方差分析及回归分析

第九章 回归分析

教学要求 1．一元线性回归及线性相关显著性的检验法，利用线性回归方程进行预测。 2．可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。 ⏹ 本章重点：理解线性模型，回归模型的概念，掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。

⏹ 教学手段：讲练结合 ⏹ 课时分配：6课时

§9.1 一元线性回归

回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。

例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有：

ε+=)(x f y （9.1） 式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x 无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n 次独立观测，得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ，对f(x)作估计。

实际中常遇到的是多个自变量的情形。

例如 在考察某化学反应时，发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量，y 是随机变量，y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有：

ε+=),,,(21k x x x f y Λ (9.2) 这里ε是不可观察的随机误差，它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n 次独立观察，基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。

以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量，y 为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形，即假定

f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。

并称由它确定的模型 (9.1) (k=1)及(9.2)为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x 1,……,x k )就转化为估计系数b 0、b i (i=1,……,k) 。

当线性回归模型只有一个控制变量时，称为一元线性回归模型，有多个控制变量时称为多元线性回归模型，本着由浅入深的原则，我们重点讨论一元的，在此基础上简单介绍多元的。

§9.1.1 一元线性回归

一、一元线性回归的数学模型

前面我们曾提到，在一元线性回归中，有两个变量，其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系：

y=a+bx+ε (9.3) 通常认为 ε～N (0,σ2)且假设σ2与x 无关。将观测数据(x i ,y i )(i=1，……，n)代入(9.3)再注意样本为简单随机样本得：

)

,0(,)

,,1(21σεεεN n i bx a y n i i i 独立同分布ΛΛ=++= (9.4)

称(9.3)或(9.4)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。对其进行统计分析称为一元线性回归分析。

不难理解 模型(9.4)中EY=a+bx ，若记y=E(Y),则y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称a 、b 为回归系数。

我们对一元线性回归模型主要讨论如下的三项问题：

(1) 对参数a ，b 和σ2进行点估计，估计量b a

ˆ,ˆ称为样本回归系数或经验回归系数，而x b a y

ˆˆˆ+=称为经验回归直线方程，其图形相应地称为经验回归直线。 (2) 在模型(9.3)下检验y 与x 之间是否线性相关。

(3) 利用求得的经验回归直线，通过x 对y 进行预测或控制。 二、a 、b 的最小二乘估计、经验公式

现讨论如何根据观测值(x i ,y i )，i=1,2,……,n 估计模型（9.2）中回归函数f(x)=a+bx 中的回归系数。

采用最小二乘法，记平方和

∑=--=n

t t t bx a y b a 1

2)(),(Q (9.5)

找使Q(a.b)达到最小的a 、b 作为其估计，即

),(min )ˆ,ˆ(b a b a

Q Q = 为此，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--==--=∑∑==0)(220

][2211

n t t t t n

t t t x bx a y bx a y a 2b

Q 2Q

Λ 化简得如教材所示的方程组(称为模型的正规方程) 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===x b y a

L L b xx

xy ˆˆˆ (9.6)

(9.6)所示的b a

ˆ,ˆ分别称为a 、b 的最小二乘估计，式中 ()

∑∑∑===-=-=n i n

i n i i i i xx x n x x x L 11

212

2)(1

a.b

∑∑∑∑==-=--=n i n

i n

i n

i i i i i xy y x n y x y y x x L 111

1))((1))((

称x b a y

ˆˆˆ+=为经验回归(直线方程)，或经验公式。 例1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有关。下表是24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的实测记录。试求这两个变量间的经验公式。

将观察值(x i ，y i )，i=1,……,24在平面直角坐标系下用点标出，所得的图称为散点图。从本例的散点图看出，强度y 与拉伸倍数x 之间大致呈现线性相关关系，

一元线性回归模型是适用y 与x 的。现用公式（9.6）求b a

ˆ,ˆ，这里n=24 946

.1171.11324

1

93.650756

.1301.1135.127241

6.731266.1525.127241

61.8296

.731,

93.650,

61.8291.113,5.1272222=⨯-==⨯⨯-==⨯-

======∑∑∑∑∑yy xy xx i

i

i

i

i i L L L y

x y x

y x

∴15.0ˆˆ859.0ˆ=-===x b y a

L L b xx

xy 由此得强度y 与拉伸倍数x 之间的经验公式为 x y

859.015.0ˆ+= 三、最小二乘估计b a ˆ,ˆ的基本性质 定理9.1 一元线性回归模型(9.4)中，a 、b 的最小二乘估计b a

ˆ,ˆ满足：