四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性模拟考试数学文试题
2013绵阳三诊文科数学答案
绵阳市高中2010级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCC BB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．314．41015．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54， ∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24， 利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分 （Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人， 成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)， (A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况． ∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2．∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n nc S nn ==-+，∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++311212n n =--++<32． …………12分18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF OB ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， ∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分（Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC ，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高， 且高h =EF FO O E⋅＝3=∴几何体ABCDEF 的体积E A C D F A C EF A B CV V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+2213232332⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2．再由()s i n (2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z )3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)6x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：s i n s i n s i ns i n A B A B +=． A BCD EF O∵32sin sin sin sin3a b c R ABCπ====(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R =， ∴ sin A =2aR ，sin B =2bR．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即a b +=． ①由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab c os C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △A B C=1sin 24ab C =12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=2c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切， ∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2． ∴ 椭圆的标准方程：2214xy +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)， 且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k A Q ，k B Q ， ∵22220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ，∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上． ∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2y N x +，．∴ 直线QN 的斜率为：000000022422222442Q N y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数．当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分（Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立， 即不等式2x e x xa x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()xe x xg x x--=(x ≥2)，于是22(1)()xx e xg x x--'=．再设2()(1)xh x x e x =--，得()(2)xh x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>，∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2m in [()](2)32eg x g ==-，∴ 232ea <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e-∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ． 令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n<-≤i ne-，即(1)n i n-≤ie-，∴1()nn n -≤1e -，2()n n n -≤2e-，3()n n n -≤3e-，…，1()n n≤(1)n e --，显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n nn n n n n n n n n---++++⋅⋅⋅+ ≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+11(1)111n ne e ee ee e -----==<---，故不等式123()()()+1n n n nne n n n ne +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
绵阳市2013级第二次诊断性考试文科数学试题及答案
绵阳市高2013级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BCADB CADCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2 12．127 13．2.3 14．5545- 15．(]12，- 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，∴ 随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分 （III ）由（II ）知，所抽5人中有3人是在)5040[，年龄段中取得，记为A 1，A 2，A 3；有2人是在)6050[，年龄段中取得，记为B 1，B 2， ∴ 从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种，其中)6050[，年龄段仅1人获奖的情况有 (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)共 6种，∴ )6050[，年龄段仅1人获奖的概率为P =53106=． ………………………12分 17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分 由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ， 解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x = k π+2413π，k ∈Z ，……………………………6分 ∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π．…………………………………………………………8分 （II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)， 再由[0]2x π∈，，可得2x -4π∈3[]44ππ-，， ∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2， 即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分 18．解：（I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．…………………………………3分 对数列{b n }，由已知有113122T b =-，即113122b b =-，解得b 1=1， 又*113122N n n T b n ++=-∈，， ∴ *111313133()222222N n n n n n n T T b b b b n +++-=---=-∈，， 即*113322N n n n b b b n ++=-∈，， 整理得b n +1=3b n ，即31=+nn b b （常数）， ∴ 数列{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ． ……………………………………………………………………7分（II ）3131222n n n T b -=-=， ∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，n n a T =n ·(n 3-1)，于是n n S b -n n a T =(n 2+n )·13-n - n ·(n 3-1)=]1)2(3[1+--n n n ，…………………9分显然当n =1时，n n S b -n n a T =0，即n n S b =n n a T ；当n ≥2(n ∈N *)时，n n S b -n n a T >0，即n n S b >n n a T ，∴ 综上，当n =1时n n S b =n n a T ；当n ≥2(n ∈N *)时，n n S b >n n a T ．………12分19．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ，代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ，此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x 经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)． …………………………………………12分20．解：（I ）设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则由题意有22==a c e ，222=+c b ， 即a =2，c =1，b =1，∴ 椭圆C 的方程为1222=+y x ．………………………………………………3分 （II ）假设存在直线m ，依题意可设为x =ky -1， 于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分 ∴ MN 的中点A 的坐标为(222+-k ，22+k k )． ∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )， 令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)． ………………………………9分 ∵ P 、Q 关于A 点对称，设Q (x 0，y 0)，∴ 222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k =21( y 0+0)， 解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k )．……………………11分 ∵ 点Q 在椭圆上，∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2， 解得k 2=21，于是212=k ，即421±=k ， ∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）当m =0时，x x x f ln )(=，x >0，得1ln )(+='x x f ．由ln x +1>0，解得x >e 1，即f (x )在(e1，+∞)上单调递增； 由ln x +1<0，解得0<x <e 1，即f (x )在(0，e1)上单调递减． ∴ 综上，f(x )的单调递增区间为(e 1，+∞)，单调递减区间为(0，e1)．…3分 （II ）已知2]x e ∈，于是1)(2>-x f x x 变形为1ln 1>--mx x x ， 从而11ln 1->-x mx x ，即0<ln x -mx <x -1， 整理得x x x 1ln +-<m <xx ln ．…………………………………………………5分 令g (x )= x xx 1ln +-，则2ln )(x x x g -='<0，即g (x )在2]e 上是减函数， ∴ g (x )max = g (e )=123-ee ． 令h (x )=x x ln ，则2ln 1)(x x x h -='，当e <x <e 时，)(x h '>0，即此时h (x )单调递增；当e <x <e 2时，)(x h '<0，即此时h (x )单调递减，而h (e )=e 21>h (e 2)=22e， ∴ h (x )min =22e ． ∴ 123-e e <m <22e．……………………………………………………………9分 （III ）由（I ）知当m =0时，x x x f ln )(=在1()e +∞，上是增函数． ∵ 11211<+<<x x x e， ∴ f (x 1+x 2)=(x 1+x 2)ln(x 1+x 2)>f (x 1)=x 1ln x 1，即ln x 1<)ln(21121x x x x x ++，同理ln x 2<)ln(21121x x x x x ++. 所以ln x 1+ln x 2<)ln()(21121221x x x x x x x x ++++=)ln()2(211221x x x x x x +++， 又因为12212x x x x ++≥4，当且仅当x 1=x 2时，取等号． 又x 1，x 2∈(e1，1)，x 1+x 2<1，0)ln(21<+x x , ∴ )ln()2(211221x x x x x x +++≤4， ∴ )ln(4ln ln 2121x x x x +<+，∴ x 1x 2<(x 1+x 2)4．……………………………………………………………14分。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试试题理科综合
四川省绵阳市2 013届高三第二次诊断性考试试题理科综合理科综合共300分，包括物理、化学、生物三部分，考试时间共150分钟。
物理试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共4页，满分100分。
物理部分第I卷（选择题共42分）选择题（本题共7小题。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1. 当你骑自行车下坡时，虽然有空气阻力作用，你也没有蹬车，但车的速率越来越大，在这个过程中，你和自行车的A. 机械能守恒，减少的重力势能等于增加的动能B. 机械能守恒，减少的重力势能大于增加的动能C. 机械能不守恒，减少的重力势能小于增加的动能D. 机械能不守恒，减少的重力势能大于增加的动能2. 如图所示，质量m=0.2kg的等边三棱柱静止在水平放置的固定斜面上。
已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数u=0.8,斜面的倾角为θ=300,重力加速度g=10m/s2，斜面对三棱柱的支持力为F1，斜面对三棱柱的摩擦力为F2,则A. F1= 1N,F2=-NB. F1=N, F2=1NC. F1 = 1N,F2=.ND. F1=N,F2=.N3. 如图所示，金属棒MN两端由等长的轻质绝缘细线水平悬挂，处于垂直纸面水平向里的匀强磁场中，棒中通有由M到N的恒定电流，细线中拉力不为零，两细线竖直。
保持匀强磁场磁感应强度大小不变，方向缓慢地转过90°变为竖直向下，在这个过程中A. 细线向纸面内偏转，其中的拉力一直增大B. 细线向纸面外偏转，其中的拉力一直增大C. 细线向纸面内偏转，其中的拉力先增大后减小D. 细线向纸面外偏转，其中的拉力先增大后减小4. 在匀强磁场中，有一个接有电容器的单匝导线回路，如图所示，导线回路与匀强磁场垂直，磁场方向垂直纸面向里，磁场均匀地增强，磁感应强度随时间的变化率，电容器电容，导线回路边长L1 = 8cm,L2 = 5cm。
四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试--数学(文)
四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
． 参考公式：如果事件A 、B 互斥， 其中R 表示球的半径． 那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 球的体积公式 如果事件A 、B 相互独立， V 343R π=； 那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）， 其中R 表示球的半径。
球的表面积公式 S=42R π；第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、报名用0．5毫米的黑色签字填写在答题卡上。
并将条形码粘贴在答题考的指定位置。
2．选择题用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标的位置上，其他试题用0．5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域。
在草稿纸、试卷上答题无效。
3．考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡分别收回并装袋。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=N ，集合A={l ，2，3，4，5}，B={l ，2，3，6，8），则A (C U B)等于 A ．{l,2,3} B ．{4,5} C ．{6,8} D ．{l,2,3,4,5} 2．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”；B ．命题“∃x ∈R ，使得2x 2－1<0”的否定是：“x ∀∈R ，均有2x 2－l<0”； C ．“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题； D ．命题“若cosx=cosy ，则x=y ”的逆否命题为真命题．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αB ．若α⊥γ，βγ⊥，则α∥βC ．若m//α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n4．已知两点A(-l ，0)，B(l ，3)，向量a=（2m －1，2），若AB ⊥a ，则实数m 的值为A ．-1B ．-2C ．1D ．25．如图，在直三棱柱AB C －A 1B 1C 1中，A 1A=AB=2，BC=1，∠ABC=90o，若规定主（正）视方向垂直平面ACC 1A 1，则此三棱柱的左（侧）视图的面积为A B ．C ．4 D ．26．设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN R 的概率为 A ．23B ．12C ．14D ．357．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A>0，)2πϕ<的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向右平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位8．铁矿石A 和B 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO 2排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为A ．12百万元B ．13百万元C ．14百万元D ．15百万元9．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 恰为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为A ．1BC ．2D ．210．已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足f （x+1）=－f （x ），当－1＜x ≤1时，f （x ）=x 3，若函数g （x ）=f （x ）－1og a |x|只有6个零点，则 A ．a=5若a=15B ．[)1(0,)5,5a ∈+∞ C ．11[,][5,7]75a ∈ D ．[)11[,]5,775a ∈第Ⅱ卷（非选择题 共100分）连意事项： 1．考生须用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共11小题，共100分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．复数(1i i-)2= 。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学(文)试题_Word版含答案
t SO t SO t S O tSO 保密 ★ 启用前 【考试时间：2013年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x 2-2x ≤0，x ∈R }，集合B ={x ||x |≤1，x ∈R }，则A ∩B =A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |-1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变5．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是A ．B ．C ．D ．O cl l 0C ·l l 0 O6．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 A ．3 B ．23 C ．43D ．637．在平面直角坐标系xOy 中，⊙M 过原点且与坐标轴交于A (a ，0)，B (0，a )两点，其中a >0．已知直线x+y -2=0截⊙M 的弦长为6，则a = A ．72B ．74C ．72D ．78．已知函数f (x )=6(3)3(7)(7)x a x x a x ---≤⎧⎨>⎩，，，，数列{a n }满足a n =f (n )（n ∈N +），且{a n }是单调递增数列，则实数a的取值范围是 A ．(1，3)B ．(2，3)C ．[)23，D ．9[34，）9．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．1210．用max{a ，b ，c }表示a 、b 、c 中的最大者，若x 、y 、z 均为正数，则max{x 2+y 2，xy +z ，2231x y z}的最小值为 A ．2B. 22C ．32D ．34第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人． 12．直线3x +y -1=0的倾斜角的大小是 . 13．右图表示的程序所输出的结果是.14．我们把离心率之差的绝对值等于1的两条双曲线称为“姊妹双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n -=是“姊妹双曲线”，则nm的值是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：13正视图侧视图俯视图 开始输出s 结束 i =6，s =1 i >4？ s =s ×i i =i -1是 否①函数f 1(x )=kx (k >0，x ∈(0，+∞))是任意三角形的“三角形函数”；②不存在三角形，使得函数2()((0))f x x x =∈+∞，是它的“三角形函数”； ③若定义在(0)+∞，上的周期函数3()f x 的值域也是(0)+∞，，则3()f x 是任意三角形的“三角形函数”；④对锐角△ABC ，它的三边长a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是锐角△ABC 的“三角形函数”． 以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若6()82A f =，AB AC ⋅=12，27a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（Ⅰ）求证：平面A1BD//平面CB1D1；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值；（Ⅲ）设该正方体棱长为4cm，现将正方体的表面涂成红色，再适当全部分割成棱长为1cm的小正方体，试求两面涂色的小正方体和六面均没涂色的小正方体的各有多少个？（请直接写出结果，不必说明理由）A BC DA1 B1C1 D118．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}(n∈N+)的首项和公比均为常数q．（Ⅰ）若a3、a2、a4依次成等差数列，求q的值；（Ⅱ）若a n>0，数列{b n}的前n项和是S n，b n=lg a n，求使得对任意n∈N*都有S n≤n2恒成立的常数q 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+b-a+3=0，其中a、b为常数，点(a，b)是区域Ω：04 04ab≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．（Ⅰ）当方程无实根且a、b∈N时，试列举出所有的点(a，b)，并求此时概率P1；（Ⅱ）设该方程的两个实根分别为x1、x2，试求x1、x2满足0≤x1≤1≤x2时的概率P2．20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C 的圆心在原点，半径长为2，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅= 成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．（Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）若函数g (x )=2f (x )-b ln x +x 在[1+x ∈∞，）上存在零点，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 0>x 1．绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BBCAD ABDDA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．23π 13．30 14．18或815．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2x =2sin(2x+4π)，∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分（Ⅱ）f (8A)=2sin(4A +4π)=62，即sin(4A +4π)=32，∴ 4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅ =c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．①又cos A =22212722b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6．………………………………………12分 17．（Ⅰ）证明：在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 由A 1D 1 BC ，知四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴ A 1B ∥D 1C ， ∴ A 1B //平面CB 1D 1.同理可证：BD //平面CB 1D 1，∴ 平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.………………………4分 （Ⅱ）解：设正方体的边长为a ，连接BC 1交B 1C 于点 O ，连接A 1O ，在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DC ⊥平面BCC 1B 1，∴ DC ⊥BC 1. 又BC 1⊥B 1C ，∴ BC 1⊥平面A 1B 1CD ．∴A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影为A 1O ．∴ ∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．易知：1222A B a BO a ==，， 在Rt △A 1BO 中，A 1O =22162A B BO a -=，1113cos 2AO BAO A B ∠==， 即直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的余弦值为32． ……………………8分 （Ⅲ）解：两面涂色的小正方形有24个；六面均没有涂色的小正方形有8A B C D A 1 B 1 C 1D 1 O个． ……………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）∵ a 3、a 2、a 4依次成等差数列，∴2a 2=a 3+a 4，即2a 1q =a 1q 2+a 1q 3．由已知a 1=q ≠0，于是上式化简q 2+q -2=0，解得q =1或q =-2．…………4分 （Ⅱ）由题意知：a n =a 11n q -=q n ，由a n >0知q >0． ∴ b n =lg q n =n lg q ．∴ 数列{b n }是首项为lg q ，公差为lg q 的等差数列∴ 2(lg lg )lg ()22n n q n q q n n S ++==．…………………………………………7分∴ 由题知不等式2lg ()2q n n +≤n 2对任意n ∈N *恒成立，即lg q ≤21nn +对任意n ∈N *恒成立． 设2()1n g n n =+，由22()211n g n n n==-++，易知()g n 对任意n ∈N *单调递增，∴ min [()](1)1g n g ==， ∴ lg q ≤[g(n )]min ，即lg q ≤1，解得0<q ≤10，即常数q 的取值范围为0<q ≤10． …………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）当a 、b ∈N 时，所有的点(a ，b ) 共有25个，分别为：(0，0) (0，1) (0，2) (0，3) (0，4) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，0) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，0) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，0) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) ∵ 关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0无实根， ∴ 44(3)0b a ∆=--+<，即a -b -2<0，满足a -b -2<0的点(a ，b )共有19个，∴ P 11925=．…………………………………………6分（Ⅱ）设函数2()23f x x x b a =-+-+，∵ 该方程的二实根x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2， ∴ (1)0f f ≥⎧⎨≤⎩(0)0，， 即 3020a b a b --≤⎧⎨--≥⎩，．由图知：满足0≤x 1≤1≤x 2时的概率P 2 1122113224432⨯⨯-⨯⨯==⨯． ……12分20．解：（Ⅰ）由题意得，22(1)142x y x -+=-，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅ =(OP PA + )۰(OP PB + )=2OP +OP PB ⋅ +PA OP ⋅ +PA PB ⋅ ，由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅ =0，PA OP ⋅=0．∴ OA OB ⋅ =2OP +PA PB ⋅ =2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =2±，a b O 443 2代入椭圆22143x y +=，得y =62±． ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅ =0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ，∴ |OP |=221b k =+，即b 2=2k 2+2． 联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0， ∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k +-， ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k +-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0，又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分21．解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，由ln 10x +>，即1x e >时()0f x '>，所以()f x 在区间1()e+∞，上单调递增， 由ln 10x +<，即10x e <<时()0f x '<，所以()f x 在区间1(0)e，上单调递减， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为1()e +∞，，单调递减区间为1(0)e，．………5分 （Ⅱ）∵ 函数g (x )=2f (x )-b ln x +x 在[1+x ∈∞，）上存在零点，∴ 方程2ln ln 0x x b x x -+=在[1+x ∈∞，）上有实数解． 易知x =1不是方程的实数解，∴ 方程2ln ln 0x x b x x -+=在(1)x ∈+∞，上有实数解， 即方程2ln x b x x=+在错误！链接无效。
四川省绵阳市高中高三数学上学期第二次诊断性考试试题文
绵阳市高中2013级第二次诊断性考试数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线033=--y x 的倾斜角是 (A) 030(B) 060 (C) 0120(D) 01502.若集合}2|{A x y y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A(A) ),0[+∞ (B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞(D) ),(+∞-∞3.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点(A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变4.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第三象限的充要条件是 (A) 1>a(B) 1<a (C) 1->a(D) 1-<a5．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率是(A)45 (B)35 (C) 37 (D)3216．执行右图程序框图，若输入的[]2,1-∈t ，则输出S 属于 (A) []1,0 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,43(C) )2,0[ (D) )2,1[7．过抛物线24x y =的焦点任作一直线l 交抛物线于N M ,两点，O 为坐标原点，则MON ∆的面积的最小值为 (A) 2 (B) 22 (C) 4(D) 88．已知点M 是边长为2的形ABCD 内的一动点，则∙的取值范围是 (A) []4,0 (B) []5,0 (C) []5,1- (D) []4,1-9．已知正项等比数列}n a ｛满足52345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 32 (B) 21010+ (C) 20(D) 2810．已知函数),(21)(2是常数c b c x b x x f ++=和xx x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，则)(x f 在集合M 上的最大值为 (A)27(B) 5 (C) 6(D) 8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为A. 31≥kB. 15≥kC. k>3lD. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ上单调递增，则0的取值范围是9. )0(122>>=+b a by 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e + B. )1,0(2ee +C. ),1(2+∞+e eD. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式；18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1,EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.g已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+， ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．ABCD EF O而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即 a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 2ab C =…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>， ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n <-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --， 显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
四川省绵阳中学2013届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(扫描版)(附答案)
绵阳市高2013级第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CCBAD BAADD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-4 14．2 15．k >-3 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)· (1x )x+ cos2x =2sin(2x+6π)，………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==． 令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ， 即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设公比为q ，由已知a 6=2，a 3=41，得5211124a q a q ==，， 两式相除得q 3=8，解得q =2，a 1=116， ∴ a n =1512216n n --⨯=．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）b n =3log2a n =523log 2n -=3n -15，∴ ()()12123153272222n n n b b n n T n n +-+-===-239243228n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当n =4或5时，T n 取得最小值，最小值为-30．……………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C π=． …………………………………………………6分（Ⅱ）∵ △ABC 的面积为3，即1sin 2ab C =ab =4，①又c =2，由（Ⅰ）知，224a b ab +-=， ∴ 2()3416a b ab +=+=，得a +b =4，②由①②得a=b=2． ……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5，于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4，h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分21．解：（Ⅰ）由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1， 由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ，∴ 121n n a t a t +=+（常数）．∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1nn b =．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，. 于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 9=910452⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和， 则S 45=[1+12+21()2+…+81()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8]． 显然 1+12+21()2+…+81()2=9811()1221212-=--， ∵ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+ (6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36． ∴ S 45=8122-+36=38-812．∴ S 50=S 45+(c 46+c 47+c 48+c 49+c 50)=38-812+5×(-1)9×9 =17256-．即数列{c n }的前50项之和为17256-．………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1． 于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）∀x ∈(0，+∞)，f (x )≤g (x )，即ln x -(k +1)x ≤0恒成立，设()ln (1)h x x k x =-+，有11(1)()(1)k xh x k x x-+'=-+=． ①当k +1≤0，即k ≤-1时，()0h x '>，此时(1)ln1(1)h k =-+≥0与()h x ≤0矛盾． ②当k +1>0，即k >-1时，令()h x '=0，解得11x k =+， 101x k ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，，()h x '>0，h (x )为增函数，11x k ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，，()h x '<0，h (x )为减函数， ∴ max 11()()ln 111h x h k k ==-++≤0，即()ln 1k +≥-1，解得k ≥11e-．综合k >-1，知k ≥11e-．∴ 综上所述，k 的取值范围为11e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数， ∴ f (x )≤f (1)=0， ∴ ln x ≤x -1．当n =1时，b 1=ln(1+1)=ln2， 当n ≥2时，有ln(n +1)<n ，∵ ()3ln 1n n b n +=321111(1)1n n n n n n n<=<=---， ∴ 1211111112123131n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1ln 2(1)n=+-<1+ln2．……………………………………………………14分。
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四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题文科数学（第一卷）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合P Q 为 （ ） （A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}2、复数212i i-+的虚部是（ ） （A ）0 （B ）5i （C ）1 （D ）i3、已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） （A ）49 （B ）29 （C ）29- （D ）49-4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）805、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ) （A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β （C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α （D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin()33f x x ππ=- （B ）()2sin(1)6f x x π=- （C ）()2sin()3f x x π=- （D ）()2sin()66f x x ππ=-7、对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A) )2,(--∞(B) ),2[+∞-(C) ]2,2[-(D) ),0[+∞8、定义运算()()a ab a b b a b ⎧≤⊗=⎨>⎩，则函数1()(0)f x x x x =⊗>的图象大致为（ ）9、已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=，则∆ABC 是（） （A ）以AB 为底边的等腰三角形 （B ）以BC 为底边的等腰三角形 （C ）以AB 为斜边的直角三角形（D ）以BC 为斜边的直角三角形10、已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}0123b,c ∈，，，，记“该方程有实数根1x ，2x 且满足1212x x -≤≤≤”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )（A ）14 （B ）34 （C ）78 （D ）1516二、填空题：每小题5分，共25分11、已知数列{}n a 的前n 项和332n n S =-⨯，则n a = ．12、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7， 那么从高三学生中抽取的人数应为 ．13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，则θcos 等于 ．15、设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，若(,0)a b km k Z k -=∈≠，我们称a 、b 模m 同余，用符号(Mod )a b m =表示； 在6(Mod )b m =中，当bN m∈，且1m >时，b 的所有可取值为 ．主视图 侧视图俯视图三、解答题：总分75分16、（本题满分12分）已知ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅= 且，AB BC与的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值．17、（本题满分12分）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，2AC CB ==． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当60PCB ∠=︒时，求三棱锥A PCB -的体积．18、（本题满分12分） 设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().3sin 2cos 2cos sin 2-++-=x x x x f（Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）若方程()212-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围. AB19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （Ｉ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 20、（本题满分13分） 设数列{}n a 为单调递增的等差数列，11a =，且1263,,a a a 依次成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若2n an n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）若()222322nnna n a a c =+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21．（本小题满分14分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围； （Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题文科数学参考答案一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 二、填空题：11、132n --⨯（*n N ∈） 12、10 13、4515、2,3,4 三、解答题： 16、解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θBC AB BC AB …………1分11||||sin()||||sin 2211||||cos tan 6tan 3tan .422333tan 1tan [0,],[,].643S AB BC AB BC AB BC S πθθθθθθθθππθπθ=-===⨯=≤≤≤≤∴≤≤∈∴∈分即又分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin)(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++= …………9分311[,],2[,].4344232,,(), 3.12444f πππππθθπππθθθ∈∴+∈∴+== 当即时最大最大值为分17、证明：（Ⅰ）作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB PC ==，∴OA OB OC ==，即O 为ABC ∆的外心 又∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒ 故O 为AB 边的中点 所以PO ⊂平面PAB即证：平面PAB ⊥平面ABC ． ．．．．．．．6分 （Ⅱ）∵PA PB PC ==，60PCB ∠=︒，∴PCB ∆为正三角形∵2AC CB == ， ∴2PA PB PC ===∴OA=PO =∴三棱锥A PCB -的体积13A PCB P ACB ABC V V S PO --∆==⋅11113232AC BC PO =⨯⋅⋅=⨯⨯=．………….12分 18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分⑵①当21=x 时，.021≠⎪⎭⎫⎝⎛f 不成立. ②当211<≤-x 时，,021<-x 令,21x t -=则,21t x -=.230≤<t ,34732122122--=-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=tt t t t a因为函数()347--=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0上单增，所以.3438232-≤⇒-=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a ③当121≤<x 时，,021>-x 令,21-=x t 则,21t x +=.210≤<t ,34732122122+-=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tt t t t a因为函数()347+-=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单增，所以.00212≤⇒=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a 综上，实数a 的取值范围是(].0,∞- ……………………12分19、解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30100098 2.7,10.3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩…………………6分 （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x '=->⇒<<， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）． 当10x >时，100098(2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万20、解：(Ⅰ)()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….4分 （Ⅱ）∵22na n n nb a n =⋅=⋅∴231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅相减，得23122222n n n S n +-=++++-⋅2(12)12n -=-12n n +-⋅11222n n n ++=--⋅∴1(1)22n n S n +=-⋅+． …………………….13分（Ⅲ）()()()()()121122211.2121212221212322nn n n n n n n n n n nc ---====-+++++++⨯+则0112111111111.212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………13分 21、解：（Ⅰ）34)(2+-='x x x f ，则11)2()(2-≥--='x x f ，即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------3分（Ⅱ）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------5分解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------7分 （Ⅲ）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，则切线方程是：))(34()3231(112112131x x x x x x x y -+-=+--，化简得：)232()34(2131121x x x x x y +-++-=，而过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=，由于两切线是同一直线，则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------11分 又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 22得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。