§10.1 平面图形的面积 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

一、直角坐标方程表示的平
面图形的面积
形的面积
的面积
12(),()[,]f x f x a b 其中是定义在上的连续函数.
{}12(,)|()(),[,],
x A x y f x y f x x a b 型区域:=≤≤∈{}12(,)|()(),[,],
y B x y g y x g y y c d 型区域:=≤≤∈用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面
x y 积,通常把它化为型和型区域上的积分来计算.
12(),()[,]g y g y c d 其中是定义在上的连续函数.
平面图形的面积
直角坐标方程表示的后退
前进
目录
退出
由定积分的几何意义，可知A 的面积为
21()(())d (())d b b
a
a
S A f x M x f x M x
=+-+⎰⎰21[()()]d .
b
a
f x f x x =-⎰21()[()()]d .
d
c
S B g y g y y =-⎰y B 同理,型区域的面积为
A x 图形既是型区域A x 把看作型区域,则
2
4
x
y =2
y
x 82
=(4,2)
x
y
O
∙A
y 又是型区域.2
1(),
8x
f x =2()f x x =
例122
8.
y x x y A ==求由抛物线和所围图形的面积解22
8y x x y
⎧=⎨=⎩的解为{
{
12120
4
,.0
2
x x y y ====
于是
.38388328=-⋅=2
4
x
y =2
y
x 82
=(4,2)
x
y
O
∙A
A y 把看作为型区域，
2
1(),g y y =则2()8g y y =(
)
22
()8d S A y y y
=-⎰
2
32
33328⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=y y 于是
.382464316=-=2
4
0()d 8x S A x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰4
03
2
3
24132⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x x
(
)
4
21
()(2)d S A x x x
=--⎰
12()()()
S A S A S A =+4
2
3212143
2.
3232
x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭于是
(
)
1
10
()(d S A x x x =-⎰
1
2
334x
=.34=41439
.3322
=+-=
12容易计算.
参数方程表示的平面图形的面积
设曲线C 由参数方程()
,[,]()
x x t t y y t αβ=⎧∈⎨=⎩表示,
(),().
y t x t 其中连续连续可微(),(),()[,]x a x b x t αβαβ若在上单调增,==,C x a x b x ==由曲线及直线和轴所围图形的面
积为
()d ()()d .
b a
S A y x y t x t t β
α
'==⎰⎰则
(),(),()[,]x a x b x t βααβ若在上单调减时，
==()d ()()d b a
S A y x y t x t t βα'==-⎰⎰()()()d .
S A y t x t t β
α
'=⎰因此,不论x (t )递增或递减,
()()d .
y t x t t β
α
'=⎰若上述曲线C 是封闭的，即
()(),()(),x x y y αβαβ==则由C 所围的平面图形A 的面积同样是
()()(
)d .S A y t x t t β
α
'=⎰()
()()(
)d .S A x t y t t βα
或'=⎰
所围图形的面积.
a
a
2x
y
O
2a
πA
与x 轴
例3(sin )
,[0,2](1cos )
x a t t t y a t π=-⎧∈⎨=-⎩求由摆线
a b
例4 解
所围图形的面积.
有
π2
2
4sin d ab t t
=⎰4ab =122
π
⋅⋅πab
=当a = b 时得圆面积公式
x
y O
求椭圆利用对称性, 20
4|sin (cos )|d b t a t t
π
'=⋅⎰
201lim Δ2i i T i m θ→=∑因此
2
1()()d .
2S A r βα
θθ=⎰2
01
lim Δ2i i T i M θ→==∑21()d ,2r βαθθ=⎰
例5(1cos ).r a θ=+求心脏线所围平面图形的面积解
2π2
1()[(1cos )]d 2S A a θθ
=+⎰23π.a =π
2
2
(1cos )d a
θθ
=+⎰O
x
y
a
2a (1cos )
r a θ=+
例622
cos2.r a θ=求双纽线所围平面图形的面积由图形的对称性,
π2
40
1()4cos 2d 2
S A a θθ
=⋅⎰解20,r 因为≥ππ3π5π
[,][,].
4444
范围是与-π2
2
40
sin2.
a a θ
==a /2
a O
y
x
θ所以的取值
解ππ
2224π04
11()sin d cos d 22S A θθθθ=+⎰⎰π
π42π0
4
11cos 211cos 2d d .2222
θθθθ-+=+⎰⎰π
π
4
2π0
4
1sin21sin24242θθθθ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
例7sin ,cos r r θθ==求由.
A 所围图形的面积1π11π1π1.44244284
⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注也可利用对称性.
O
x
y
A
一、什么问题可以用定积分解决?
1) 所求量U是与区间[a, b]上的某分布f (x)有关的
一个整体量;
2) U对区间[a, b]具有可加性,即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
二、如何应用定积分解决问题?
第一步利用“化整为零, 以常代变”求出局部量的
微分表达式d ()d U f x x
=第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量的
积分表达式
U =()d b
a f x x
⎰这种分析方法称为元素法(或微元分析法)
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
近似值
精确值。