人教A版高中数学必修一练习：活页作业11函数的最大(小)值
人教A版高中数学必修一练习：活页作业11函数的最大(小)值
个帅哥帅哥的 ffff活页作业 (十一 )函数的最大 (小 )值(时间： 45 分钟满分： 100 分 )一、选择题 (每题 5 分，共 25 分 )1．设函数 f( x)＝ 2x －1(x ＜ 0)，则 f(x)()A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数分析：画出函数 f(x)＝ 2x －1(x ＜0)的图象， 如图中实线部分所示．由图象可知， 函数 f(x)＝2x － 1(x ＜ 0)是增函数，无最大值及最小值．答案： C2．函数 f(x)＝ x 2＋ 3x ＋2 在区间 (－ 5,5)上的最大、最小值分别为 ()A ． 42,12B ． 42，－ 1411 C ．12，－ 4D ．无最大值，最小值为－4分析： ∵f(x)＝ x ＋ 32－ 1， x ∈ (－ 5,5)，2 4∴当 x ＝－ 3时， f(x)有最小值－ 1， f(x)无最大值．24答案： D1 ，则 y ＝ f(x ＋ 2)在区间 [2,8] 上的最小值与最大值分别为()3．已知 f(x)＝ x － 2A ． 1， 1B ． 1， 18 23 C ． 1， 1 D ． 1， 19 38 3 分析： ∵f(x)＝ 111，∴f(x ＋ 2)＝ ＝ x .x － 2 x ＋ 2 － 21∵y ＝ x 在 [2,8] 上为减函数，二位分为Greg答案： A4．函数 f(x)＝x＋ 7， x∈ [ － 1， 1 ，则 f(x)的最大值、最小值分别为 () 2x＋ 6， x∈ [1，2] ，A ． 10,6B． 10,8C．8,6D．以上都不对分析：当－ 1≤ x＜ 1 时， 6≤ x＋ 7＜ 8，当 1≤x≤ 2 时， 8≤ 2x＋ 6≤10.∴f(x)min＝ f(－1) ＝6，f(x)max＝ f(2)＝ 10.应选 A.答案： A5．某企业在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元 )分别为 L1＝－ x2＋ 21x 和 L2＝ 2x.若该企业在两地共销售15 辆，则能获取的最大利润为 () A．90 万元B． 60 万元C．120 万元D． 120.25 万元分析：设企业在甲地销售x 辆，则在乙地销售 (15－x)辆，22＋ 19x＋ 30＝－ x－19 2192企业赢利为 L＝－ x ＋ 21x＋ 2(15－ x)＝－ x2＋30＋4，∴当 x＝ 9 或 10 时， L 最大为 120 万元．答案： C二、填空题 (每题 5 分，共 15 分 )6．函数 y＝－1x，x∈ [－ 3，－ 1]的最大值与最小值的差是________．1分析：易证函数y＝－x在[ － 3，－ 1]上为增函数，1， y max＝ 1.∴y max－ y min＝ 1－12∴y min＝3＝ .33答案：237．函数 f(x)＝ x－ 1 的最小值是 ________．分析：设x＝ t，t≥ 0，因此 f(t)＝ t2－ 1， t ≥0，因此 f(x)＝ x2－ 1，x≥ 0，因为 f(x)＝ x2－1在 [0，＋∞)上为增函数，因此 f(x)的最小值为－ 1.即 f( x)＝ x－ 1 的最小值是－ 1. 答案：－18．函数 y＝ ax＋ 1 在区间 [1,3] 上的最大值为4，则 a＝ ________.分析：若 a＜ 0，则函数y＝ax＋ 1 在区间 [1,3] 上是减函数，则在区间左端点处获得最大值，即 a＋1＝ 4， a＝ 3，不知足a＜ 0；若 a＞ 0，则函数 y＝ax＋ 1 在区间 [1,3] 上是增函数，则在区间右端点处获得最大值，即3a＋ 1＝ 4， a＝1，知足 a＞ 0，因此 a＝ 1.答案： 1三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )19．求函数f( x)＝x 0＜x＜1，的最值．x 1≤ x≤2解：函数 f(x)的图象如图，由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝ 1.无最大值．10．已知函数f(x)＝ x2－ 2ax＋ 5(a＞1) ，若 f(x)的定义域和值域均是[1， a] ，务实数 a 的值．解：∵f(x)张口向上，对称轴x＝ a＞ 1，∴f(x)在 [1， a]上是减函数．∴f(x)的最大值为f(1) ＝ 6－ 2a，f(x)的最小值为f(a)＝5－ a2.∴6－ 2a＝ a,5－ a2＝ 1.∴a＝ 2.一、选择题 (每题 5分，共 10 分)1的最大值是 ()1．函数 f(x)＝1－x 1－x45A. 5B.434C.4D．3分析： f(x)＝1＝1＝12 3，∴当 x＝1时， f( x)max＝41－ x 1－x x2－x＋ 1123.x－2＋4答案： D2．当 0≤ x≤ 2 时， a＜－ x2＋ 2x 恒建立，则实数 a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1]B． (－∞， 0]分析： a＜－ x2＋ 2x 恒建立，则 a 小于函数 f(x)＝－ x2＋2x， x∈ [0,2] 的最小值，而 f(x) ＝－ x2＋ 2x， x∈ [0,2] 的最小值为 0，故 a＜ 0.答案： C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．关于函数 f(x)＝ x2＋ 2x，在使 f(x) ≥M 建立的全部实数M 中，我们把 M 的最大值 M max ＝－ 1 叫做函数f( x)＝ x2＋ 2x 的下确界，则关于a∈R，且a≠ 0，a2－ 4a ＋6 的下确界为________．分析： a2－4a＋ 6＝( a－2)2＋2≥ 2，则 a2－ 4a＋ 6 的下确界为 2.答案： 24．定义在R上的函数 f(x)对随意两个不等的实数x1， x2，总有f x1－ f x2＞0建立，且x1－ x2f(－ 3)＝ a， f(－ 1)＝ b，则 f( x)在 [－ 3，－ 1]上的最大值是 ________．f x1－ f x2＞ 0，得 f(x)在R上是增函数，则f(x)在 [ － 3，－ 1]上的最大值是 f(－分析：由x1－ x21)＝ b.答案： b三、解答题 (每题 10 分，共 20 分 )5．已知函数 f(x)＝x2＋ 2x＋ a，若对随意 x∈ [1，＋∞ )，f( x)>0 恒建立，试求 a 的取值范x围．x2＋ 2x＋a>0 恒建立 ? x2＋2x＋ a>0a>－ (x2解：在区间 [1，＋∞)上， f(x)＝恒建立，即x＋2x)在[1，＋∞ )上恒建立．因为g(x)＝－ (x2＋ 2x)＝－ (x＋ 1)2＋ 1 在 [1，＋∞ )上单一递减，∴g(x)max＝ g(1) ＝－ 3.∴a>－3.6．某企业生产一种电子仪器的固定成本为20 000 元，每生产一台仪器需增添投入100元，已知总利润知足以下函数：1 2R(x)＝400x－2x 0≤ x≤ 400，此中 x 是仪器的产量．80 000 x>400 ，(1)将利润 f(x)表示为产量x 的函数． (利润＝总利润－总成本)解： (1)由题意知f( x)＝ R(x) －100x－ 20 000＝－12x2＋ 300x－ 20 000 0≤ x≤ 400 ，－100x＋ 60 000 x>400 .12(2)当 0≤ x≤ 400 时， f(x)＝－2(x－ 300) ＋ 25 000，即当 x＝300 时， f(x)有最大值25 000，当 x>400 时， f(x)<20 000.综上可知，当月产量为300 台时，企业获取最大利润25 000 元．ENDEND。
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数学·必修1(人教A 版)1.3.2 函数的最大（小）值►基础达标1．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12答案：B2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43答案：D3．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( )A ．－2和1B ．2和－2C ．2和－1D ．－1和2解析：∵f (x )＝x 2－2，x ∈[0,2]是单调递增函数，∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.答案：B4．函数y ＝(x －1)2，x ∈(－1,5)的最小值为______．答案：05．已知f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3(x ∈R)，那么函数f (x )的最小值为________．解析：∵f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3，设x ＋4＝t ，则x ＝t －4，∴f (t )＝4(t －4)2＋4(t －4)＋3＝4t 2－28t ＋51.∴f (x )＝4x 2－28x ＋51＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋2， ∴f (x )min ＝2.答案：26．已知0＜t ≤14，那么1t －t 的最小值是( ) A.154 B.638C ．2D ．－2解析：∵y ＝1t －t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上为减函数， ∴t ＝14时有最小值154. 答案：A►巩固提高7．函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的值域是( )A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12解析：画y ＝x 2＋x 在[－1,3]部分的图象知y min ＝－14，y max ＝12. 即所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12. 答案：B8．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5)，则此函数的值域为( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5)C ．[－4,5]D ．[－4,5)答案：D9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g (t )．求g (t )的表达式．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由图1知截取了减区间上的一段g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.②当1＜t ＋1≤2，即0＜t ≤1时，正巧将顶点截取在内，g (t )＝f (1)＝1(图2)．③当t ＋1＞2，即t ＞1时，由图3知截取了增区间上一段g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上知，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0＜t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (－2≤x ＜1)，－x 2＋2x (1≤x ＜3)，求f (x )的值域．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－1(－2≤x ＜1)，－(x －1)2＋1(1≤x ＜3)， 作出f (x )的图象(如下图)．由图可知，f (x )的值域为(－3,8]．1．函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .2．函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M [f (x )≥M ]．3．判断函数的最大(小)值的方法：①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；②利用图象求函数的最大(小)值；③利用函数单调性判断函数的最大(小)值．4．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最大值f (b )．5．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最小值f (b ).。
新人教A版高中数学必修1 函数的最大(小)值
函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最大(小)值[新知初探]函数的最大(小)值小值是0，有f (0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 答案：C3．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．既有最大值又有最小值D ．既无最大值又无最小值 答案：D4．函数f (x )＝2x ，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________．答案：112[例1] 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值，即y max ＝3；当x ＝－1.5时，函数y ＝f (x )取得最小值，即y min ＝－2.用图象法求最值的3个步骤[活学活用]1．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，1≤x ≤2的最值．解：函数f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )的最小值为f (1)＝1，无最大值．[例2] 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)证明：f (x )在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f (x )在[2,4]上的最值．[解] (1)证明：设对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0， 又∵x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0，图象法求函数的最值利用单调性求函数的最值故(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f (x )在[2,4]上是增函数， ∴当x ∈[2,4]时，f (2)≤f (x )≤f (4)． 又f (2)＝2＋12＝52，f (4)＝4＋14＝174，∴f (x )在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.[活学活用] 2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 解：设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以函数f (x )＝2x －1是区间[2,6]上的减函数． 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：实际应用中的最值R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000. 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．[活学活用]3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000.故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元.[例4] 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f (x )的最大值． 解：∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， 当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．[变设问]在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值． 解：由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a ＜2时，6－4a ＝2，a ＝1； 当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)； 当a ＞4时，若18－8a ＝4，a ＝74(舍去)．∴a 的值为1.3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．二次函数的最大值，最小值由本例探究1知f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a ＞3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a ＞3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．层级一 学业水平达标1.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (－1)C ．f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (0)解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x ＝－32时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－32；当x ＝12时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫12. 2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1D ．以上都不对解析：选B 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23B.38C.32D.83解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0.6．函数y ＝－1x ，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________． 解析：易证函数y ＝－1x 在[－3，－1]上为增函数，所以y min ＝13，y max ＝1，所以y max －y min ＝1－13＝23.答案：237．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值， 当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：18．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 答案：f (－2) f (6)9．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1). 因为2≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.层级二 应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8；x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6， ∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]解析：选D f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)6．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的， 又∵f (x )的单调递减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.答案：(1,3]7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y (2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]．(2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．8．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上也是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
人教A版高中数学必修一新课标第课时函数的最大值、最小值训练学生专用无答案
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B.32C ．2D ．32．函数y ＝kx ＋b 在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k 的值为( )A ．2 B.12C ．－2或2D ．－23．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－144．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( )A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f (－4)＜f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值． 8．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数y ＝kx ＋b 的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；(2)设公司获得的利润为S 元(利润＝销售总价－成本总价；销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．①试用销售单价x 表示利润S ；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？。
2021_2022学年高中数学课时练习11函数的最大值最小值课件新人教A版必修1
【解析】设摊主每天从报社买进 x(180≤x≤400，x∈N)份晚报，每月获利为 y 元，则 有 y ＝ (0.60 － 0.40)(18x ＋ 12×180) － (0.40 － 0.05)×12(x － 180) ＝ － 0.6x ＋ 1 188 ， 180≤x≤400，x∈N. 因为函数 y＝－0.6x＋1 188 在[180，400]上是减函数，所以 x＝180 时函数取得最大 值，最大值为 y＝－0.6×180＋1 188＝1 080. 故摊主每天从报社买进 180 份晚报时，每月获得的利润最大，为 1 080 元．
x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－129 2 ＋30＋3641 ，所以当 x＝9 或 10
时，L 最大为 120 万元．
3．当 0≤x≤2 时，a＜－x2＋2x 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 【解析】选 C.令 f(x)＝－x2＋2x， 则 f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又因为 x∈[0，2]，所以 f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0. 所以 a＜0.
＝（x2－x1）[3（x1＋x2）－x1x2] ， （x1－3）（x2－3）
因为 1≤x1＜x2≤2， 所以 2＜x1＋x2＜4， 即 6＜3(x1＋x2)＜12， 又 1＜x1x2＜4，x2－x1＞0， 故 f(x1)－f(x2)＞0. 所以函数 y＝ x2 在区间[1，2]上为减函数，
x－3 ymax＝f(1)＝－12 ，ymin＝f(2)＝－4.
＝4，所以mM2
＝166
＝83
.
4．函数 f(x)＝ 6－x －3x 在区间2，4 上的最大值为________.
人教版高中数学必修一《函数的最大最小值》精选习题(含答案解析)
人教版高中数学必修一《函数的最大最小值》精选习题（含答案解析）一、选择题1．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥32．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，最大值2D ．无最大值，也无最小值3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )A ．最小值是0，最大值是4B ．最小值是－4，最大值是0C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值6．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45B.54C.34D.43二、填空题7．函数y＝2|x|＋1的值域是________．8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝________，b ＝__________.9．若y＝－2x，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．三、解答题10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)求f(x)在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)()A．有最大值3，最小值－1B．有最大值3，无最小值C．有最大值7－27，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．参考答案与解析1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.]2．A [∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.]3．D [由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.]4．D [依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12，因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间，所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．]5．C [y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎨⎧ －4 x ≥3－2x ＋2－1≤x <34x <－1.因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4<y ≤4，综上可知C 正确．]6．D [f (x )＝1x －122＋34≤43.] 7．(0,2]解析 观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0,2]．8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．9．2解析 函数y ＝－2x 在[－4，－1]上是单调递增函数，故y max ＝－2－1＝2. 10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5， 所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．C [画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ，得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选C.]13．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右所示)．(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1. 若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a . 当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数， g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时， g (a )＝f (12a )＝2a －14a－1， 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2，a >12。
人教版必修一《函数的最大(小)值》课时训练和答案
数学·必修1(人教A 版)1.3.2 函数的最大（小）值►基础达标1．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12答案：B2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43答案：D3．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( )A ．－2和1B ．2和－2C ．2和－1D ．－1和2解析：∵f (x )＝x 2－2，x ∈[0,2]是单调递增函数，∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.答案：B4．函数y ＝(x －1)2，x ∈(－1,5)的最小值为______．答案：05．已知f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3(x ∈R)，那么函数f (x )的最小值为________．解析：∵f (x ＋4)＝4x 2＋4x ＋3，设x ＋4＝t ，则x ＝t －4，∴f (t )＝4(t －4)2＋4(t －4)＋3＝4t 2－28t ＋51.∴f (x )＝4x 2－28x ＋51＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋2，∴f (x )min ＝2.答案：26．已知0＜t ≤14，那么1t －t 的最小值是() A.154 B.638 C ．2 D ．－2解析：∵y ＝1t －t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上为减函数，∴t ＝14时有最小值154.答案：A►巩固提高7．函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的值域是() A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12解析：画y ＝x 2＋x 在[－1,3]部分的图象知y min ＝－14，y max ＝12.即所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.答案：B8．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5)，则此函数的值域为( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5)C ．[－4,5]D ．[－4,5)答案：D9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g (t )．求g (t )的表达式．解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由图1知截取了减区间上的一段g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.②当1＜t ＋1≤2，即0＜t ≤1时，正巧将顶点截取在内，g (t )＝f (1)＝1(图2)．③当t ＋1＞2，即t ＞1时，由图3知截取了增区间上一段g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上知，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0＜t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (－2≤x ＜1)，－x 2＋2x (1≤x ＜3)，求f (x )的值域．解析：f (x )＝⎩⎨⎧ (x －1)2－1(－2≤x ＜1)，－(x －1)2＋1(1≤x ＜3)，作出f (x )的图象(如下图)．由图可知，f (x )的值域为(－3,8]．1．函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .2．函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M [f (x )≥M ]．3．判断函数的最大(小)值的方法：①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；②利用图象求函数的最大(小)值；③利用函数单调性判断函数的最大(小)值．4．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最大值f (b )．5．如果函数y ＝f (x )(x ∈[a ，c ])在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最小值f (b ).。
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值函数的最大值、最小值思考1:函数y=f(x)的最大值与最小值的几何意义是什么? 提示:函数y=f(x)的最大值是函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标; 函数y=f(x)的最小值是函数y=f(x)图象上最低点的纵坐标. 思考2:函数f(x)=x 2+1≥0总成立，f(x)的最小值是0吗? 提示:f(x)的最小值不是0，因为f(x)取不到0.思考3:函数f(x)在[-2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为 ，最大值为 .提示:-1 2利用图象求函数的最值[例1] 作出函数f(x)=|x-2|(x+1)的图象，说明函数f(x)的单调性，并判断其是否存在最大值和最小值.解:当x ≥2，即x-2≥0时，f(x)=(x-2)(x+1)=x 2-x-2=(x-12)2-94;当x<2，即x-2<0时，f(x)=-(x-2)(x+1)=-x 2+x+2=-(x-12)2+94.所以f(x)={(x -12) 2-94,x ≥2,-(x -12) 2+94,x <2.画出该分段函数的图象，如图.由图象可知，函数f(x)=|x-2|(x+1)在(-∞，12]，[2，+∞)上单调递增，在[12，2]上单调递减.观察函数图象，可知函数不存在最大值，也不存在最小值.利用图象求函数最值的方法(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象. (2)根据图象找出最高点和最低点.(3)图象最高点的纵坐标是函数最大值，最低点纵坐标是函数最小值.针对训练1:已知函数f(x)=x 2-|2x-1|-2. (1)作出函数f(x)的图象; (2)写出函数f(x)的单调递减区间; (3)求f(x)在[-2，2]上的最值. 解:函数f(x)=x 2-|2x-1|-2， 可化为f(x)={x 2-2x -1(x ≥12),x 2+2x -3(x <12).(1)函数f(x)的图象，如图.(2)由图可知，f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)和(12，1).(3)由图可知，f(x)在[-2，2]上的最大值为f(2)=-1，最小值为f(-1)=-4.利用单调性求最值[例2] 已知函数f(x)=2x+1x+1.(1)判断函数f(x)在区间(-1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值. 解:(1)f(x)在(-1，+∞)上单调递增，证明如下: 任取-1<x 1<x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=2x 1+1x 1+1-2x 2+1x 2+1=x 1-x 2(x 1+1)(x 2+1).因为-1<x 1<x 2⇒x 1+1>0，x 2+1>0，x 1-x 2<0， 所以f(x 1)-f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)， 所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增. (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)=2×2+12+1=53，最大值f(4)=2×4+14+1=95.(1)若函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数y=f(x)有多个单调区间，则先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.针对训练2:已知函数y=3+x x -2，x ∈(3，6].(1)判断并证明函数的单调性;(2)求此函数的最大值和最小值. 解:y=3+x x -2=5+x -2x -2=5x -2+1.(1)函数y=3+x x -2在(3，6]上单调递减.证明:∀x 1，x 2∈(3，6]，且x 1<x 2， 则y 2-y 1=5x 2-2-5x 1-2=5(x 1-x 2)(x 1-2)(x 2-2)，由于x 1-x 2<0，且x 1-2>0，x 2-2>0， 所以y 2-y 1<0，y 2<y 1， 所以函数y=3+x x -2在(3，6]上单调递减.(2)由(1)可知，当x=6时，y 取最小值3+66-2=94，函数无最大值.函数最值的实际应用[例3] “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位:kg/年)是养殖密度x(单位:尾/m 3)的函数.当x 不超过4尾/m 3时，v 的值为2 kg/年;当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，且当x 达到20尾/m 3时，因缺氧等原因，鱼停止生长. (1)当0<x ≤20时，求v 关于x 的函数解析式;(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位:kg/m 3)可以达到最大?并求出最大值.解:(1)由题意知，当0<x ≤4时，v(x)=2; 当4<x ≤20时，设v(x)=ax+b(a ≠0)， 由已知得 {20a +b =0,4a +b =2,解得 a=-18，b=52，即此时v(x)=-18x+52.故函数v(x)={2,0<x ≤4,-18x +52,4<x ≤20.(2)设鱼的年生长量为f(x)依题意并由(1)， 得鱼的年生长量f(x)=xv(x)， 当0<x ≤4时，f(x)=2x 为增函数， 故f(x)max =f(4)=4×2=8; 当4<x ≤20时，f(x)=-18x 2+52x=-18(x-10)2+252，则当x=10时，函数取得最大值， f(x)max =f(10)=12.5.所以当0<x ≤20时，f(x)的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/m 3时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5 kg/m 3.用待定系数法求解实际问题中的函数模型，确定函数模型中待定系数时，需要根据题意找出一对或几对自变量与函数的对应值，代入所求的函数解析式，具体问题中的自变量与函数的对应值有时比较隐蔽，需要仔细读题，例如例3中的“鱼停止生长”即v=0.针对训练3:甲、乙两城相距100 km ，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P 给甲、乙两城供气.设P 站距甲城 x km ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(单位:万元)与甲、乙两地的供气距离(单位:km)的平方和成正比(供气距离指天然气站到城市的距离)，当天然气站P 距甲城的距离为40 km 时，建设费用为1 300万元.(1)把建设费用y(单位:万元)表示成P 站与甲城的距离x(单位:km)的函数，并求定义域;(2)求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值.解:(1)设比例系数为k ， 则y=k[x 2+(100-x)2]， 因为{x ≥10,100-x ≥10,所以10≤x ≤90，又当x=40时，y=1 300，所以1 300=k(402+602)，解得k=14，所以y=14[x 2+(100-x)2]=12(x 2-100x+5 000) (10≤x ≤90).(2)由(1)可得y=12(x-50)2+1 250，所以当x=50时，y 有最小值为1 250万元，所以天然气供气站建在距甲城50 km 处时建设费用最小，最小费用的值为1 250万元.已知函数最值或值域求参数[例4] (1)已知函数f(x)=√mx 2-2x +1的值域为[0，+∞)，求实数m 的取值范围;(2)已知函数f(x)=√mx 2-2x +1的最小值为0，求实数m 的取值范围. 解:(1)当m=0时，f(x)=√-2x +1≥0，满足题意; 当m>0时，只要Δ=4-4m ≥0，所以0<m ≤1;当m<0时，显然不符合题意.综上所述，实数m的取值范围为[0，1].(2)当m=0时，f(x)=√-2x+1≥0，满足题意;当m>0时，只要Δ=4-4m≥0，所以0<m≤1;当m<0时，只要Δ=4-4m≥0，所以m<0.综上所述，实数m的取值范围为(-∞，1].已知函数的最值或值域求参数的取值范围，关键在于理解最值与值域的概念，解题时要注意利用函数图象，此类题一般分为两类，一是参数在解析式中，二是参数在定义域中.前一类要注意参数对函数单调性的影响，一般要分类讨论;后一种题目一般比较简单.针对训练4:若函数y=2x2-8x+9，定义域为[1，a]，值域是[1，3]，则a的取值范围为( )A.[1，2]B.(1，2]C.[2，3]D.[2，3)解析:函数y=2x2-8x+9=2(x-2)2+1，定义域为[1，a]时，值域是[1，3]，且x=1时，y=3;x=2时，取得最小值y=1;当x=3时，y=2×(3-2)2+1=3，所以a的取值范围是[2，3].故选C.1.已知函数f(x)(x ∈I)，“∀x ∈I ，f(x)≤2 022”是“f(x)最大值为2 022”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:“∀x ∈I ，f(x)≤2 022”不一定有“f(x)最大值为2 022”，有可能不存在x 0∈I ，使f(x 0)=2 022，所以不满足充分性;若“f(x)最大值为2 022”则“∀x ∈I ，f(x)≤2 022”恒成立，所以必要性成立.故选B. 2.函数y=6x -1在区间[3，4]上的值域为( C )A.[1，2]B.[3，4]C.[2，3]D.[1，6] 解析:函数y=6x -1在(1，+∞)上单调递减，因此y=6x -1在区间[3，4]上单调递减，所以64-1≤y ≤63-1，即2≤y ≤3.故选C.3.已知函数f(x)={x 2,-12≤x ≤1,1x,x >1的图象为如图实线部分所示，则函数的最大值是 ，最小值是 .解析:当-1≤x≤1时，由f(x)=x2得f(x)最大值为f(1)=1，最小值为2在(1，+∞)上单调递减，无最值.f(0)=0;当x>1时，f(x)=1x答案:1 04.若函数f(x)=x2-6x+m在区间[2，+∞)上的最小值是-3，则实数m的值为.解析:函数f(x)=x2-6x+m图象的对称轴是直线 x=3，开口方向向上，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故函数在x=3处取得最小值，由f(3)=32-6×3+m=-3，解得m=6.故实数m的值为6.答案:6[例1] 已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)在[0，1]上单调递增，由单调性的定义可知，此时函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，即充分性成立;若函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，则函数f(x)在[0，1]上不一定单调递增，比如函数f(x)=(x-1)2，故必要性不成立.4综上，“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.故选A.[例2] 已知函数f(√x +2)=x+2√x +2，则f(x)的最小值是( ) A.-1 B.2 C.1 D.0 解析:令√x +2=t ，则t ≥2， 所以√x =t-2，x=(t-2)2，所以f(t)=(t-2)2+2(t-2)+2=t 2-2t+2， 所以f(x)=x 2-2x+2，x ≥2.f(x)在[2，+∞)上单调递增，则当x=2时，f(x)取得最小值2. 故选B.[例3] (多选题)下列函数，与函数y=-2x-1的值域不相同的是( ) A.y=3x B.y=x 2-4x -2C.y=2x-|x+1|D.f(x)={x 2,x >0,2+x ,x ≤0解析:函数y=-2x-1的值域为R ，对A 项，y=3x ≠0，故值域为{y|y ≠0}，则A 符合题意，对B 项，由于y=x 2-4x -2=x+2，x ≠2，所以值域为{y|y ≠4}，则B 符合题意，对C 项，由y=2x-|x+1|={x -1,x ≥-1,3x +1,x <-1,得值域为R ，则C 不合题意，对D 项，由f(x)={x 2,x >0,2+x ,x ≤0,得值域为R ，则D 不合题意.故选AB.选题明细表基础巩固1.函数f(x)={-x ,x ≤-1,x 2,x >-1的最小值是( B )A.-1B.0C.1D.2解析:当x>-1时，f(x)=x 2的最小值为f(0)=0;当x ≤-1时，f(x)=-x 单调递减，可得f(x)≥1.综上可得，函数f(x)的最小值为0.故选B. 2.函数f(x)=1x -2x 在区间[1，2]上的最小值是( A )A.-72B.72C.1D.-1解析:因为函数f(x)=1x-2x 在x ∈[1，2]上单调递减，所以函数的最小值为12-4=-72.故选A.3.下列说法正确的是( A )A.若函数f(x)的值域为[a ，b]，则f(x)min =a ，f(x)max =bB.若f(x)min =a ，f(x)max =b ，则函数f(x)的值域为[a ，b]C.若f(x)min =a ，直线y=a 不一定与f(x)的图象有交点D.若f(x)min =a ，直线y=a 一定与f(x)的图象有且仅有一个交点 解析:若函数f(x)的值域为[a ，b]，则最小的函数值即f(x)min =a ，最大的函数值即f(x)max =b ，A 正确.f(x)min =a ，f(x)max =b ，区间[a ，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a ，b]不一定是值域，B 错误.若f(x)min =a ，由定义一定存在x 0使f(x 0)=a ，即f(x)与直线y=a 一定有交点，但不一定唯一，C ，D 错误.故选A.4.给定函数f(x)=x+2，g(x)=4-x 2，对于∀x ∈R ，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)=min{f(x)，g(x)}，则M(x)的最大值为( C )A.0B.1C.3D.4 解析:f(x)=x+2，g(x)=4-x 2，作出函数M(x)=min{f(x)，g(x)}的图象如图中实线部分所示，由图可知，M(x)的最大值为3.故选C. 5.函数f(x)=11-x (1-x )的最大值是 .解析:t=1-x(1-x)=(x-12)2+34≥34. 所以0<f(x)≤43，即f(x)的最大值为43.答案:436.已知函数f(x)=1a -1x，则函数f(x)在(0，+∞)上 (填“单调递增”或“单调递减”)，若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，则a 的值是 .解析:由于函数y=-1x在区间(0，+∞)上单调递增，因此函数f(x)=1a -1x在(0，+∞)上单调递增.因此函数f(x)在[12，2]上单调递增，所以 f(12)=1a-2=12，且f(2)=1a -12=2，解得a=25.答案:单调递增 25能力提升7.(多选题)若函数f(x)=√ax 2+ax +2的值域是[0，+∞)，则实数a 的可能取值是( CD ) A.6 B.7 C.8 D.9解析:f(x)=√ax 2+ax +2的值域是[0，+∞)， 可得f(x)的最小值为0，显然a ≠0，若a<0，由y=ax 2+ax+2的图象为开口向下的抛物线，可得f(x)的值域不为[0，+∞)，所以a>0，且Δ≥0，即a 2-8a ≥0，解得a ≥8.故选CD.8.设函数f(x)={(x -a )2,x ≤0,x 2-2x +3+a ,x >0,若f(0)是函数f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是( D ) A.[-1，2] B.(-1，2) C.[0，2) D.[0，2]解析:因为f(0)是函数f(x)的最小值， 所以f(x)=(x-a)2在(-∞，0]上单调递减， 所以a ≥0，当x>0时，f(x)=x 2-2x+3+a 在x=1处有最小值， 即f(x)min =f(1)=1-2+3+a=a+2，故f(0)≤f(1)，即a 2≤a+2， 解得-1≤a ≤2.综上所述，0≤a ≤2， 故实数a 的取值范围是[0，2].故选D. 9.已知函数f(x)=x 2+2a x，且f(1)=3，则a= ;函数f(x)在[2，4]上的最小值为 . 解析:因为f(1)=3， 所以f(1)=12+2a 1=3，所以a=1，所以f(x)=x 2+2x .设2≤x 1<x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(x 1+2x 1)-(x 2+2x 2)=(x 1-x 2)+(2x 1-2x 2)=(x 1-x 2)(1-2x 1x 2).由2≤x 1<x 2可知x 1-x 2<0，x 1x 2≥4，1x 1x 2≤14，1-2x 1x 2≥1-24>0.所以f(x 1)<f(x 2).所以函数f(x)在[2，+∞)上单调递增.因此函数f(x)在区间[2，4]上的最小值为f(2)=3. 答案:1 310.轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s km ，水流速度为p km/h ，轮船在静水中的最大速度为q km/h(p ，q 为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.(1)将全程燃料费用y(单位:元)表示为静水中速度v(单位:km/h)的函数;(2)若s=100，p=10，q=110，k=2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少? 解:(1)因为轮船行驶全程的时间t=s v -p，所以y=ksv v -p(p<v ≤q).(2)若s=100，p=10，q=110，k=2，则y=2×100v v -10=200(1+10v -10)(10<v ≤110). 由于f(v)=10v -10在(10，110]上单调递减，所以当v=110时， 函数y=2×100v v -10=200(1+10v -10)取得最小值，且最小值为220.即当轮船的实际行驶速度为110 km/h 时，全程的燃料费用最少. 11.已知函数f(x)=ax+bx的图象经过点A(1，0)，B(2，-32).(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性并用定义证明; (3)求f(x)在区间[12，1]上的值域.解:(1)因为f(x)的图象过A(1，0)，B(2，-32)，所以{a +b =0,2a +b 2=-32,解得{a =-1,b =1,所以f(x)=-x+1x.(2)函数f(x)=-x+1x在(0，+∞)上单调递减，证明如下:设任意x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=(-x 1+1x 1)-(-x 2+1x 2)=(x 2-x 1)+x 2-x 1x 1x 2=(x 2-x 1)(x 1x 2+1)x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，+∞)得，x 1x 2>0，x 1x 2+1>0. 由x 1<x 2得，x 2-x 1>0，所以f(x 1)-f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 所以函数f(x)=-x+1x 在(0，+∞)上单调递减.(3)由(2)知，函数f(x)=-x+1x在[12，1]上单调递减，所以f(x)min =f(1)=0，f(x)max =f(12)=32，所以f(x)的值域是[0，32].应用创新12.已知f(x)={(x -a )2,x ≤0,x +1x +a +4,x >0,a ∈R. (1)当a=0时，求f(f(-1));(2)试判断y=f(x)在[1，+∞)上的单调性，并用定义证明; (3)求y=f(x)的最小值g(a). 解:(1)当a=0时，f(-1)=1， f(f(-1))=f(1)=6.(2)y=f(x)在[1，+∞)上单调递增，证明如下: 任取x 1>x 2≥1，则f(x 1)-f(x 2)=x 1-x 2+1x 1-1x 2=(x 1-x 2)(1-1x 1x 2)=(x 1-x 2)·x 1x 2-1x 1x 2，因为x 1>x 2≥1， 所以(x 1-x 2)·x 1x 2-1x 1x 2>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以y=f(x)在[1，+∞)上单调递增. (3)当x ≤0时，f(x)=(x-a)2≥0， 当x>0时，f(x)=x+1x +a+4≥a+6，当a ≤-6时，函数的最小值g(a)=a+6， 当-6<a<0时，函数的最小值g(a)=0，当0≤a<3时，函数的最小值g(a)=a 2， 当a ≥3时，函数的最小值g(a)=a+6. 故g(a)={a +6,a ≤-6或a ≥3,0,-6<a <0,a 2,0≤a <3.。
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人教A版高中数学必修一练习：活页作业11函数的最大（小）值
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设函数f(x)＝2x－1(x＜0)，则f(x)( )
A．有最大值
B．有最小值
D．是减函数
C．是增函数
解析：画出函数f(x)＝2x－1(x＜0)的图象，如图中实线部分所示．由图象可知，
函数f(x)＝2x－1(x＜0)是增函数，无最大值及最小值．
答案：C
2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( ) B．42，－1
A．42,12
4
C．12，－
D．无最大值，最小值为－1
4
解析：∵f(x)＝2－，x∈(－5,5)，
∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
答案：D
3．已知f(x)＝，则y＝f(x＋2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为( ) A．，B．，1
C．，D．，1
3
解析：∵f(x)＝，∴f(x＋2)＝＝.
∵y＝在[2,8]上为减函数，
∴ymax＝，ymin＝.
答案：A
4．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：当－1≤x＜1时，6≤x＋7＜8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元B．60万元
C．120万元D．120.25万元
解析：设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，
公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
解析：易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，
∴ymin＝，ymax＝1.∴ymax－ymin＝1－＝.
答案：2
3
7．函数f()＝x－1的最小值是________．
解析：设＝t，t≥0，所以f(t)＝t2－1，t≥0，所以f(x)＝x2－1，x≥0，因为f(x)＝x2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为－1.即f()＝x－1的最小值是－1.
答案：－1
8．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
解析：若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a＋1＝4，a＝3，不满足a＜0；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a＞0，所以a＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数f(x)＝的最值．
解：函数f(x)的图象如图，
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1.无最大值．
10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)，若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，
求实数a的值．
解：∵f(x)开口向上，对称轴x＝a＞1，∴f(x)在[1，a]上是减函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝6－2a，f(x)的最小值为f(a)＝5－a2.∴6－2a＝a,5
－a2＝1.∴a＝2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)＝的最大值是( )
B.5
A.
4
C.
D．4
3
解析：f(x)＝＝＝，∴当x＝时，f(x)max＝.
答案：D
2．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
B．(－∞，0]
A．(－∞，1]
D．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
解析：a＜－x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小
值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值为0，故a＜0.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最
大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a ＋6的下确界为________．
解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则a2－4a＋6的下确界为2.
答案：2
4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2，总有＞0成立，且
f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．
解析：由＞0，得f(x)在R上是增函数，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－
1)＝b.
答案：b
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求a的取值
范围．
解：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立，即a>－(x2
＋2x)在[1，＋∞)上恒成立．由于g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝－3.∴a>－3.
6．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加
投入100元，已知总收益满足如下函数：
R(x)＝其中x是仪器的产量．
(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20 000＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
即当x＝300时，f(x)有最大值25 000，
当x>400时，f(x)<20 000.
综上可知，当月产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．。