45513x x x x -≥-⎧⎪-⎨-⎪⎩＞，并写出它的所有整数解． 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】分别对不等式组中的两个不等式进行求解，再取两个不等式解集的公共部分可得到不等式组的解集，写出解集内的所有整数解即可.【详解】()3145513x x x x ⎧-≥-⎪⎨-->⎪⎩①②， 解不等式①，得x ≤2， 解不等式②，得x ＞-1，∴原不等式组的解集为12x -<≤， ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2．【点睛】本题考查了不等式组的整数解.正确求出不等式组的解集是解题的关键，而漏写解集内的所有整数解是本题的易错点.19. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点，DE AB ∥．交AC 于点E ，连结DE ，过点E 作EF BC ⊥于点F ，求证：F 为线段CD 中点．【答案】见解析 【解析】 【分析】由AB=AC 得到B C ∠=∠，由DE AB ∥推出EDC C ∠=∠，从而证得ED=EC ，再根据EF BC ⊥即可得到结论.【详解】解：证明：∵AB AC =， ∴B C ∠=∠． ∵DE ∥AB ， ∴∠EDC=∠B ， ∴EDC C ∠=∠． ∴ED EC =． ∵EF BC ⊥，∴点F 为线段CD 中点．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.20. 关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）k ＜2（2）120,2x x ==- 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k 的取值范围； （2）根据（1）中的k 的取值范围和k 为正整数得出k 的值，再解方程即可， 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴()22410k ∆=-->，=8－4k >0.， ∴2k <；（2）∵k 为正整数， ∴k =1，解方程220x x +=得，120,2x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线1y x =+交于点()2,A a ． （1）求a ，k 的值；（2）连结OA ，点P 是函数()0ky k x=≠上一点，且满足OP OA =，直接写出点P 的坐标（点A 除外）．【答案】（1）3a =，6k =；（2）点P 的坐标()3,2，()2,3--，()3,2-- 【解析】 【分析】（1）利用直线1y x =+即可求出a ，得到点A 的坐标后代入()0ky k x =≠即可求出k ； （2）根据点A 的坐标求出2222313OA =+=，设点P(x ，6x )由OA=OP 得到226()13x x+=，解出x 值即可得到点P 的坐标.【详解】解：（1）∵直线1y x =+经过点()2,A a ， ∴3a =． ∴()2,3A ．∵函数()0ky k x=≠的图象经过点()2,3A ， ∴6k =． （2）∵A(2，3)， ∴2222313OA =+=， 设点P(x ，6x), ∵OA=OP ， ∴22OA OP =， ∴226()13x x+=，解得：2x =± 或3x =±，经检验均符合题意， ∴点P 的坐标()3,2，()2,3--，()3,2--．【点睛】此题考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，特殊法解一元二次方程.22. 如图，已知平行四边形ABCD ，延长AB 到E 使BE AB =，连接BD ，ED ，EC ，若ED AD =． （1）求证：四边形BECD 是矩形；（2）连接AC ，若8AD =，4CD =，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）7AC =【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形证得BE=CD ，由此得到四边形BECD 是平行四边形，利用ED=AD 得到ED=BC ，由此得到结论；（2）根据矩形的性质及勾股定理求出2243B D D A AB =-=，得到CE ，再利用勾股定理即可求出AC.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AB CD =． ∵BE AB =， ∴BE CD =．∴四边形BECD 是平行四边形． ∵AD BC =，AD DE =， ∴BC DE =．∴四边形BECD 是矩形． （2）解：∵4CD =， ∴4AB BE ==．∵8AD =，90ABD ∠=︒， ∴2243B D D A AB =-=,∴43CE =， ∴2247AC AE CE =+=．【点睛】此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，掌握定理并熟练运用解题是关键.23. 为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的名学生的数学成绩进行分析：甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88 整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据： 分段 学校 3039x≤≤ 4049x≤≤5059x≤≤ 6069x≤≤7079x≤≤8089x≤≤ 90100x≤≤ 甲 1 1 0 0 3 7 8 乙两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：（1）经统计，表格中m的值是__________．（2）得出结论①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为__________．②可以推断出__________学校学生的数学水平较高，理由为：__________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【答案】（1）88；（2）①450，②甲，甲的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高【解析】【分析】（1）先整理统计表，得到总人数是20人，取中间两个数的平均数即可得到m；（2）①用样本中80分以上的人数除以样本总人数再乘以全校的人数600即可得到答案；②根据统计表分析即可得到答案，答案不唯一.【详解】解：整理、描述数据分析数据（1）经统计表格，得到总人数=1+1+0+0+3+7+8=20(人)，中间两个数据都是88，∴m 的值是88． 故答案为：88；（2）①甲学校600名初二学生在这次考试成绩80分以上人数为7860045020+⨯=（人） 故答案为：450．②答案不唯一，理由须支撑推断结论．答案为：甲，甲的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高.【点睛】此题考查统计计算，会求样本数据总数，利用样本的比例求总体数量，会计算中位数，能根据表格得到相应的结论，正确整理表格数据是解题的关键. 24. 如图，以AB 为直径作O ，过点A 作O 的切线AC ，连结BC ，交O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：2AEB C ∠=∠； （2）若5AB =，4tan 3B =，求DE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）76DE = 【解析】 【分析】 （1）由AC 是O 的切线得到90BAC ∠=︒，根据点E 是BC 边的中点求出C EAC ∠=∠，即可得到结论；（2）连接AD ，由AB 是直径得到90ADB ∠=︒，根据4tan 3B =求出BD=3，253BC =，根据点E 是BC 中点求出BE 即可得到DE. 【详解】解：（1）证明：∵AC 是O 的切线，∴90BAC ∠=︒． ∵点E 是BC 边的中点， ∴AE EC =． ∴C EAC ∠=∠，∵AEB C EAC ∠=∠+∠， ∴2AEB C ∠=∠． （2）解：连结AD ．∵AB 为直径作O ，∴90ADB ∠=︒． ∵5AB =，4tan 3B = ∴3BD =．在Rt ABC △中，5AB =，4tan 3B =， ∴253BC =， ∵点E 是BC 边的中点，∴256BE =． ∴76DE =．【点睛】此题考查切线的性质定理，圆周角定理，等腰三角形的定义，勾股定理，当题中出现直径时通常连接圆周角得到直角，再进行其他证明.25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点()1,2P a --，()4,2Q -．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）()4,5B a --；（2）2x =-；（3）205a -≤< 【解析】【分析】（1）根据解析式得到点A 的坐标，利用平移即可得到带你B 的坐标； （2）根据点A 、B 的对称性即可求出对称轴；（3）分两种情况：a>0或a<0时，分别确定点P 、Q 的位置，根据抛物线与线段PQ 恰有一个公共点求出答案.【详解】（1）∵抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ， ∴点A(0，-5a)，∵将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ， ∴B(-4，-5a)； （2）对称轴是x=0422-=-； （3）如图：当a<0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --,且-5a>-2a ， ∴点P 在抛物线下方，∵()4,2Q -，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方或是在抛物线上，即25a ≥-， 解得25a ≥-， ∴205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；当a>0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --，且-5a<-2a<0， ∴点P 在抛物线上方，在x 轴下方， ∵()4,2Q -，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方，∴此时抛物线与线段PQ 没有公共点；综上，205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用解析式求点坐标，点平移的规律，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题.26. 如图1，在ABP △中，60ABP ∠=︒，90120APB ︒<∠<︒，过点A 的直线l 垂直于线段BP 所在的直线．设点B ，P 关于直线l 的对称点分别为点B '，P '（1）在图1中画出ABP △关于直线l 对称的三角形AB P ''△．（2）若BAP α∠=，求AP B '∠的度数．（用α表示）（3）若点P '关于直线AB '的对称点为M ，连接AM ，PM ．请写出PA 、PM 之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）60α︒+；（3）PA PM =，PA ，PM 所成锐角为60°，见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；（2）根据轴对称得到AP AP '=，再根据外角关系推导出2160B B A P α∠=∠=∠+∠=︒+；（3）先根据轴对称求出∠3=∠4=∠ 5，由AB AB '=，60B ∠=︒ 证得BAB '△为等边三角形得出60BAB PAM '∠=∠=︒ ，根据AP AP '=，AP AM '= 证得AP=AM 得到PAM △为等边三角形，由此得到 P A P M =，60APM ∠=︒，即PA 与PM 所成角为60°. 【详解】（1）如图：（2）解：∵P '，P 关于直线 l 对称，∴AC PP '⊥，CP CP '= ，∴AP AP '=，∴12∠=∠， 又∵在ABP △中，60B ∠=︒ ，BAP α∠=，∴2160B BAP α∠=∠=∠+∠=︒+ ，即60AP B α'∠=︒+；（3）PA PM =，PA ，PM 所成锐角为60°∵B ，B '关于直线l 对称，∴'⊥AC BB ，CB CB '= ，∴AB AB '=，∵60B ∠=︒∴60B B '∠=∠=︒在AP B ''△中，23603B '∠=∠+∠=︒+∠ ，又∵260α∠=︒+，∴3α∠=．∵点M 、P '关于AB ' 对称，∴AB P M ''⊥，DP DM '= ，∴AP AM '=，∴∠4=3α∠=，∵5α∠=，∴45∠=∠，∴45PAM PAB PAB BAB '''∠=∠+∠=∠+∠=∠ ，∵AB AB '=，60B ∠=︒ ，∴BAB '△为等边三角形，∴60BAB PAM '∠=∠=︒ ，又∵由（2）得AP AP '=，AP AM '=，∴AP AM =，∴PAM △为等边三角形，∴PA PM =，60APM ∠=︒ ，即PA 与PM 所成角为60°. 【点睛】此题考查轴对称作图，轴对称的性质，三角形外角性质，等边三角形的判定及性质，是一道三角形的综合题.27. 已知图形M 和图形M 上的两点P 、Q ，如果PQ 上的所有点都在图形M 的内部或边上，则称PQ 为图形M 的内弧．特别的，在ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在ABC 的内部或边上，则称DE 为ABC 的中内弧．（注：PQ 是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点()4,0A ()0,B n ．设内弧所在圆的圆心为P ．（1）当4n =时，连接OA 、OB 并延长．①请在图1中画出一条AOB ∠的内弧AB ；②请直接写出AOB ∠的内弧AB 长度的最大值__________．（2）连接OA 、OB 并延长．①当433n =时，请直接写出AOB ∠的所有内弧AB 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围__________； ②若直线6x =上存在AOB ∠的内弧AB 所在圆的圆心P ，请求出n 的取值范围．（3）作点B 关于点O 的对称点C ，作点B 关于点A 的对称点D ，连接BC 、BD 、CD ．令0n >，当BCD 的中内弧AO 所在的圆的圆心P 在BCD 的外部时，BCD 的所有中内弧AO 都存在，请直接写出n 的取值范围__________．【答案】（1）①见解析，②2π；（2）①233P y ≤833P y ≥4242n -≤≤且0n ≠；（3）22n ≥【解析】【分析】（1）①过点A 、B 作弧线即可；②以线段AB 为直径的半圆即是AOB ∠的内弧AB 长度的最大值，利用弧长公式计算即可；（2）①根据点A 、B 的坐标求出833，及∠OAB=30°，再分两种情况：当AB 在线段AB 上方时，当AB 在线段AB 下方时，分别求出AB 最长值即可得到答案；②取直线x=6上一点P ，连接BP ，过点P 作PC ⊥AB 于C ，直线x=6交x 轴于点D ，当AB 在线段AB 下方时且AB 最大，过A 、B 两点的圆P 与y 轴相切，则BP ⊥y 轴，PC 垂直平分AB ，此时四边形OBPD 是矩形，根据矩形的性质及三角形相似求出n 的值，即可得到答案；（3）作AO 的垂直平分线，交x 轴于点D ，交CD 于点P ，交AB 于点E ，根据AO 在线段AO 的下方时，AO 在AO 的上方时，分别求出AO 的最大值，即可得到n 的取值范围.【详解】解：（1）①如图：②以线段AB 为直径的半圆即是AOB ∠的内弧AB 长度的最大值，∵A(4，0)，B(0，4)，∴OA=OB=4，∴AB=42， ∴AOB ∠的内弧AB 长度的最大值=18022180π⨯=22π， 故答案为：22π；（2）①∵A(4，0)，B(0，433)， ∴OA=4，OB=433, ∴AB=833， 如图，当AB 在线段AB 上方时，此时以AB 为直径的半圆的弧线最长，过圆心P 作PH ⊥x 轴于H ，则PH=12323OB =， ∴233P y ≤，如图，当AB 在线段AB 下方时，过A 、B 两点的圆P 与x 轴相切，过点A 作x 轴的垂线，与线段AB 的垂直平分线交于点P ，交AB 于点H ，此时AB 最长，连接BP ，∵OA=4，OB=433, ∴tan ∠OAB=433343OB OA == ， ∴∠OAB=30°，∴∠BAP=60°，∵PH 垂直平分AB ，∴AP=BP ，∴△ABP 是等边三角形，∴AP=AB=833， ∴833P y ≥，综上，233P y ≤833P y ≥ ②如图，取直线x=6上一点P ，连接BP ，过点P 作PC ⊥AB 于C ，直线x=6交x 轴于点D ，当AB 在线段AB 下方时且AB 最大，过A 、B 两点的圆P 与y 轴相切，则BP ⊥y 轴，PC 垂直平分AB ，此时四边形OBPD 是矩形，∴BP=OD=6，∵A(4，0)，B(0，n),∴OA=4，OB=n ，∴216n +∴21162n +易证△AOB∽△BCP，∴BP BC AB OA=,∴2211624216nn+=+解得n=42（n=-42舍去），同理，当AB在线段AB上方时且AB最大，n=-42，综上，n的取值范围是4242n-≤≤且0n≠；（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，当AO在线段AO的下方时，当AO是直径时，AO最大，此时DP=OD=AD=2<OC，即圆心P在△BCD内部，当AO在AO的上方时，当圆P与BD相切时，即AP⊥BD时，AO最大，∵PE⊥AO∴2AO DE DP=⋅，∴2122n n=⋅，解得22n=∴当BCD的中内弧AO所在的圆的圆心P在BCD的外部时，BCD的所有中内弧AO都存在，n的取值范围是22n≥.【点睛】此题是一道压轴题，考查的是圆和函数的综合知识，解题中掌握函数的有关性质，圆的性质，三角形外心的确定，圆的切线的性质定理是解题的关键，将所学知识综合，融会贯通是解题的有效手段.。
2020.4.19理工附初三数学零模测试答案及评标终结稿2020.4.19_20200425_213540
理工附中初三年级数学线上零模测试答案及评标一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案 C A C B D B A D二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9．x≠ 1. 10.a(b− 1)(b− 3)（没分解彻底得1分）11.2,-3 . （答案不唯一）12.①②③. （少项扣1分）13.6 . 14.20 .⎧x -y = 3⎪ 15. ⎨y -1x =1. （列对一个方程得1分）16. ①②③（少项扣1分）⎩⎪ 2三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题,每小题 6 分，第 25 题5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．4 − √3（每个点给1 分，结果1 分共5 分）18．−1 ≤ x < 2. （解对一个不等式给2 分，最后结果1 分，共5 分）19. (1)a≠ 0（△算对给 2 分，求出 a 的范围给 1 分）(2)a = −2，a = 0（每一个值给1 分）20．思路：可证EA = ED，EC = ED（共5 分）∠BAD=∠C 1 分DE=EC 1 分∠DEA=∠EAD 1 分DE=EA 1 分AE=EC 1 分21. 解：（1）∵BC=CD,MD=MB,CM=CM∴△CDM≌△CBM∴∠DCM=∠BCM∵CD∥AB∴∠DCM=∠CAB∴∠CAB=∠ACB∴AB=BC∴AB=CD又∵CD∥AB∴四边形ABCD 是平行四边形…................................... 2 分∵BC=CD∴四边形ABCD 是菱形........................................... 3 分（2）作MF⊥CB 于F∵∠ABC=120°，AB=BC∴∠ACB=30°在Rt△CMF 和Rt△BMF 中∵CM=4∴M F=2,CF=2 3 .............................................. 4 分∵BM=6∴BF=4 2∴BC=BF+FC=4 2 + 2 3 .................................... 5分其他方法酌情给分22．（1）解：∵直线y=x－2 经过点A（a，1）.∴a=3 ................................................................................... 1分∵函数经过点A（3，1）∴k=3.......................................... 2 分（2）点P 的坐标为（-1，0），(- -1，0)…….…….……5 分(对一个给2 分)23．（1）如图：1 分中位数是4.73 2 分（2）28 3 分（3）0.6 4 分（4）①②③ 6 分（写不全扣1 分）23 2324.(1)证明：连接OC，∵ AC平分∠DAB，∴ ∠DAC = ∠CAB， 1 分∵ OC = OA，∴ ∠OAC = ∠OCA，∴ ∠DAC = ∠OCA，∴ OC//AD， 2 分∵ AD⊥CD，∴ OC⊥CD，∵ OC为⊙ O半径，∴CD是⊙O的切线； 3 分(2)解：连接BC，∵ AB为直径，∴ ∠ACB = 90°，∵ AC平分∠BAD，∴ ∠CAD = ∠CAB，∵ CD = 3，AD = 4，得AC = 5，∴ BC= 3，(或证明△ ACD∽△ ABC也可)AC 4BC= 3，∴ BC = 15， 4 分5 4 4由勾股定理得AB = 25，4∴ OC =25， 5 分8∵ OC//AD，25∴ OC= CE，∴8= CE，AD DE 4 CE+3解得CE = 75，6 分725．解：（1）①y=ax2+b x+c，（a，b，c 是常数，a≠0）． ------------------------ 1 分（字母范围写不全不扣分）（2）图象如图1 所示． 2 分图 1（3）①②．3 分（4）x ≤ −1 或x ≥ 3 或x = 0 --------------------------------------------------------- 5 分（答案不全扣 1 分）26. （1）①由已知得：x 2 − 2bx − 3b 2 + 2 = 2 化简得：x 2 − 2bx − 3b 2 = 0(x − 3b )(x + b ) = 0解得：x 1 = 3b , x 2 = −b 1 分 ∵b > 0,又点 A 在点 B 的左侧 ∴A （-b,2） 2 分 ②∵A （-b,2）, P (−b − 1,2),∴AP =1 ------------------------------------- 3 分（2）当b = 0时，原式转化为y = x 2 + 2仅与 y = 2 有一个交点.所以不符合题意.（没讨论此情形不扣分）当b > 0时，点 A （-b,2）,点 B (3b,2)∵点 P （−b −1，2）,∴点 P 在点 A 左侧，即点 P 在抛物线外部.又∵-b<0若该抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点,则点 Q 必在抛物线内部， 又∵Q （1，2） ∴3b>1 1解得 b ＞4 分3当b < 0时，点 A (3b,2)，点 B （-b,2） ∵点 P （−b −1，2）,∴点 P 在点 B 左侧，3b -b-1 -b 1若该抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点如图所示，如图 1：当点 P 在点 A 和点 B 之间， 图 1点Q 在点 B 右侧时（即点P 在抛物线内部，点 Q 在抛物线外部），即 ： 3b < −b − 1 < −b， 解得-1<b < - 1 ， ---------------- 5 分{−b < 1 4当点 P 和点 A 重合时，即3b = −b − 1,解得b = − 1,−b = 1,而 Q （1，2）44此时，抛物线与线段P 有两个交点，不符合题意当点 Q 和点 B 重合时，即−b = 1,b = −1,−b − 1 = 0,3b < 0 此时抛物线与线段 PQ 恰有一个交点.-b-13b1 -b综上所述：-1≤b < - 14P AQ B图 2图 2 中，若点 P 在点 A 的左侧，则-b-1<3b,解得：b > − 1,此时，4−b < 1.点 Q 必在点 B 右侧.4即抛物线会与 PQ 有两交点， 不合题意. 综上所述：b ＞ 1 或-1≤b < -1 ------------------- 6 分34注：第（2）问只写答案没有过程，一个答案 1 分，有过程算对一个结果得 2 分。
北京市理工附中初三年级数学线上模拟测试二答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x ≠ 1 ；10．m(a+b+c)=ma+mb+mc ； 11．0.881；12．-1；13．40°或140°；14．25；15．-m 1；16.①②③④三、解答题17．解：解：原式 242=⨯-=418．解：原不等式组为2(1)41, 2. 2x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解不等式①得，23-≥x解不等式②得，2<x ．∴原不等式组的解集为223<≤-x ．∴原不等式组的所有整数解为-1，0，1．19．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴60B C ∠=∠=︒，∴1160ADB C ∠=∠+∠=∠+︒，∵60ADE ∠=︒，∴260ADB ∠=∠+︒，∴12∠=∠，∴△ADC ∽△DEB .20.解：(1) 84122+-+-=∆k k k()().03322方程总有两个实数根∴≥--=k k Θ()(),2312-±--=k k x Θ22.2,121<∴>-∴-=-=∴k k k x x 方程有一个根为正数，Θ 21．解：(1)∵双曲线过A （2，-3），解得：m =-6；∴所求反比例函数表达式为 ∵B （-3，n ）在反比例函数的图像上，∴n =2 ∵点A （2，-3）与点B （-3，2）在直线y =kx +b 上，∴⎩⎨⎧=+--=+2332b k b k ∴ ∴所求一次函数表达式为.(2)P (-5，0)或P (3，0)22．（1）证明：∵ CF =BE ，∴ CF +EC =BE +EC ．即 EF =BC ．∵ 在Y ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ，∴AD ∥EF 且AD = EF ．∴ 四边形AEFD 是平行四边形．∵ AE ⊥BC ，∴ ∠AEF =90°．∴ YAEFD 是矩形．（2）解： ∵ Y AEFD 是矩形，DE =12，∴ AF =DE =12．∵ AB =9，BF =15， 22222215129BF AF AB ==+=+∴.∴ ∠BAF =90°．∵ AE ⊥BF ，∴ 11S 22ABF AB AF BF AE =⋅=⋅△. 536=⋅=BF AF AB AE23．（1）如图； (1))0(≠=m x m y xy 6-=x y 6-=⎩⎨⎧-=-=11b k 1--=x y B E C F A D（2）31≤x ＜34这组的圆心角度数是 78 度， (2)如图（画图1分，数据1分）； (4)（3）统计表中中位数m 的值是 36 ； (5)（4）答案不唯一，如：费尔兹奖得主获奖时年龄集中在37岁至40岁． (6)24．（1）证明：连接OC.∵»»CD CB =∴∠1=∠3.∵OA OC =，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC ∥.∵AE EF ⊥，∴OC EF ⊥.∵ OC 是O e 的半径，∴EF 是O e 的切线.（2）∵AB 为O e 的直径，∴∠ACB=90°.根据勾股定理，由AB=10,BC=6,可求得AC=8. ∵AE EF ⊥ ，∴∠AEC=90°.∴△AEC ∽△ACB. ∴AE AC AC AB =. 1088=∴AE ∴532=AE 25. （1）补全表格： 7.6 .（2）描点，画图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：①1.5；②画出直线3y x =,2.6-2.9（在范围内即可）图 126.(1)c=4b(2)y =−x 2+6x +12(3)b ≤−5; 1≤b ≤327. 解：（1）补全图形，如图1所示．………………………………………2分（2）如图2，作PE ⊥OM 交ON 于点E ，作EF ⊥ON 交OM 于点F ．由题意可知，当线段AB 在射线ON 上从左向右平移时，线段CD 在射线EF 上从下向上平移，且OA =EC ． ……………………………………………………………………3分如图1，当点D 与点F 重合时，OA 取得最小值，为2． ……………………………4分如图3，当点C 与点F 重合时，OA 取得最大值，为4．综上所述，OA 的取值范围是2≤OA ≤4．………………………………………………5分 （3）OP =32√2，OQ =3√2．…………………………………………………………………7分28. 【答案】1 3【解析】解：(1)①如图1中，设⊙O 交y 轴于E ，连接OB 交⊙于F ．由题意d(A,⊙O)=AE =1，d(B,⊙O)=BF =OB −OF =5−2=3．故答案为1，3．图2 图3②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．当GH=1时，OF=OG+GH=3，∵直线EF的解析式为y=x+b，∴E(0,b)，F(−b,0)，∴OE=OF=b，∵OH⊥EF，∴HE=HF，∵EF=2OH=6，∴b=3√2，根据对称性可知当−3√2≤b≤3√2时，直线y=x+b与⊙O互为“可及图形”．(2)如图3中，当⊙G在y轴的左侧，OG=2时，GG(−2,0)，当⊙G′在y轴的右侧，作G′H⊥CD于H，当HG′=2时，∵直线y=x−5交x轴于C，交y轴于D，∴C(5,0)，D(0,5)，∴OC=OD=5，∠OCD=45°，∵∠CHG′=90°，∴CH=HG′=2，∴CG′=2√2，∴G′(5−2√2,0)，当点G″在直线CD的右侧时，同法可得G″(5+2√2,0)，观察图象可知满足条件的m的值为：−2≤m≤2或5−2√2≤m≤5+2√2．(1)①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F.根据图形M，N的“近距离”的定义计算即可．②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G.求出两种特殊位置b的值即可判断．(2)分三种情形求出经过特殊位置的G的坐标即可判断．。
2023年北京市海淀区理工大学附属中学中考零模数学试卷(解析版)
2023届初三年级第二学期数学零模测试一、选择题（共16分，每题2分）1. 据北京市小客车指标调控管理办公室通告指出，2022年家庭新能源小客车指标额度约为44000个，将44000用科学记数法表示应为（）A. 34410´ B. 54410´. C. 44.410´ D.50.4410´【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的一般形式为10na´，其中110a£<，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10³时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：4440004410.=´，故选：C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 圆柱C. 三棱锥D. 长方体【答案】A【解析】【分析】根据主视图和左视图确定为矩形判断出是柱体，根据俯视图判断出这个几何体是三棱柱，即可得．【详解】解：∵主视图和左视图是矩形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是三角形，∴该几何体是三棱柱；故选：A．【点睛】本题考查通过三视图还原几何体．熟练掌握常见几何体的三视图，是解题的关键．3. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则1Ð的度数为（）A. 60°B. 75°C. 105°D. 85°【答案】B【解析】【分析】利用平角的定义，求出4Ð的度数，利用两直线平行，同位角相等，即可得出结果．【详解】解：由题意，得：260,345Ð=°Ð=°，∴4180604575Ð=°-°-°=°，∵直尺的对边平行，∴1475Ð=Ð=°；故选B．【点睛】本题考查三角板中角度的计算．熟练掌握平角的定义，以及两直线平行，同位角相等，是解题的关键．4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A. 55a b ->-B. a b >-C. a b <D.0a b +>【答案】C【解析】【分析】先由实数a ，b 在数轴上的对应点的位置得到01b a <<<，1b a <<，再根据有理数的加减运算和不等式的性质逐项判断即可．【详解】解：由数轴可知，01b a <<<，1b a <<，A、55a b ->-，正确，不符合题意；B 、a b >-，正确，不符合题意；C 、a b >，故原关系式错误，符合题意；D 、0a b +>，正确，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查数轴、有理数的加法、不等式的性质，能根据实数a ，b 在数轴上的对应点的位置判断出a 、b 的大小关系是解答的关键．5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外小球无其他差别，随机从中同时摸出两个球，两个球的颜色相同的概率是（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 23【答案】B【解析】【分析】用,A B 表示两个红球，,C D 表示两个绿球，利用列举法求出概率即可．【详解】解：用,A B 表示两个红球，,C D 表示两个绿球，随机从中同时摸出两个球，共有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D 6种等可能的结果，其中两个球颜色相同的有2种结果，∴2163P==；故选B．【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，是解题的关键．6. 已知关于x的一元二次方程22210x x m-+-=有两个相等的实数根，则m的值为（）A. 12B. 1 C. 52D. 0【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可．【详解】∵一元二次方程22210x x m-+-=有两个相等的实数根，∴()()22421880m mD=---=-=，∴1m=，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程20ax bx c++=根的情况与根的判别式24b acD=-的关系：当0D>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．．7. 如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A. 2条B. 4条C. 6条D. 8条【答案】B【解析】【分析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．【详解】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8. 下面的三个问题中都有两个变量：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x；②一个体积固定的长方体，长方体的高y与底面积x；③矩形面积一定时，周长y与一边长x；其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据图象，可以得到两个变量之间成反比关系，即两个变量的乘积为定值，逐一进行判断即可．【详解】解：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度y与所用时间x 的乘积为定值，符合题意；②一个体积固定的长方体，长方体的高y 与底面积x 的乘积为定值，符合题意；③矩形面积一定时，周长y 与一边长x 的乘积不是定值，不符合题意；∴变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①②；故选A ．【点睛】本题考查反比例函数．通过图象得到两个变量之间成反比关系，是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 若13x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_______．【答案】13x £【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，列式求解即可．【详解】解：由题意，得：130x -³，解得：13x £；故答案为：13x £．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数大于等于0时，二次根式有意义，是解题的关键．10. 分解因式：3m m -=______．【答案】()()11m m m +-【解析】【分析】先提取公因式m ，再运用平方差公式分解即可．【详解】()()()32111m m m m m m m -=-=+-，故答案为()()11m m m +-．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11. 方程211x x x +=-的解为_________．【答案】2x =【解析】【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，检验，解分式方程即可．【详解】解：去分母，得：()()2211x x x x -+-=，去括号，得：2222x x x x -+-=，移项，合并，得：2x =；经检验2x =，是原方程的解；故答案为：2x =．【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意，验根．12. 如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA Ð+Ð=______°（点A ，B ，P 是网格线交点）．【答案】45【解析】【分析】取格点Q ，连接PQ ，根据网格特点，45QPB Ð=°，根据三角形的外角性质得到PAB PBA QPB Ð+Ð=Ð即可求解．【详解】解：取格点Q ，连接PQ ，根据网格特点，45QPB Ð=°，且A 、P 、Q 共线，∵QAB Ð是APB △的一个外角，∴PAB PBA QPB Ð+Ð=Ð，∴45PAB PBA Ð+Ð=°，故答案为：45．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质，找到格点Q 得到45QPB Ð=°是解答的关键．13. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x （单位：环）及方差2s （单位：环 2）如下表所示．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______．【答案】丙【解析】【分析】根据平均数和方差作决策【详解】解：∵222x x s x s x s <<==<丁乙丙甲乙丁丙，∴丙的平均成绩高且发挥稳定，∴应该选择丙参加比赛．故答案为：丙．【点睛】本题考查利用平均数和方差作决策．熟练掌握平均数表示数据的集中程度，方差表示数据的离散程度，方差越小，数据波动越小，越稳定，是解题的关键．14. 如图，半径为1的O e 与边长为ABC 的两边AB ，BC 都相切．连接OC ，则tan OCA Ð=__________．【答案】539【解析】【分析】连接BO 并延长，交AC 于点D ，易得BD AC ^，30OBC Ð=°，过点O 作OE BC ^于点E ，利用30度的直角三角形，求出,OB BD ，进而求出OD ，即可得解．【详解】解：连接BO 并延长，交AC 于点D ，过点O 作OE BC ^于点E ，∵半径为1的O e 与边长为ABC 的两边AB ，BC 都相切，∴60,ABC AC BC OB Ð=°==平分ABC Ð，1OE =，∴30,OBC BD AC Ð=°^，∴922,cos 22BO OE BD BC DBC ===×Ð==，122CD AC ==，∴52OD BD OB =-=，∴5tan92ODOCACDÐ===；故答案为：9．【点睛】本题考查切线长定理，等边三角形的性质，解直角三角形．熟练掌握切线长定理，等边三角形三线合一，是解题的关键．15. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若4AB=，DE=AF的长为__________.【答案】53##213【解析】【分析】先根据矩形性质和勾股定理求得AD、AC的长，再证明AFE CFD∽△△，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：四边形ABCD是矩形，4AB=，∴90BAD ADCÐ=Ð=o，4AB CD==，AB CD∥，∵E是边AB的中点，∴122AE AB==，则3AD===，5AC===，∵AB CD ∥，∴FAE FCD Ð=Ð，又AFE CFD Ð=Ð，∴AFE CFD ∽△△，∴12AF AE CF CD ==，∴1533AF AC ==，故答案为：53．【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，会利用相似三角形的性质寻求线段数量关系是解答的关键．16. 为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，F 的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：该班需要的总的奖品个数不超过个，且一等奖的个数不少于个，不超过个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案____________（写出要购买的大礼包编号）【答案】,,,A B C D 各买一个（答案不唯一）【解析】【分析】根据该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，进行判断即可．【详解】解：当购买,,,A B C D 各一个时：一等奖的个数为：123410+++=，81014<<，满足题意；二等奖的个数为：123511+++=，71113<<，满足题意；三等奖的个数为：434516+++=，161110>>，满足题意；奖品总个数为：1011163741++=<，满足题意；故答案为：,,,A B C D 各买一个（答案不唯一）．【点睛】本题考查有理数的加法的实际应用．解题的关键是根据题意，列出算式，进行求解．三、解答题（共68分，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）17. 计算：()113tan 30π432-æö°--+-ç÷èø．【答案】1-【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及绝对值的意义化简求解即可．【详解】解：()113tan 30π432-æö°--+-ç÷èø31223=´-++-1=-+1=-．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的意义，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．18.解不等式组： 2632152x xx -<ìï+í£ïî．【答案】162x -<£【解析】【分析】先求解每个不等式的解集，再求它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：2632152x x x -<ìïí+£ïî①②解①，得6x >-，解不等式②，得()225x +£，则12x £，∴不等式组的解集为162x -<£．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是解答的关键．19. 已知1a b -=，求代数式2222222a b ab b a a ab a æö--¸-ç÷+èø的值.【答案】()12a b -，12【解析】【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再整体代值求解即可．【详解】解：2222222a b ab b a a ab a æö--¸-ç÷+èø()()()2222a b a b a ab b a a b a +--+=¸+()()22a b aaa b -=´-12a b =-，当1a b -=时，原式11212==´．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式，掌握分式混合运算法则并正确计算是解答的关键．20. 已知：如图，点C 在∠MON 的边OM 上．求作：射线CD ，使CD //ON ，且点D 在∠MON 的角平分线上．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM ，ON 于点A ，B ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，交于点Q ；③画射线OQ ；④以点C 为圆心，CO 长为半径画弧，交射线OQ 于点D ；⑤画射线CD ．射线CD 就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD 平分∠MON ，∴∠MOD =________．∵OC =CD ，∴∠MOD =________．∴∠NOD =∠CDO ．∴CD //ON （ ）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）∠NOD ；∠CDO ；内错角相等，两直线平行【解析】【分析】（1）根据作图方法要求，依次完成即可；（2）根据角平分线、等腰三角形的性质及平行线的判定即可证明结论．【详解】（1）解：补全图形，如图：（2）证明： ∵OD 平分∠MON ，∴∠MOD =∠NOD ．∵OC =CD ，∴∠MOD =∠CDO ．∴∠NOD =∠CDO ．∴CD ON ∥（内错角相等，两直线平行．）故答案为：∠NOD ；∠CDO ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了基本作图及平行线的判定，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质及平行线的判定是解题的关键．21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED BF =，连接AF，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若AC 平分EAF Ð，6AC =，4tan 3DAC Ð=．求四边形AFCE 的面积．【答案】（1）见解析 （2）24【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定与性质解答即可；（2）先证明四边形AFCE 是菱形，得到90AOE Ð=°，然后利用正切概念求得OE ，再利用菱形的面积公式求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∵ED BF =，∴AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形；【小问2详解】解：∵AC 平分EAF Ð，∴CAF CAE Ð=Ð，∵AE CF ∥，∴CAE ACF Ð=Ð，∴CAF ACF Ð=Ð，∴AF CF =，∴平行四边形AFCE 是菱形，∴AC EF ^，132AO AC ==，12OE EF =，在Rt AOE △中，90AOE Ð=°，4tan 3OE DAC AO Ð==，∴443OE AO ==，则28EF OE ==，∴四边形AFCE 的面积为1242AC EF ×=；【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质等，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解答的关键．22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数()30y kx k k=+¹的图象与x轴交于点A，且经过点()1,B m．（1）当4m=时，求一次函数的解析式及点A的坐标；（2）当1x>-时，对于x的每一个值，函数y x=的值都大于一次函数()30y kx k k=+¹的值，请直接写出k的取值范围．【答案】（1）3y x=+，()30A-,（2）12k£-【解析】【分析】（1）将点B代入解析式，求出k值，得到一次函数的解析式，再求出点A的坐标即可；（2）画出图象，得到当=1x-时，31k k-+£-，解不等式即可．【小问1详解】解：当4m=时，()1,4B，∵一次函数()30y kx k k =+¹的图象与x 轴交于点A ，且经过点()1,4B ，∴43k k =+，∴1k =，∴3y x =+，当0y =时，03x =+，解得：3x =-；∴()30A -,；【小问2详解】解：∵()30y kx k k =+¹，当0y =时：()030kx k k =+¹，∴3x =-，∴()30y kx k k =+¹必过点()3,0-，∵当1x >-时，对于x 的每一个值，函数y x =的值都大于一次函数()30y kx k k =+¹的值，如图：∴当=1x -时，31k k -+£-，∴12k £-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．23. 某中学进行普法综合知识竞赛，为了解七、八年级的答题情况，分别从两个年级各随机抽取m名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息：a.七年级学生竞赛成绩的频数分布表：b：七年级学生竞赛数据在7080£<这一组的是：78，79，73，78，72．xc：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：（1）填空：m=______，=a______，b=______，c=______；（2）请估计哪个年级的竞赛成绩更优秀，并说明理由．（3）按照比赛规定80分及以上可以获得奖品，若七、八年级各有200名学生，估计两个年级共可以获得奖品的学生至少为多少人？【答案】（1）10，5，0.3，78.5（2）八年级的竞赛成绩更优秀，理由见解析（3）至少180人【解析】【分析】（1）由竞赛成绩在6070£<的频数除以其频率可求得抽取总人数，进而可求得xa 、b ，再根据中位数的求解方法求解c 值即可；（2）根据表中的平均数、中位数、众数和方差的数据分析即可得出结论；（3）分别求得七八年级获得奖品的人数即可求解．【小问1详解】解：101010.m =¸=，101315a =---=，303010.b ==，在10个数据中，中位数在7080x £<这一组，数据从小到大排列：72，73，78，78，79，∴78797852.c +==，故答案为：10，5，0.3，78.5；【小问2详解】解：八年级的竞赛成绩更优秀，理由为：虽然八年级的平均数比七年级的低一点，但中位数和众数都比七年级大，方差比七年级小，相对成绩较稳定，所以八年级的竞赛成绩更优秀．【小问3详解】解：七年级80分及以上可以获得奖品的人数约为42008010´=（人），∵八年级抽取人数的竞赛成绩的中位数为80，∴估计八年级80分及以上可以获得奖品人数约100人以上，∴估计两个年级共可以获得奖品的学生至少为180人．【点睛】本题考查频数分布表、中位数和众数、方差作决策、用样本估计总体，理解题意，能从表格中获取有效信息，并解决问题是解答的关键．24. 如图，AB 为O e 的直径，C 为BA 延长线上的一点，CD 为O e 的切线，D 为切点DE AB ^于点F ，连结BE ．（1）求证：12ABE CDE Ð=Ð（2）作BG CD ^交CD 延长线于点G ，交O e 点H ，若2sin 3C =，10BG =，求GH 的长．【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）连接OD ，OE ，先根据切线的性质得到90ODC DOC C Ð=Ð+Ð=°，再根据等腰三角形的性质得到CDE DOC Ð=Ð，利用圆周角定理即可证得结论；（2）连接AH ，利用圆周角定理和解直角三角形分别求得BC 、OD 、BH 即可求解．【小问1详解】证明：连接OD ，OE ，∵CD 为O e 的切线，D 为切点，∴90ODC DOC C Ð=Ð+Ð=°，∵OD OE =，DE AB ^，∴DOF EOF Ð=Ð，90CDE C Ð+Ð=°，∴CDE DOC Ð=Ð，∵1122ABE AOE DOC Ð=Ð=Ð，∴12ABE CDE Ð=Ð；【小问2详解】解：连接AH ，∵BG CD ^，2sin 3BG C BC ==，10BG =，∴15BC =，在Rt ODC V 中，90ODC Ð=°，2sin 3OD C OC ==，OB OD =，∴2153OD OD =-，解得6OD =，经检验，6OD =∵AB 为O e 的直径，∴90AHB Ð=°，则2sin 3BH C AB ==，∴283BH AB ==，∴1082GH BG BH =-=-=．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．25. 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，并且可以360°旋转喷水，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线.现对某个方向喷水的路径测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．（1）在网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；（3）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留π）【答案】（1）图见解析（2）水柱最高点距离湖面的高度为2.5米（3）11π【解析】【分析】（1）根据表格数据对应描点画图即可；（2）根据表格数据和图象的对称性可得答案；（3）先利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再求出落水点距离喷头的水平距离，进而求得圆形护栏的半径，根据圆的周长公式即可求解．【小问1详解】解：如图所示；【小问2详解】解：由表格和图象得，抛物线的对称轴为直线2d =，∴当2d =时， 2.5h =，∴水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；【小问3详解】解：∵抛物线的顶点坐标为()2,2.5，与y 轴交点坐标为()0,0.9，∴设该抛物线的解析式为()22 2.5h a d =-+，将()0,0.9代入，得0.94 2.5a =+，∴0.4a =-，∴抛物线的解析式为()20.42 2.5h d =--+，令0h =，由()20.42 2.50d --+=得 4.5d =（负值舍去），∵喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，∴圆形护栏的半径至少5.5米，∵2π 5.511π´=（米），∴公园至少需要准备11π米的护栏．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．26. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线()2220=-¹y ax a x a ．（1）当抛物线过点()2,0时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含a 的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点()11,A a y -和()23,B a y +，当120y y ×<，求a 的取值范围．【答案】（1）22y x x =-（2）x a =（3）13a <<或31a -<<-【解析】【分析】（1）把()2,0代入解析式进行求解即可；（2）利用对称轴公式进行计算即可；（3）分0a >和0a <，两种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线过点()2,0，∴2044a a =-，解得：1a =或0a =（舍去）；∴22y x x =-；【小问2详解】解：抛物线的对称轴为：222a x a a-=-=；【小问3详解】解：()2222y ax a x ax x a =-=-，当0y =时，()02ax x a =-，解得：120,2x x a ==；①当0a >时：∵120y y ×<，如图，或则：0132a a a a <-<ìí+>î或1032a a a a -<ìí<+<î，解得：13a <<或无解；∴13a <<；②当0a <时：∵120y y ×<，如图，或则：1230a a a a -<ìí<+<î或21030a a a <-<ìí+>î，解得：无解或31a -<<-；∴综上：13a <<或31a -<<-．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是数形结合．27. 如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，90A Ð=°，45C Ð=°，作135CDE Ð=°，使得点E 和点A 在直线CD 异侧，连接AC ，将射线AC 绕点A 逆时针旋转90°交射线DE 于点F ．（1）①依题意，补全图形；②证明：DF BC =．（2）连接BD ，若G 为线段BD 的中点，连接CG ，请用等式表示线段CG 与AF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）22CG AF =，证明见解析【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转性质和全等三角形的判定证明()SAS ≌DAF BAC V V 即可证得结论；（2）延长CG 至H ，使GH CG =，连接DH ，CF ，先证明()SAS ≌DGH BGC V V ，得到DH BC =，H BCG Ð=Ð，进而证得CDF CDH Ð=Ð，再证明()SAS ≌CDF CDH V V ，得到2CF CH CG ==，在Rt FAC △中，利用勾股定理即可得出结论．【小问1详解】解：①根据题意，补全图形如图所示；②证明：由旋转性质得90CAF =°∠，AF AC =，∵90BAD Ð=°，∴90DAF BAC CAD Ð=Ð=°-Ð，在DAF △和BAC V 中，AF AC DAF BACAD AB =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ≌DAF BAC V V ，∴DF BC =；【小问2详解】解：22CG AF =．证明：延长CG 至H ，使GH CG =，连接DH ，CF，∵G 为线段BD 的中点，∴DG BG =，在DGH V 和BGC V 中，GH CG DGH BGCDG BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌DGH BGC V V ，∴DH BC =，H BCG Ð=Ð，∵45DCB DCG BCG DCG H Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴180135CDH DCG H Ð=°-Ð-Ð=°，∴CDF CDH Ð=Ð，∵DF BC =，∴DF DH =，在CDF V 和CDH △中，DF DH CDF CDHCD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌CDF CDH V V ，∴2CF CH CG ==，在Rt FAC △中，AC AF =，90CAF =°∠，∴22CF AC AF =+=，∴2CG =，即22CG AF =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，添加适当辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),M a b ，N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，再向上()0b ³或向下()0b <平移b 个单位长度，得到点P ¢，点P ¢关于点N 的对称点为P ¢¢，NP ¢¢中点记为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”.（1）如图，点()1,1M ，点N 在线段OM 的延长线上，若点()3,0P-，点Q 为点P 的“对应点”．①在图1中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T ．求证：13NT OM =；（2）O e 的半径为2，M 是O e 上一点，点N 在线段OM 上，且()12ON t t =<<，若P 为O e 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ ．当点M 在O e 上运动时，直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）32t -【解析】【分析】（1）①根据题意，先求得点P ¢坐标，再作出点P ¢关于N 对称点P ¢¢，进而找到NP ¢¢的中点Q 即可；②连接PP ¢，由题意可得到1122NQ NP P N ¢¢¢==，P P ON ¢∥，进而证明QNT QP P ¢V V ∽即可证得结论；（2）根据题意画出图形，连接PQ ，交线段ON 于点T ，仿照（1）中方法得到12=33NT P P ¢=，23OT ON NT t =-=-； 连接PO 并延长至S ，使12OS PO =，连接SQ ，证明POT PSQ V V ∽，得到33122SQ OT t ==-，根据三角形三边关系可得到PQ 的最大值为PS SQ +，最小值为PS SQ -，进而可求解．【小问1详解】解：①由平移性质得，P ¢的坐标为()31,01-++，即()2,1-，则点Q 即为所求作；②连接PP ¢，由平移性质，得P P OM ¢∥，P P OM ¢=，∵点P ¢关于点N 的对称点为P ¢¢，NP ¢¢中点记为Q ，∴1122NQ NP P N ¢¢¢==，∵P P ON ¢∥，∴QNT QP P ¢Ð=Ð，QTN QPP ¢Ð=Ð，∴QNT QP P¢V V ∽∴13NT NQ P P QP ==¢¢， ∴13NT P P ¢=，∴13NT OM =；【小问2详解】解：如图，连接PQ ，交线段ON 于点T ，由平移和对称性质得P P OM ¢∥，2PP OM ¢==，12NQ P N ¢=，∴QNT QP P ¢Ð=Ð，QTN QPP ¢Ð=Ð，∴QNT QP P ¢V V ∽，∴13NT QT NQ P P PQ QP ===¢¢，则12=33NT P P ¢=，∴23OT ON NT t =-=-；连接PO 并延长至S ，使12OS PO =，连接SQ ，则23PO PT PS PQ ==，又TPO QPS Ð=Ð，∴POT PSQ V V ∽，∴23OT PO SQ PS ==，∴33122SQ OT t ==-，∵当点M在O-££+，当P、S、Q共线时取等号，e上运动时，有PS SQ PQ PS SQ∴PQ的最大值为PS SQ-+，最小值为PS SQ∴PQ长的最大值与最小值的差为()232+--==-．PS SQ PS SQ SQ t【点睛】本题考查了坐标与图形变换-平移、对称性质、相似三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握利用相似三角形的性质探究线段数量关系是解答的关键．。