2017《优化方案》高考文科数学(北师大版)一轮复习练习选修4-4第1讲知能训练轻松闯关Word版含答案

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，
y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2
＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)， 则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. 所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24
＝1， 其焦点坐标为(±5，0)．
2．(2015·高考江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－π4
)－4＝0，求圆C 的半径． 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .
圆C 的极坐标方程为
ρ2＋22ρ⎝⎛⎭
⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，
即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.
3．(2016·扬州质检)求经过极点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝
⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)， 故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，
圆心为(3，3)，半径为32，
圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，
即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，
得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝62cos ⎝
⎛⎭⎫θ－π4. 4．圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，
所以x 2＋y 2＝4x ，
即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程．
同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2
＝－2. 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0，0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x .
5．(2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．
解：由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，
即x 2＋(y －2)2＝4.
由ρsin θ＝a ，可得y ＝a .
设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .
在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a . 又因为B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，
所以⎝⎛⎭
⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43
a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3. 6．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
线C 的极坐标方程为ρcos ⎝
⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标；
(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭
⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32
y ＝1， 即x ＋3y ＝2.
θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．
θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭
⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝
⎛⎭⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝
⎛⎭⎫1，33， 则点P 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6
，ρ∈(－∞，＋∞)． 1．(2016·唐山统一考试)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；
(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22.
又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ
＝4， 故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．
2．(2016·南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫2，π3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程；
(2)以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．
解：(1)设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3
－θ， 由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos ⎝
⎛⎭⎫θ－π3＝4， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝
⎛⎭⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，设圆C 上任意一点P .
法一：P (1＋2cos α，3＋2sin α)，
又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，
所以M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)， 所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.
法二：点C 的坐标为(1，3)，圆的半径为2，
则圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，
设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，
所以x 0＝2x －5，y 0＝2y ＋3，①
P (x 0，y 0)在圆(x －1)2＋(y －3)2＝4上，
将①式代入得(x －3)2＋y 2＝1.
3．(2016·东北三校模拟)已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q 的直角坐标是(m ，n )．
(1)用x ，y ，θ0表示m ，n ；
(2)若m ，n 满足mn ＝1，且θ0＝π4
，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程． 解：(1)由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 且⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos （θ＋θ0），n ＝ρsin （θ＋θ0）， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝ρcos θcos θ0－ρsin θsin θ0，n ＝ρsin θcos θ0＋ρcos θsin θ0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x cos θ0－y sin θ0，n ＝x sin θ0＋y cos θ0
. (2)由(1)可知⎩
⎨⎧m ＝22x －22y ，n ＝22x ＋22
y ，又mn ＝1， 所以⎝⎛⎭⎫22x －22y ⎝⎛⎭⎫22x ＋22y ＝1. 整理得x 22－y 22＝1.所以x 22－y 2
2
＝1即为所求方程． 4．(2016·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点
的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝
⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22
的值．
解：(1)因为C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ， 所以C 1的普通方程为x 24
＋y 2＝1. 由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，
将D ⎝
⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2， 所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4
＋ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0
， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝
⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22
＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。