2021年高中数学第2章推理与证明2.22.2.2反证法学案新人教A版选修1-2
2021_2022学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件1新人教A版选修1_2
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果
； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设
不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．
跟踪训练
教材新知导学
知识点一：反证法
思维导航 我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反 证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？
新知导学
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出
_矛___盾______，因此说明假设_____错__误___，从而证明了原命题 __成__立______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α 相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内 ．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
．因此，过a、b、m有且只有一个平面．
命题方向四：用反证法证明否(肯)定式命题
已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)．用反证法证明方程 f(x)＝0 没有 负数根．
[分析] 本题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法、 证题的关键是应注意分类讨论后，再找矛盾．
[解析] 假设 x0 为方程 f(x)＝0 的负根， 则有 ax0＋xx00＋ －12＝0， 即 ax0＝x20－＋x10＝3－x01＋＋1x0＝－1＋x0＋3 1， 显然 x0≠－1.
「精品」高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教A版选修1_2
2．2.2 反证法[提出问题]著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？提示：运用了反证法的思想．问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．[导入新知]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[化解疑难]1．反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q ―→导致逻辑矛盾―→“p且綈q”为假―→“若p，则q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．[例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明] 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．[类题通法]1．用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．[活学活用]设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.[例2] 已知a[证明] 由于a ≠0，因此方程ax ＝b 至少有一个实根x ＝ba.如果方程不只有一个实根，不妨假设x 1，x 2是它的不同的两个根， 从而有ax 1＝b ，ax 2＝b ， 两式作差得a (x 1－x 2)＝0. 因为x 1≠x 2，从而a ＝0，这与已知条件a ≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立． 即当a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个实根． [类题通法]用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面． [活学活用]用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a . 因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾， 所以假设错误，原命题成立.[例3] 已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. [证明] 假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25， 即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25， 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾， 故假设错误．所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. [类题通法]常见“结论词”与“反设词”[活学活用]已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．3．反证法的应用[典例] (12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．[解题流程][规范解答]假设ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.(4分)又因为AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.(8分)又因为AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立，所以ME与BN不共面，它们是异面直线．(12分)[名师批注]利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以ME与BN共面为条件证明．此处极易忽视，造成解题错误极易忽视此条件，直接由AB∥平面DCEF得出AB∥EN而失分必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确[活学活用]在同一平面内，设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，证明l1与l2相交．证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为两直线的斜率，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k22＋2＝0，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1≠k2，即l1与l2相交．[随堂即时演练]1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． A ．①② B ．②③ C ．①②③D ．①②④解析：选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．2．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B 正确． 3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)． ①已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y和1＋yx中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③④4．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交． 答案：b 与c 平行或相交5．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：若三个方程均无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－－4a ＋＜0，Δ2＝a －2－4a 2＜0，Δ3＝a 2－－2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－32＜a ＜－1，则∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤－32或a ≥－1， 故所求实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≤－32或a ≥－1. [课时达标检测]一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．2．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b 成立 B.3a ＜3b 成立C.3a ＝3b 或3a ＜3b 成立D.3a＝3b且3a＜3b成立解析：选C “大于”的否定为“小于或等于”．4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；(2)所以∠B<90°；(3)假设∠B≥90°；(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A．(1)(2)(3)(4) B．(4)(3)(2)(1)C．(3)(4)(1)(2) D．(3)(4)(2)(1)解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C.5．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )A．0个 B．1个C．2个 D．无穷多个解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使a n＝b n.二、填空题6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，即AC⊂α，BD⊂α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面矛盾， ∴AC ，BD 异面． 答案：异面 三、解答题9．已知x ，y >0，且x ＋y >2.求证：1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.证明：假设1＋x y ，1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2.∵x >0，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ， ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与已知x ＋y >2矛盾， ∴1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.10．已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0＜0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0＜ax 0＜1⇒0＜－x 0－2x 0＋1＜1， 解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案(无答案)新人教A版选修1-2(2021年整理)
河北省沙河市高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法学案（无答案）新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省沙河市高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法学案（无答案）新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省沙河市高中数学第二章推理与证明 2.2.2 反证法学案（无答案）新人教A版选修1-2的全部内容。
反证法【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识【学习目标】：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
【学习重点】：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.【学习难点】：根据问题的特点,选择适当的证明方法。
【教学过程】：一：回顾预习案1、是间接证明的一种基本方法。
●2、反证法的定义:一般地,假设原命题不成立（即，）经过 ,最后 ,因此说明 ,从而证明了，这样的证明方法叫做反证法。
3、反证法的关键是 ,这个关键可以是，或 .二讨论展示案合作探究，展示点评例1、（1）实数a，b，c不全为0是指（)．A．a，b,c均不为0 B．a，b，c至少有一个为0C．a，b,c至多有一个为0 D．a，b，c至少有一个不为0（2）用反证法证明命题“如果a＞b，那么33>”时,假设的内容应是（）．a bA．假设3a＝3b成立B．假设3a＜3b成立C．假设3a＝3b或3a＜3b成立D．假设3a＝3b且3a＜3b成立(3）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°"时,假设正确的是（）．A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°（4）用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有有理根,那么a b c，，中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( ）Ａ．假设a b c，，都是偶数Ｂ．假设a b c，，都不是偶数Ｃ．假设a b c，，至多有一个是偶数Ｄ．假设a b c，，至多有两个是偶数例2、（1）用反证法证明“一个三角形不能有两个直角"有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°,这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°,∠B＝90°．上述步骤的正确顺序为________．（2）下列叙述正确的有__________．（填序号)①“a＞b”的反面是“a＜b”;②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y"；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．例3、课本43页练习第1题。
2021年高中数学第2章推理与证明2.22.2.2反证法学案新人教A版选修1-2
2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点) 1．通过反证法的学习，体现了数学逻辑推理的素养.2．借助反证法证明问题，提升逻辑推理的素养.反证法的定义及证题的关键思考：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．1．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案]D2．用反证法证明“如果a＞b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．[答案]3a≤3b3．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]【例1】 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：a ，b ，c 不成等差数列．[证明] 假设a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，即b ＝ac ， ∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ， ∴(a －c )2＝0， 即a ＝c .从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾， 故a ，b ，c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[跟进训练]1．已知△ABC 的三条边长是a ，b ，c ，且1a ，1b ，1c 构成公差不为0的等差数列，求证：B不可能是钝角．[证明] 假设B 是钝角，则B 是最大角， 因此b ＞a ，b ＞c ，所以1b ＜1a ，1b ＜1c ，则2b ＜1a ＋1c.又因为1a ，1b ，1c 构成公差不为0的等差数列，所以2b ＝1a ＋1c，这与2b ＜1a ＋1c 相矛盾，故假设错误．即B 不可能是钝角.【例2】 求证方程2x ＝3有且只有一个根．[证明] ∵2x ＝3，∴x ＝log 23，这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的：假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)，则2b 1＝3,2b 2＝3， 两式相除得2b 1－b 2＝1.若b 1－b 2>0，则2b 1－b 2>1，这与2b 1－b 2＝1相矛盾． 若b 1－b 2<0，则2b 1－b 2<1，这也与2b 1－b 2＝1相矛盾． ∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.[跟进训练]2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点． 若直线a ，b 无交点，则a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾．若直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.用反证法证明“至多”“至少”问题1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的含义吗？ 提示：量词 含义至少有一个 有n 个，其中n ≥1至多有一个有0或1个至少有n个 大于等于n 个2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的反设词吗？提示：量词 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n 个至多有n －1个【例3】 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即： ⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)<0，(a －1)2－4a 2<0，(2a )2＋4×2a <0⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－32<a <－1，－2<a <0这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．1．(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？[解] 若三个方程都没有实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )<0，(a －1)2－4a 2<0，4a 2＋8a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，即－32<a <－1，－2<a <0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－32或a≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.即a∈．所以实数a的取值范围为实数R.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.1．反证法是一种间接证明问题的方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时，常运用反证法．2．反证法的基本步骤：反设→归谬→存真．1．判断正误(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是() A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．③①②[根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．]4.设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明]假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。
2021年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修1-2
2.2.2 反证法自主预习·探新知情景引入从前，某国王一贯自我标榜不仅是至高无上的权威，而且更是一个“大慈大悲”的救世主，他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死．有一次，一个囚犯行将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”．不料有人把此消息透漏给犯人，可犯人闻后却高兴地说“啊！我可死里逃生了”．国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中，这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”，只听国王大声呵斥：“混蛋，你们只要看一下剩下的那张纸签就是了．”显然剩下的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签，聪明的犯人死里逃生，就是巧用了本节课要学习的方法——反证法．新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__矛盾__，因此说明假设__错误__，从而证明了原命题__成立__，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__已知条件__矛盾，或与__假设__矛盾，或与__定义、公理、定理__、事实矛盾等．4．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题；(4)__结论__以“至多”“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，__结论__的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．预习自测1．用反证法证明“如果a 3>b 3，则a >b ”，假设的内容是( C ) A ．a ＜b B ．a ＝b C ．a ≤bD ．a ≥b[解析] 用反证法证明“如果a 3>b 3，则a >b ”时，提出的假设为a ≤b ． 2．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a ( C )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2[解析] 假设都小于2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c≥2＋2＋2＝6.矛盾．3．实数a 、b 、c 不全为0等价于( D ) A ．a 、b 、c 均不为0 B ．a 、b 、c 中至多有一个为0 C ．a 、b 、c 中至少有一个为0 D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．4．用反证法证明命题：“若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”时，应作的假设是__假设a ≠1或b ≠1__．[解析] 结论“a ＝b ＝1”的含义是a ＝1且b ＝1，故其否定应为“a ≠1或b ≠1”． 5．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°．[解析] 假设△ABC 的三个内角A 、B 、C 都小于60°，即∠A ＜60°，∠B ＜60°，∠C ＜60°． 相加得∠A ＋∠B ＋∠C ＜180°． 这与三角形内角和定理矛盾． 所以假设不成立，故原命题正确．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶用反证法证明否(肯)定性命题典例1 设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列．[解析] 假设{c n }是等比数列，则当n ≥2时，(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)·(a n ＋1＋b n ＋1)．所以a 2n ＋2a n b n ＋b 2n ＝a n －1a n ＋1＋a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＋b n －1b n ＋1．设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q (p ≠q )． 因为a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1， 所以2a n b n ＝a n －1b n ＋1＋b n －1a n ＋1＝a n p ·b n ·q ＋b n q ·a n ·p ，所以2＝q p ＋pq ，所以当p ≠q 时，q p ＋p q >2或q p ＋p q ≤－2与q p ＋pq ＝2矛盾，所以{c n }不是等比数列．『规律方法』 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p ，则q ”的过程中，虽然否定了结论q ，但是在证明过程中没有把“¬q ”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．┃┃跟踪练习1__■已知a 是整数，且a 2＋2a 是奇数，求证：a 不是偶数．[解析] 假设a 是偶数，不妨设a ＝2k (k ∈Z )，于是a 2＋2a ＝(2k )2＋2·2k ＝4k 2＋4k ＝4(k 2＋k )，由于k ∈Z ，所以k 2＋k ∈Z ．因此4(k 2＋k )是偶数，即a 2＋2a 是偶数． 这与已知a 2＋2a 是奇数相矛盾， 故假设不成立，即a 不是偶数． 命题方向❷用反证法证明“至多”“至少”类命题典例2 已知x ，y >0，且x ＋y >2．求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2．[思路分析] 明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾． [解析] 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx ≥2，∵x >0，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )． 即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y >2矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2． 『规律方法』 1.当命题中出现“至少”“至多”“不都”“都不”“没有”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：┃┃跟踪练习2__■设a 、b 、c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 三个数不可能同时大于14． [解析] 假设三个数都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三个数相乘，得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a ＞164．又因为(1－a )·a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，(1－b )·b ≤14，(1－c )·c ≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164．这与假设矛盾，因此假设不成立．所以(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a 不可能同时大于14．命题方向❸用反证法证明存在性、唯一性命题典例3求证：方程2x＝3有且只有一个根．[思路分析]本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法．[解析]显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)．则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1．∵b1≠b2，∴b1－b2≠0．如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2＜0，则2b1－b2＜1，这与2b1－b2＝1相矛盾．所以假设不成立．从而2x＝3的根是唯一的．故2x＝3有且只有一个根．『规律方法』 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．┃┃跟踪练习3__■已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．[解析]∵a∥b，∴过a、b有一个平面α．又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α．即过a、b、m有一个平面α假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α．则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．易混易错警示准确写出反设典例4已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0．[错解]假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．[辨析]错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”[正解]假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a＜0，则由abc>0，得bc ＜0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可证b>0，c>0．┃┃跟踪练习4__■已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0.用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．[解析]假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根．则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)＝4(p2－4)≥0，解得p≤－2或p≥2，若p≤－2，则p＋2≤0,2p＋1＜0，(p＋2)(2p＋1)≥0，与(p＋2)(2p＋1)＜0矛盾．若p≥2，则p＋2>0,2p＋1>0，(p＋2)(2p＋1)>0，与(p＋2)(2p＋1)＜0矛盾．所以假设不成立．故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．学科核心素养分析综合法分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．一般来说，对于较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，或者在证明过程中综合法与分析法并用，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分证明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的落点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．典例5已知n∈N，且n>1，求证：log n(n＋1)>log n＋1(n＋2)．[证明]要证log n(n＋1)>log n＋1(n＋2)，即证log n(n＋1)－log n＋1(n＋2)>0.(*)∵log n(n＋1)－log n＋1(n＋2)＝1log n＋1n－log n＋1(n＋2)＝1－log n＋1n·log n＋1(n＋2)log n＋1n，又∵当n>1时，log n＋1n>0，log n＋1(n＋2)>0 且log n＋1n≠log n＋1(n＋2)，∴log n＋1n·log n＋1(n＋2)＜14[log n＋1n＋log n＋1(n＋2)]2＝14log2n＋1[n(n＋2)]＝14log2n＋1(n2＋2n)＜14log2n＋1(n＋1)2＝1．故1－log n＋1n·log n＋1(n＋2)>0，∴1－log n＋1n·log n＋1(n＋2)log n＋1n>0．这说明(*)式成立，∴log n(n＋1)>log n＋1(n＋2)．『规律方法』(1)利用真数与底数相同，向同底转化．(2)本题先用分析法把证明一个对数不等式转化为证明一个式子大于零，然后利用对数性质及放缩法证明(*)式成立，进而说明原命题成立．前面为分析法，而中间的证明(*)式成立为综合法，即分析法用来转化，综合法用来证明．。
2021年高中数学第2章推理与证明 学案新人教A版选修1-2
1111113 1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＞ ，
2345672
11
1
1＋ ＋ ＋…＋ ＞2，
23
15
…，
请你归纳出一般性结论：________.
11
1n
(1)65 (2)1＋ ＋ ＋…＋ ＞ [(1)因为 4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，
23
2n－1 2
猜测 x＝64＋1＝65.
(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第 8 个图形中线段的条数为________．
(1)5n＋1 (2)509 [(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数 组成首项为 6，公差为 5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的个数为 6＋(n－1)×5 ＝5n＋1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为 1,5,13,29，因为 1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25 －3，因此可猜想第 8 个图形中线段的条数应为 29－3＝509.]
3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有 n(n>1，n∈N*)
个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝______(n>1，n∈N*)．
15 3n－3 [依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点，因此 a6＝ 3×6－3＝15.由 n＝2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an＝3n－3(n>1，n∈N*)．]
数、式中的归纳推理
【例 1】 (1)观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…
照此规律，第 n 个等式可为________．
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》优质课教案_30
《反证法》的教学设计【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 【学习重难点】重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
难点：导出矛盾的过程的模式【课时安排】2课时第1课时【学习过程】一、学前准备1、复习回顾证明方法中的综合法和分析法2、展示本节知识目标a.了解反证法是间接证明的一种基本方法；b.识别反证法所适用的数学问题；c.理解反证法的思考过程（反设，归谬）；4.会用反证法解决数学问题.3、提出疑问：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。
你能证明这个结论吗？4、自学课本第42，43页填写：（1）反证法的定义：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________ ，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与矛盾，或与假设矛盾，或与矛盾等.引申：（3）反证法解题的实质：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.（4）反证法的思维方法：正难则反（5）反证法证题的基本步骤：a．假设命题的结论的反面是正确的；（反设）b．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与矛盾；（归缪）c．由判定假设不正确，从而命题的结论是正确的.（结论）二、自学、合作探究通过查找课本，导学案等资料，各小组提出反证法涉及到的题，并对题型进行归类：宜用反证法证明的题型（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（5）解决整除性问题.（6）一些不等量命题的证明.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的。
高中数学人教A版选修1-2 第二章 推理与证明 2.2.2反证法【学案】
课题：2.2.2反证法
课标转述：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法—反证法；了解反证法的思考过程、特点。
学习目标：
1、 通过学习P42页内容，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2、 通过对例1、例2的讨论学习，了解反证法的思考过程、特点. 学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
学习过程：
一、复习准备：（小组合作完成）
提问：将9个球分别染成红色和白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。
你认为真确么？为什么？（口头展示）
二、新知探索
个人精读反证法的概念并记忆：
三、例题解析：（个人思考后小组讨论）
例1、已知0≠a ，证明x 的方程b ax =有且只有一个根。
例2、已知直线b a ,和平面α，如果αα⊂⊄b a ,，且a ∥b ，求证：a ∥α
四、巩固练习：（个人完成，小组评改，课堂展示）
1、证明：一定是锐角。
是直角，则中，若在B C ABC ∠∠∆.
2、求证：，2，3，5不可能成等差数列.
3、用反证法证明：如果.012,2
12≠-+>
x x x 那么
五、本节小结：（从知识与方法，例题与练习方面总结）
六、延伸提高：
已知(01)a b c ∈，，，．求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14．
七、作业：P 44 A 组3题
补充作业：.21,1.2,0中至少有一个小于试证：且、已知x y y x y x y x ++>+>。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.2反证法
学习目标核心素养
1．了解反证法是间接证明的一种基本方1．通过反证法的学习，体现了数学逻
法．(重点、易混点) 辑推理的素养.
2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证2．借助反证法证明问题，提升逻辑推
明数学问题．(重点、难点) 理的素养.
反证法的定义及证题的关键
思考：反证法的实质是什么？
[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
1．“a<b”的反面应是()
A．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b 或a>b
[答案]D
2．用反证法证明“如果a＞b，那么3 a>3 b ”，假设的内容应是________．
[答案] 3 a≤3 b
3．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填
序号)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]
用反证法证明否定性命题
Earlybird
【例1】已知三个正数a，b，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．
[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2 b，即a＋c＋2 ac＝4b.
∵a，b，c 成等比数列，
∴b2＝ac，即b＝ac，
∴a＋c＋2 ac＝4 ac，
∴( a－c)2＝0，
即a＝c.
从而a＝b＝c，与a，b，c 不成等差数列矛盾，
故a，b，c不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
[跟进训练]
1 1 1
1．已知△ABC 的三条边长是a，b，c，且，，构成公差不为0 的等差数列，求证：B
a b c
不可能是钝角．
[证明]假设B 是钝角，则B 是最大角，
因此b＞a，b＞c，
1 1 1 1
2 1 1
所以＜，＜，则＜＋.
b a b
c b a c
1 1 1
又因为，，构成公差不为0 的等差数列，
a b c
2 1 1
所以＝＋，
b a c
2 1 1
这与＜＋相矛盾，故假设错误．
b a c
即B 不可能是钝角.
用反证法证明唯一性命题
Earlybird
【例2】求证方程2x＝3 有且只有一个根．
[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3 有根．下面用反证法证明方程2x＝3 的
根是唯一的：假设方程2x＝3 至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
b1 b2
则2 ＝3,2 ＝3，
b1－b2
两式相除得2 ＝1.
b1－b2 b1－b2
若b1－b2>0，则2 >1，这与2 ＝1 相矛盾．
b1－b2 b1－b2
若b1－b2<0，则2 <1，这也与2 ＝1 相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
巧用反证法证明唯一性命题
1当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.
2用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
3证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.
[跟进训练]
2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
若直线a，b 无交点，则a∥b 或a，b 是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B，这样同时经过点A，B 就有两
条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.
用反证法证明“至多”“至少”问题[探究问题]
1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的含义吗？
提示：
量词含义
至少有一个有n 个，其中n≥1
至多有一个有0 或1 个
Earlybird
至少有n 个大于等于n 个
2.在反证法证明中，你能说出“至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的反设词吗？
提示：
量词反设词
至少有一个一个也没有
至多有一个至少有两个
至少有n 个至多有n－1 个
【例3】已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋
2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解．
[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
Error!Error!
这与已知a≥－1 矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
1．(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2
＋2ax－2a＝0 至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？
[解]若三个方程都没有实根，
则Error!
解得Error!
故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是Error!.
2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2 个方程有实数根，求实数a 的取值范围．
[解]假设三个方程都有实数根，则
Error!即Error!
解得Error!即a∈．
所以实数a 的取值范围为实数R.
当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.
提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.
Earlybird
1．反证法是一种间接证明问题的方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时，常运用反证法．
2．反证法的基本步骤：
反设→归谬→存真．
1．判断正误
(1)反证法属于间接证明问题的方法．()
(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．()
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()
[答案](1)√(2)×(3)√
2．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]
3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B
＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
③①②[根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．]
4.设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数
列．
[证明]假设数列{S n}是等比数列，
则S＝S1S3，
2
即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，
所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0 矛盾．
所以数列{S n}不是等比数列．
Earlybird。