第三章 线性系统的时域分析(3)

4适用范围 微分时对噪声有放大作用(高频噪声)。输入噪声较大时，不宜采用。
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比例－微分控制（PD控制） 当输入为单位阶跃函数时
C ( s) = Φ ( s) R( s) = s+z
2 2 n 2 ωn 1
s + 2ζ d ωn s + ω z s 2 2 ωn sωn 1 = + ⋅ 2 2 2 2 s( s + 2ζ d ωn s + ωn ) z s ( s + 2ζ d ωn s + ωn )
线性系统的时域分析法
程向红
1
上讲回顾
σ% =
h(t p ) − h(∞) 1 h (∞ )
β ζ
R(s)
× 100%
1−ζ 2
_
2 ωn s (s + 2ζωn )
C(s)
欠阻尼
h(t ) = 1 −
解
0<ζ<1
过阻尼
h(t ) = 1 −
−
ζ>1
1
2
1 1− ζ
2
2
2
e −ζωnt sin(ωd t + β )
K↓→ess↑
1 K tω n 2
与 ζ d = ζ + Td ω n
1 2
形式相同
④测速反馈不形成闭环零点，因此Kt = Td时，测速反馈与比例－微分控 制对系统动态性能的改善程度是不相同的。
⑤设计时，ζt在0.4~0.8,之间，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
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例3-3 图3-17(a)所示的系统加上单位阶跃输入，具有图3-17(b)所
2ζ
2 s 2 + 2ζωn s − K d ωn s = 2 2 2 s ( s + 2ζωn s + ωn )
ωn
，就可以实现系统在 稳态时无误差地跟踪 单位斜坡输入。
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例3-5 设一随动系统如下图所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间 tp=1s，①求增益K和速度反馈系数τ。 ②根据所求的K和τ，计算 该系统的上升时间tr, ts td。 R(s) K C (s) 解：
1 z= Td
C1(s)
C2(s)
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
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C2(s)= TdsC1(s)
c1(t)
dc1 (t ) c2 (t ) = Td dt
c1(t)为典型二阶系统的单位 阶跃响应，c2(t)为附加零点 引起的分量。
c2(t)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.3.4.2 测速反馈控制 Velocity feedback constant Kt
2 2ζ tω n = 2ζω n + Ktω n 令
K=
结论
Kt 会降低K，即测速反馈会降低系统的开环增益。
1 ζ t = ζ + K tω n 2
2ζ + K tωn
ωn
①测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差。
②测速反馈不影响系统的自然频率，ωn不变。 ③可增大系统的阻尼比 ζ t = ζ +
σ＝e
ζ =
−
ξπ
1−ξ 2
—
s (s +1)
= 0.2
1 = 0.456
2
ln( )
1
1 + τs
σ
π + (ln ) σ
2
tp =
π = 1s ωd
2
ωd = π = 3.14rad/s
ωn = ωd
1− ζ
2
ωd = ωn 1 − ζ
=
3.14 1 − 0.456
2
= 3.53rad/s
15
例3-5续
5
3.3.4.1 比例－微分控制（PD控制） Proportional-plus－derivative Control
R(s )
—
E (s)
1 Td s
2 ωn s(s + 2ζωn )
C(s)
图3-15 PD控制系统
ωn (Td s + 1) 2 ω n2 (Td s + 1) (Td s + 1)ω n K (Td s + 1) C (s) 2ζ = = = G(s) = H (s) = E (s) s ( s + 2ζω n ) 2ζω s ( s + 1) s ( s 2ζω n + 1) s ( s 2ζω n + 1) n 2ζω n ωn K= 称为开环增益 2ζ ω n , ξ 有关
2 K = T ω n = 1.09 × 1.142 = 1.42
1
例3-3续
13
例3-4
控制系统如图3-18所示，其中输入r(t)=t ，证明当 ωn 时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。
R(s) 1 + Kd s
2 ωn s(s + 2ζω n )
Kd =
2ζ
解： 闭环传递函数
比例－微分控制（PD控制） 1 2 Td ω n ( s + )
Td G ( s) = 2 2 2 1 + G(s) s + (2ζωn + Td ω n ) s + ω n
2ζdωn = 2ζωn + Td ωn2
令
ζ d = ζ + ζ ′ = ζ + Td ωn
2
2 ωn (s + z) = 2 z ( s 2 + 2ζ d ω n s + ω n )
2 (1 + K d s )ωn 1 = 2− 2 2 2 s s ( s + 2ζωn s + ωn )
2 s + 2ζω n − K d ω n 2ζ ess = lim sE ( s ) = lim 2 = − Kd s →0 s →0 s + 2ζω s + ω 2 ωn n n
只要令 K d =
2 Td ωn = 2ζ ′ n ω
结论
1 z= Td
ζ′=
Td ωn 2
1可通过适当选择微分时间常数Td，改变ζd阻尼的大小。 2比例－微分控制可以不改变自然频率ωn，但可增大系统的阻尼比。
1 3由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， − z = − Td
故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
Δ=0.05 t s
ts =
3.5
ζωn
=
4.5
ζωn
Δ=0.02
ζ>1 ζ=1
2
1−ζ 2
T1 ≥ 4T2
T1= T2
ts = 3T1
ζ≤0.4 ts = 3 Δ=0.05 ts = 4 Δ=0.02 ζωn ζωn
π −β tr = ωd
π tp = ωd
ts = 4.75T1
2
N=
1 .5
1−ζ 2
t≥0
1
2
ωd = ωn 1 − ζ
β = arctg
1−ζ
2 ζ − 1 (ζ − ζ − 1)
1 (ζ + ζ − 1)
2
[
e
− (ζ − ζ 2 −1)ω n t
ζ
πζ
1−ζ 2
= arccos ζ
e − (ζ +
ζ 2 −1)ω n t
]
t≥0
性 能 ζ≤0.8 指 标
σ% = e
−
× 100%
图3-16 测速反馈控制的二阶系统
K=
2ζ + K tωn
ωn
2 ωn G ( s) = 2 Φ (s) = 2 2 1 + G ( s ) s + (2ζω n + Ktω n ) s + ω n
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测速反馈控制
2 ωn G ( s) = 2 Φ (s) = 2 2 1 + G ( s ) s + (2ζω n + Ktω n ) s + ω n
闭环传递函数为
2 ω n (Td s + 1) G( s) Φ ( s) = = 2 2 2 1 + G ( s ) s + 2ζωn s + Td ω n s + ω n
1 ) Td = 2 2 2 s + (2ζωn + Td ω n ) s + ω n
2 Td ω n ( s +
6
Φ ( s) =
∴ζd <1时，得单位阶跃响应
h(t ) = 1 −
1 1 − ζ d2
e −ζ d ωnt sin(ωn 1 − ζ d2 t + β ) +
Байду номын сангаас
ωn
z 1 − ζ d2
e −ζ d ωnt sin ωn 1 − ζ d2 t
8
比例－微分控制（PD控制）
h(t ) = 1 + re−ζ d ωnt sin(ω n 1 − ζ d2 t + ϕ )
K=
1 1 = =4 4T ζ 2 4 × 0.25 × (0.5) 2
(3) 应取ζ≥1。而ζ=1时系统的响
1 s2 + T s + K T
σ% = e
× 100%
2
应速度最快,所以取ζ=1。 ts=4.75 T1
=e
−3.14×0.25 / 1− 0.25
× 100% = 44.3%
4 =
= 0 T=0.25,ζ=1代入