勾股定理的几种证法

1 1 2 a + b + 4 × ab = c + 4 × ab 2 2
2 2
a +b = c
2 2
2
F
方法10 方法
b G c
a E P b C H c a B c D a
b c a b A
方法11 方法
F
E b c a A P b c M N a Q c B c C
方法12 利用相似三角形的性质 方法
所以 a 2 + 2 ab + b 2 = c 2 + 2 ab
故a 2 + b 2 = c 2
方法6 方法6： 意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬 意大利文艺复兴时代的著名画家达 芬 奇的拼图验证法
1.在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a 1.在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，并 在一张长方形的纸板上画两个边长分别为 的正方形， 连结BC、EF,如图所示； 连结BC、EF,如图所示； BC 如图所示
SABCDEF
=
SA’B’C’D’E’F’ BCDEF
1 1 即a 2 + 2 × ab + b 2 = c 2 + 2 × ab 2 2 a 2 + ab + b 2 = c 2 + ab
故a 2 + b 2 = c 2
方法7: 方法7:欧几里得的证明方法
E
C D
H G
A
P
B
F
a
C a A b M B b
G A F D
a
B
c
c
b
b
E
a
C
美国第二十任总统 伽菲尔德的证法
如图：因为 S 梯形ABCD =
D A a B b c c E a C b
1 1 (a + b) 2 = (a 2 + 2ab + b 2） 2 2
又因为S 梯形ABCD = S ∆ABE + S ∆AED + S ∆CDE
1 1 1 ab + c 2 + ab 2 2 2 1 = (c 2 + 2ab) 2 =
c
1 a ab 2 C b
方法19 方法
c 5 A b E b
B
4 F G a 3 a 6 H c a
c C a 7 M
c 2 1 b D
A B aO C b E Ⅰ Ⅱ F B’ C’
A’ 较图1、图2中两个多边形ABCDEF和ABCDEF的面积， 比较图1 中两个多边形ABCDEF和ABCDEF的面积， ABCDEF 的面积 你能验证勾股定理吗？ 你能验证勾股定理吗？ 让学生相互交流、讨论、合作，利用面积关系可得到： 让学生相互交流、讨论、合作，利用面积关系可得到：
K
c
H
F G
D
L
c
E
方法8: 方法8: 把原来的两个小正方形， 把原来的两个小正方形，剪几刀 再重新组合成另一个大正方形
5块 块
6块 块
7块 块
8块 块
9块 块
方法9 方法
a b
a a a
b c b a a
b c
a b c
c
b
b
b
c
c b
a
a
b
a
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 斜边长为c 做三个边长分别为a 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a b，所以面积相等. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
勾股定理 的几种证法: 的几种证法:
方法1: 方法1: 用四个全等的直角三角形拼成如图 所示的图形，利用面积关系可得到： 所示的图形，利用面积关系可得到： (1)
b a c c c b a
图3
a b
s大正方形 = s小正方形＋4s直角三角形 小正方形＋
a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab
如图6 :
c
5 2 4 3
大正方形c 2 :由S1、S 2、S3、S 4、S5组成； 小正方形a 2 :由S1、S 3组成； 小正方形b 2 :由S 2、S 4、S5组成
b
4
5
1
2
故a 2 + b 2 = c 2
3 1
a
(3)．用上面的两副五巧板， (3)．用上面的两副五巧板，还可以拼出 如下所示的图形： 如下所示的图形：
A B a O C b E F
A B a O C b E Ⅰ Ⅱ F B’
A’ F’
C’ D’
E’
图1
图2
图3
2．沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ如 ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ 剪下 所示； 图2所示； 将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图3所示的图形； 3．将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图3所示的图形；
Beijing
August 20--28 2002
方法3 方法3:
中国古代数学家刘徽与“青朱出入图” 中国古代数学家刘徽与“青朱出入图”
刘徽在他的《九章算术》中给出了注解，大意是： 刘徽在他的《九章算术》中给出了注解，大意是：三 角形ABC为直角三角形，以勾为边的正方形为朱方， ABC为直角三角形 角形ABC为直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以 股为边的正方形为青方；以盈补虚， 股为边的正方形为青方；以盈补虚， B 将朱、青二方并成弦方， 将朱、青二方并成弦方， 朱出 2 a c 依其面积关系有a 2 + b 2 = c ， 朱方 青入 由于朱方、 由于朱方、青方各有 C A b 一部分在弦方内， 一部分在弦方内， 青入 那一部分就不动了。 那一部分就不动了。 青方
c
4
b
2 5 3 4
5 3
1
2
图7
a
方法5: 方法5: 纸箱妙用: 如图,有一只纸箱ECDG 纸箱妙用: 如图,有一只纸箱ECDG 竖放在地上,用手一推,纸箱向前倒去, 竖放在地上,用手一推,纸箱向前倒去,旋转 90度 到了ABEF的位置, ABEF的位置 90度,到了ABEF的位置,由此勾股定理就可 以得到证明. 以得到证明.你知道为什么吗 ?
方法16 方法 利用多列米定理证明
D a A c b b c B a C
方法17 作直角三角形内切圆证明 方法
A c F b
B
r r E O r a D C
方法18 方法
A a
b ab
a
a
2
D a
A
1 ab a 2
b c c
c2
a D 1 ab 2 b
b
b2
ab a
b C
B
b
c b 1 ab 2 a B
2 2
2
方法2: 方法2:
中国古代数学家赵爽的证法
中国古代方法（赵爽弦图） 中国古代方法（赵爽弦图） 与世界数学家大会
ICM---2002 ICM---2002 --International Congress of Mathematicians International Congress of Mathematicians
C a c
a 2 H 3 c Q E 7 B 4 D c b 9 F8 R T c 1 P 5 c a 6 A
b
A
D
G
B
方法13 方法
b
C
T
b 8 D 3 M 4
B 2 C 6 1 E 5 R a A c
方法14 方法
H G F 7
Q
方法15 利用切割线定理证明 方法
C a E a B a c D A b
故a 2 + b 2 = c 2
1 即( a + b) = c + 4 × ab 2
2 2
c b
a
c
(2)
b
a
s小正方形＋4s直角三角形= s大正方形 小正方形＋ 直角三角形=
1 即(b − a) + 4 × ab = c 2 2 b 2 − 2ab + a 2 + 2ab = c 2
2
故a + b = c
朱入
青出
青出
方法4 方法4：用五巧板拼图验证
如图所示） (1). 动手制作一副五巧板 （如图所示）
4 5 3 2
1
关键： (2)关键：把斜边上的正方形拆成直角边 上的两个正方形
用两副五巧板， 将其中的一副拼成一个以c 用两副五巧板 ， 将其中的一副拼成一个以 c 为边 长的正方形； 将另一副拼成两个边长分别为a 长的正方形 ； 将另一副拼成两个边长分别为 a 、 b 的正 方形。你拼出来了吗？你能验证勾股定理了吗？ 方形。你拼出来了吗？你能验证勾股定理了吗？