内蒙古呼伦贝尔市尼尔基一中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题(理科)

2015-2016学年内蒙古呼伦贝尔市尼尔基一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．在△ABC中，若a=，b=1，∠B=30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°2．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（）A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣23．在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，则此三角形（）A．无解 B．只有一解 C．有两解D．解的个数不定4．在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3=32，a11+a12+a13=118，则a4+a10=（）A．45 B．50 C．75 D．605．在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则角C等于（）A．30°B．60°或120°C．60°D．120°6．已知数列{a n}的通项为a n=26﹣2n，若要使此数列的前n项和最大，则n的值为（）A．12 B．13 C．12或13 D．147．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2 B．C．2或4D．或28．在等比数列{a n}中，若a1=1，公比q=2，则a12+a22+…+a n2=（）A．（2n﹣1）2B．（2n﹣1）C．4n﹣1 D．（4n﹣1）9．在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则a：b：c等于（）A．3：4：5 B．2：：（+1）C．1：：2 D．2：2：（+）10．等比的正数数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log3511．在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形12．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在等腰三角形ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC的周长是．14．数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，则通项公式a n=．15．若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．16．设{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2006和a2007是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2008+a2009=．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）17．（10分）（2015秋•呼伦贝尔校级月考）已知在△ABC中，A=45°，a=2cm，c=cm，求角B，C及边b．18．（10分）（2015秋•呼伦贝尔校级月考）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列．求这三个正数．19．（12分）（2015•滕州市校级模拟）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．（12分）（2004•山东）等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．21．（12分）（2012•江西）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．22．（14分）（2015秋•呼伦贝尔校级月考）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n和S n满足：4S n=（a n+1）2（n=1，2，3…），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．2015-2016学年内蒙古呼伦贝尔市尼尔基一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．在△ABC中，若a=，b=1，∠B=30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sinA=，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解答：解：∵在△ABC中，若a=，b=1，∠B=30°，∴由正弦定理，得化简得sinA=•sin30°=∵a=＞b=1∴A＞B，可得A=60°或120°故选：D点评：本题给出三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角大小．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．2．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（）A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可建立关于a1和d的方程组，解之即可．解答：解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得，解得，故选A点评：本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题．3．在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，则此三角形（）A．无解 B．只有一解 C．有两解D．解的个数不定考点：解三角形；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：利用三角形的边角关系，直接判断即可．解答：解：∵a＜b，∴A＜B，又∵A=130°，一个三角形中不可能存在两个钝角，故此三角形无解．故选：A点评：本题考查三角形的判断与应用，基本知识的考查．4．在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3=32，a11+a12+a13=118，则a4+a10=（）A．45 B．50 C．75 D．60考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质，结合已知，可得a2+a12=50，进而得到a4+a10的值．解答：解：∵a1+a2+a3=3a2=32，a11+a12+a13=3a12=118，∴3（a2+a12）=150，即a2+a12=50，∴a4+a10=a2+a12=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是等差数列的性质：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q．5．在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则角C等于（）A．30°B．60°或120°C．60°D．120°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用余弦定理求得a=3=b，可得A=B=30°，从而求得C的值．解答：解：△ABC中，∵已知b=3，c=3，A=30°，则由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=9+27﹣18•=9，故a=3，故有a=b，∴A=B=30°，∴C=120°，故选：D．点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．6．已知数列{a n}的通项为a n=26﹣2n，若要使此数列的前n项和最大，则n的值为（）A．12 B．13 C．12或13 D．14考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列为递减的等差数列，且前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负数，由此可得结论．解答：解：∵a n=26﹣2n，∴a n+1﹣a n=（24﹣2n）﹣（26﹣2n）=﹣2，∴数列{a n}是公差为﹣2的等差数列，首项a1=24，令a n=26﹣2n≤0，可得n≥13∴数列{a n}的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负数，∴数列的前12项，或前13项和最大，故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式，以及前n项和的最值，属基础题．7．在△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，那么△ABC的面积是（）A．2 B．C．2或4D．或2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求出角C，从而求出角A，再根据三角形的面积公式S=bcsinA进行求解即可．解答：解：由c=AB=2，b=AC=2，B=30°，根据正弦定理=得：sinC===，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=60°或120°，∴∠A=90°或30°在△ABC中，由c=2，b=2，∠A=90°或30°则△ABC面积S=bcsinA=2或．故选D．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．8．在等比数列{a n}中，若a1=1，公比q=2，则a12+a22+…+a n2=（）A．（2n﹣1）2B．（2n﹣1）C．4n﹣1 D．（4n﹣1）考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据a1=1，公比q=2，求出数列a n通项，再平方，观察到是等比数列，再根据等比数列的前n项和的公式求解．解答：解：∵{a n}是等比数列a1=1，公比q=2∴a n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1∴a n2=4n﹣1是等比数列设A n=a12+a22+a32+…+a n2由等比数列前n项和，q=4解得故选D．点评：此题主要考查数列的求和问题，其中应用到由前n项和求数列通项和等比数列的前n 项和公式，这些都需要理解并记忆．9．在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则a：b：c等于（）A．3：4：5 B．2：：（+1）C．1：：2 D．2：2：（+）考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理即可求得a：b：c=sinA：sinB：sinC的值．解答：解：∵A：B：C=3：4：5，A+B+C=180°，∴A=45°，B=60°，C=75°．∴由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=2：：（+1）．答案：B点评：本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．10．等比的正数数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由a5a6=9，取常数列{a n}的各项都为3，代入所求的式子中，利用对数的运算法则即可求出所求式子的值．解答：解：取特殊数列a n=3，则log3a1+log3a2+…+log3a10==10，故选B．点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用对数的运算法则化简求值，是一道基础题．本题是利用特殊值的方程来解的，此方法是解选择题的一种好方法．11．在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A ﹣B=0，即A=B，即可确定出三角形形状．解答：解：利用正弦定理化简bcosA=acosB得：sinBcosA=sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，即A=B，则三角形形状为等腰三角形．故选：C．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设A、B、C所对的边分别为a、b、c，然后利用面积公式S=bcsinA得到bc的值，因为周长为a+b+c=20，再根据余弦定理列出关于a的方程，求出a的值即为BC的值．解答：解：依题意及面积公式S=bcsinA，得10=bcsin60°，得bc=40．又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20﹣a，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos60°=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，故a2=（20﹣a）2﹣120，解得a=7．故选C点评：考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，以及会用三角形的面积公式，掌握整体代换的数学思想．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在等腰三角形ABC中，已知sinA：sinB=1：2，底边BC=10，则△ABC的周长是50．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用正弦定理，将角的正弦之比转化为边长之比，求得AC长，从而由等腰三角形性质得AB长，最后三边相加即可得△ABC的周长解答：解：设BC=a，AB=c，AC=b∵sinA：sinB=1：2，由正弦定理可得：a：b=1：2，∵底边BC=10，即a=10，∴b=2a=20∵三角形ABC为等腰三角形，且BC为底边，∴b=c=20∴△ABC的周长是20+20+10=50故答案为50点评：本题考查了三角形中正弦定理的运用，等腰三角形的性质，三角形周长的计算，属基础题14．数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，则通项公式a n=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用公式求解．解答：解：∵数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，∴当n=1时，a1=S1=1；当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1时，2n﹣3≠a1，所以有a n=．故答案为：．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意公式的合理运用．15．若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．设{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2006和a2007是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2008+a2009= 18．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以a2006+a2007=2，a2006•a2007=；再把所得结论用a2006和q表示出来，求出q；最后把所求问题也用a2006和q表示出来即可的出结论．解答：解：设等比数列的公比为q．∵a2006和a2007是方程4x2﹣8x+3=0的两个根∴a2006+a2007=2，a2006•a2007=．∴a2006（1+q）=2 ①a2006•a2006•q=②∴①2÷②：，∵q＞1，∴解得q=3．∴a2008+a2009=a2006•q2+a2006•q3=a2006•（1+q）•q2=2×32=18．故答案为：18．点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系以及等比数列的性质．在解决本题的过程中用到了整体代入的思想，当然本题也可以求出首项和公比再代入计算．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．）17．（10分）（2015秋•呼伦贝尔校级月考）已知在△ABC中，A=45°，a=2cm，c=cm，求角B，C及边b．考点：解三角形；正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理求出C，然后求出角B，利用勾股定理求出B即可．解答：解：在△ABC中，A=45°，a=2cm，c=cm，由正弦定理可得：sinC===，C=．∴，b==．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（10分）（2015秋•呼伦贝尔校级月考）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列．求这三个正数．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d，可得a﹣d+a+a+d=15，求出a后得到等比数列的三个数，由等比数列的性质列式求d，则答案可求．解答：解：设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d，依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5．∴{b n}中的三个数依次为7﹣d，10，18+d．依题意，有（7﹣d）（18+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）．∴三个正数为3，5，7．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．19．（12分）（2015•滕州市校级模拟）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．解答：解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．20．（12分）（2004•山东）等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项a n可得．（2）把等差数列的求和公式代入S n=242进而求得n．解答：解：（Ⅰ）由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得方程组解得a1=12，d=2．所以a n=2n+10．（Ⅱ）由得方程．解得n=11或n=﹣22（舍去）．点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力．21．（12分）（2012•江西）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC．（1）求cosA；（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c．考点：余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=6cosBcosC，变形得：3（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，即cos（B+C）=﹣，则cosA=﹣cos（B+C）=；（2）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，又a=3，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：b2+c2=13②，联立①②解得：或．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．22．（14分）（2015秋•呼伦贝尔校级月考）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n和S n满足：4S n=（a n+1）2（n=1，2，3…），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”方法即可得出．解答：解：（1）∵4S n=（a n+1）2，①∴4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2），②①﹣②得4（S n﹣S n﹣1）=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．∴4a n=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2．化简得（a n+a n﹣1）•（a n﹣a n﹣1﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．∴{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）b n===（﹣）．∴T n=+…+=（1﹣）=．点评：本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。