四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性模拟考试数学文试题
四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题文科数学（第一卷）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合P Q 为 （ ） （A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}2、复数212i i-+的虚部是（ ） （A ）0 （B ）5i （C ）1 （D ）i3、已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） （A ）49 （B ）29 （C ）29- （D ）49-4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）805、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ) （A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β （C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α （D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin()33f x x ππ=- （B ）()2sin(1)6f x x π=- （C ）()2sin()3f x x π=- （D ）()2sin()66f x x ππ=-7、对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A) )2,(--∞(B) ),2[+∞-(C) ]2,2[-(D) ),0[+∞8、定义运算()()a ab a b b a b ⎧≤⊗=⎨>⎩，则函数1()(0)f x x x x =⊗>的图象大致为（ ）9、已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=，则∆ABC 是（） （A ）以AB 为底边的等腰三角形 （B ）以BC 为底边的等腰三角形 （C ）以AB 为斜边的直角三角形（D ）以BC 为斜边的直角三角形10、已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}0123b,c ∈，，，，记“该方程有实数根1x ，2x 且满足1212x x -≤≤≤”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )（A ）14 （B ）34 （C ）78 （D ）1516二、填空题：每小题5分，共25分11、已知数列{}n a 的前n 项和332n n S =-⨯，则n a = ．12、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7， 那么从高三学生中抽取的人数应为 ．13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，则θcos 等于 ．15、设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，若(,0)a b km k Z k -=∈≠，我们称a 、b 模m 同余，用符号(Mod )a b m =表示； 在6(Mod )b m =中，当bN m∈，且1m >时，b 的所有可取值为 ．主视图 侧视图俯视图三、解答题：总分75分16、（本题满分12分）已知ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅= 且，AB BC与的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值．17、（本题满分12分）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，2AC CB ==． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当60PCB ∠=︒时，求三棱锥A PCB -的体积．18、（本题满分12分） 设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().3sin 2cos 2cos sin 2-++-=x x x x f（Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）若方程()212-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围. AB19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （Ｉ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 20、（本题满分13分） 设数列{}n a 为单调递增的等差数列，11a =，且1263,,a a a 依次成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若2n an n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）若()222322nnna n a a c =+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21．（本小题满分14分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围； （Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题文科数学参考答案一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 二、填空题：11、132n --⨯（*n N ∈） 12、10 13、4515、2,3,4 三、解答题： 16、解：（I ）由题意知.6cos ||||==⋅θBC AB BC AB …………1分11||||sin()||||sin 2211||||cos tan 6tan 3tan .422333tan 1tan [0,],[,].643S AB BC AB BC AB BC S πθθθθθθθθππθπθ=-===⨯=≤≤≤≤∴≤≤∈∴∈分即又分（II ）θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin)(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++= …………9分311[,],2[,].4344232,,(), 3.12444f πππππθθπππθθθ∈∴+∈∴+== 当即时最大最大值为分17、证明：（Ⅰ）作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB PC ==，∴OA OB OC ==，即O 为ABC ∆的外心 又∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒ 故O 为AB 边的中点 所以PO ⊂平面PAB即证：平面PAB ⊥平面ABC ． ．．．．．．．6分 （Ⅱ）∵PA PB PC ==，60PCB ∠=︒，∴PCB ∆为正三角形∵2AC CB == ， ∴2PA PB PC ===∴OA=PO =∴三棱锥A PCB -的体积13A PCB P ACB ABC V V S PO --∆==⋅11113232AC BC PO =⨯⋅⋅=⨯⨯=．………….12分 18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分⑵①当21=x 时，.021≠⎪⎭⎫⎝⎛f 不成立. ②当211<≤-x 时，,021<-x 令,21x t -=则,21t x -=.230≤<t ,34732122122--=-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=tt t t t a因为函数()347--=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0上单增，所以.3438232-≤⇒-=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a ③当121≤<x 时，,021>-x 令,21-=x t 则,21t x +=.210≤<t ,34732122122+-=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tt t t t a因为函数()347+-=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单增，所以.00212≤⇒=⎪⎭⎫⎝⎛≤a h a 综上，实数a 的取值范围是(].0,∞- ……………………12分19、解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30100098 2.7,10.3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩…………………6分 （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x '=->⇒<<， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）． 当10x >时，100098(2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万20、解：(Ⅰ)()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….4分 （Ⅱ）∵22na n n nb a n =⋅=⋅∴231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅相减，得23122222n n n S n +-=++++-⋅2(12)12n -=-12n n +-⋅11222n n n ++=--⋅∴1(1)22n n S n +=-⋅+． …………………….13分（Ⅲ）()()()()()121122211.2121212221212322nn n n n n n n n n n nc ---====-+++++++⨯+则0112111111111.212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………13分 21、解：（Ⅰ）34)(2+-='x x x f ，则11)2()(2-≥--='x x f ，即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------3分（Ⅱ）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------5分解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------7分 （Ⅲ）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，则切线方程是：))(34()3231(112112131x x x x x x x y -+-=+--，化简得：)232()34(2131121x x x x x y +-++-=，而过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=，由于两切线是同一直线，则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------11分 又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 22得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。
2013绵阳三诊文科数学答案
绵阳市高中2010级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCC BB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．314．41015．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54， ∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24， 利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是：45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分 （Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人， 成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)， (A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况． ∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2．∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n nc S nn ==-+，∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++311212n n =--++<32． …………12分18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF OB ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， ∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分（Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC ，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高， 且高h =EF FO O E⋅＝3=∴几何体ABCDEF 的体积E A C D F A C EF A B CV V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+2213232332⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2．再由()s i n (2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z )3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)6x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：s i n s i n s i ns i n A B A B +=． A BCD EF O∵32sin sin sin sin3a b c R ABCπ====(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R =， ∴ sin A =2aR ，sin B =2bR．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即a b +=． ①由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab c os C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △A B C=1sin 24ab C =12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=2c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切， ∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2． ∴ 椭圆的标准方程：2214xy +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)， 且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k A Q ，k B Q ， ∵22220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ，∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上． ∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2y N x +，．∴ 直线QN 的斜率为：000000022422222442Q N y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数．当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分（Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立， 即不等式2x e x xa x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()xe x xg x x--=(x ≥2)，于是22(1)()xx e xg x x--'=．再设2()(1)xh x x e x =--，得()(2)xh x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>，∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2m in [()](2)32eg x g ==-，∴ 232ea <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e-∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ． 令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n<-≤i ne-，即(1)n i n-≤ie-，∴1()nn n -≤1e -，2()n n n -≤2e-，3()n n n -≤3e-，…，1()n n≤(1)n e --，显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n nn n n n n n n n n---++++⋅⋅⋅+ ≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+11(1)111n ne e ee ee e -----==<---，故不等式123()()()+1n n n nne n n n ne +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
绵阳市2013级第二次诊断性考试文科数学试题及答案
绵阳市高2013级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BCADB CADCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2 12．127 13．2.3 14．5545- 15．(]12，- 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，∴ 随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分 （III ）由（II ）知，所抽5人中有3人是在)5040[，年龄段中取得，记为A 1，A 2，A 3；有2人是在)6050[，年龄段中取得，记为B 1，B 2， ∴ 从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种，其中)6050[，年龄段仅1人获奖的情况有 (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)共 6种，∴ )6050[，年龄段仅1人获奖的概率为P =53106=． ………………………12分 17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分 由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ， 解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x = k π+2413π，k ∈Z ，……………………………6分 ∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π．…………………………………………………………8分 （II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)， 再由[0]2x π∈，，可得2x -4π∈3[]44ππ-，， ∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2， 即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分 18．解：（I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．…………………………………3分 对数列{b n }，由已知有113122T b =-，即113122b b =-，解得b 1=1， 又*113122N n n T b n ++=-∈，， ∴ *111313133()222222N n n n n n n T T b b b b n +++-=---=-∈，， 即*113322N n n n b b b n ++=-∈，， 整理得b n +1=3b n ，即31=+nn b b （常数）， ∴ 数列{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ． ……………………………………………………………………7分（II ）3131222n n n T b -=-=， ∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，n n a T =n ·(n 3-1)，于是n n S b -n n a T =(n 2+n )·13-n - n ·(n 3-1)=]1)2(3[1+--n n n ，…………………9分显然当n =1时，n n S b -n n a T =0，即n n S b =n n a T ；当n ≥2(n ∈N *)时，n n S b -n n a T >0，即n n S b >n n a T ，∴ 综上，当n =1时n n S b =n n a T ；当n ≥2(n ∈N *)时，n n S b >n n a T ．………12分19．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ，代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ，此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x 经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)． …………………………………………12分20．解：（I ）设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则由题意有22==a c e ，222=+c b ， 即a =2，c =1，b =1，∴ 椭圆C 的方程为1222=+y x ．………………………………………………3分 （II ）假设存在直线m ，依题意可设为x =ky -1， 于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分 ∴ MN 的中点A 的坐标为(222+-k ，22+k k )． ∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )， 令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)． ………………………………9分 ∵ P 、Q 关于A 点对称，设Q (x 0，y 0)，∴ 222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k =21( y 0+0)， 解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k )．……………………11分 ∵ 点Q 在椭圆上，∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2， 解得k 2=21，于是212=k ，即421±=k ， ∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）当m =0时，x x x f ln )(=，x >0，得1ln )(+='x x f ．由ln x +1>0，解得x >e 1，即f (x )在(e1，+∞)上单调递增； 由ln x +1<0，解得0<x <e 1，即f (x )在(0，e1)上单调递减． ∴ 综上，f(x )的单调递增区间为(e 1，+∞)，单调递减区间为(0，e1)．…3分 （II ）已知2]x e ∈，于是1)(2>-x f x x 变形为1ln 1>--mx x x ， 从而11ln 1->-x mx x ，即0<ln x -mx <x -1， 整理得x x x 1ln +-<m <xx ln ．…………………………………………………5分 令g (x )= x xx 1ln +-，则2ln )(x x x g -='<0，即g (x )在2]e 上是减函数， ∴ g (x )max = g (e )=123-ee ． 令h (x )=x x ln ，则2ln 1)(x x x h -='，当e <x <e 时，)(x h '>0，即此时h (x )单调递增；当e <x <e 2时，)(x h '<0，即此时h (x )单调递减，而h (e )=e 21>h (e 2)=22e， ∴ h (x )min =22e ． ∴ 123-e e <m <22e．……………………………………………………………9分 （III ）由（I ）知当m =0时，x x x f ln )(=在1()e +∞，上是增函数． ∵ 11211<+<<x x x e， ∴ f (x 1+x 2)=(x 1+x 2)ln(x 1+x 2)>f (x 1)=x 1ln x 1，即ln x 1<)ln(21121x x x x x ++，同理ln x 2<)ln(21121x x x x x ++. 所以ln x 1+ln x 2<)ln()(21121221x x x x x x x x ++++=)ln()2(211221x x x x x x +++， 又因为12212x x x x ++≥4，当且仅当x 1=x 2时，取等号． 又x 1，x 2∈(e1，1)，x 1+x 2<1，0)ln(21<+x x , ∴ )ln()2(211221x x x x x x +++≤4， ∴ )ln(4ln ln 2121x x x x +<+，∴ x 1x 2<(x 1+x 2)4．……………………………………………………………14分。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试试题理科综合
四川省绵阳市2 013届高三第二次诊断性考试试题理科综合理科综合共300分，包括物理、化学、生物三部分，考试时间共150分钟。
物理试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共4页，满分100分。
物理部分第I卷（选择题共42分）选择题（本题共7小题。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1. 当你骑自行车下坡时，虽然有空气阻力作用，你也没有蹬车，但车的速率越来越大，在这个过程中，你和自行车的A. 机械能守恒，减少的重力势能等于增加的动能B. 机械能守恒，减少的重力势能大于增加的动能C. 机械能不守恒，减少的重力势能小于增加的动能D. 机械能不守恒，减少的重力势能大于增加的动能2. 如图所示，质量m=0.2kg的等边三棱柱静止在水平放置的固定斜面上。
已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数u=0.8,斜面的倾角为θ=300,重力加速度g=10m/s2，斜面对三棱柱的支持力为F1，斜面对三棱柱的摩擦力为F2,则A. F1= 1N,F2=-NB. F1=N, F2=1NC. F1 = 1N,F2=.ND. F1=N,F2=.N3. 如图所示，金属棒MN两端由等长的轻质绝缘细线水平悬挂，处于垂直纸面水平向里的匀强磁场中，棒中通有由M到N的恒定电流，细线中拉力不为零，两细线竖直。
保持匀强磁场磁感应强度大小不变，方向缓慢地转过90°变为竖直向下，在这个过程中A. 细线向纸面内偏转，其中的拉力一直增大B. 细线向纸面外偏转，其中的拉力一直增大C. 细线向纸面内偏转，其中的拉力先增大后减小D. 细线向纸面外偏转，其中的拉力先增大后减小4. 在匀强磁场中，有一个接有电容器的单匝导线回路，如图所示，导线回路与匀强磁场垂直，磁场方向垂直纸面向里，磁场均匀地增强，磁感应强度随时间的变化率，电容器电容，导线回路边长L1 = 8cm,L2 = 5cm。
四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试--数学(文)
四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
． 参考公式：如果事件A 、B 互斥， 其中R 表示球的半径． 那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 球的体积公式 如果事件A 、B 相互独立， V 343R π=； 那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）， 其中R 表示球的半径。
球的表面积公式 S=42R π；第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、报名用0．5毫米的黑色签字填写在答题卡上。
并将条形码粘贴在答题考的指定位置。
2．选择题用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标的位置上，其他试题用0．5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域。
在草稿纸、试卷上答题无效。
3．考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡分别收回并装袋。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=N ，集合A={l ，2，3，4，5}，B={l ，2，3，6，8），则A (C U B)等于 A ．{l,2,3} B ．{4,5} C ．{6,8} D ．{l,2,3,4,5} 2．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”；B ．命题“∃x ∈R ，使得2x 2－1<0”的否定是：“x ∀∈R ，均有2x 2－l<0”； C ．“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题； D ．命题“若cosx=cosy ，则x=y ”的逆否命题为真命题．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αB ．若α⊥γ，βγ⊥，则α∥βC ．若m//α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n4．已知两点A(-l ，0)，B(l ，3)，向量a=（2m －1，2），若AB ⊥a ，则实数m 的值为A ．-1B ．-2C ．1D ．25．如图，在直三棱柱AB C －A 1B 1C 1中，A 1A=AB=2，BC=1，∠ABC=90o，若规定主（正）视方向垂直平面ACC 1A 1，则此三棱柱的左（侧）视图的面积为A B ．C ．4 D ．26．设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN R 的概率为 A ．23B ．12C ．14D ．357．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A>0，)2πϕ<的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向右平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位8．铁矿石A 和B 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO 2排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为A ．12百万元B ．13百万元C ．14百万元D ．15百万元9．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 恰为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为A ．1BC ．2D ．210．已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足f （x+1）=－f （x ），当－1＜x ≤1时，f （x ）=x 3，若函数g （x ）=f （x ）－1og a |x|只有6个零点，则 A ．a=5若a=15B ．[)1(0,)5,5a ∈+∞ C ．11[,][5,7]75a ∈ D ．[)11[,]5,775a ∈第Ⅱ卷（非选择题 共100分）连意事项： 1．考生须用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共11小题，共100分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．复数(1i i-)2= 。
四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学(文)试题_Word版含答案
t SO t SO t S O tSO 保密 ★ 启用前 【考试时间：2013年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |x 2-2x ≤0，x ∈R }，集合B ={x ||x |≤1，x ∈R }，则A ∩B =A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |-1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变5．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是A ．B ．C ．D ．O cl l 0C ·l l 0 O6．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 A ．3 B ．23 C ．43D ．637．在平面直角坐标系xOy 中，⊙M 过原点且与坐标轴交于A (a ，0)，B (0，a )两点，其中a >0．已知直线x+y -2=0截⊙M 的弦长为6，则a = A ．72B ．74C ．72D ．78．已知函数f (x )=6(3)3(7)(7)x a x x a x ---≤⎧⎨>⎩，，，，数列{a n }满足a n =f (n )（n ∈N +），且{a n }是单调递增数列，则实数a的取值范围是 A ．(1，3)B ．(2，3)C ．[)23，D ．9[34，）9．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．1210．用max{a ，b ，c }表示a 、b 、c 中的最大者，若x 、y 、z 均为正数，则max{x 2+y 2，xy +z ，2231x y z}的最小值为 A ．2B. 22C ．32D ．34第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人． 12．直线3x +y -1=0的倾斜角的大小是 . 13．右图表示的程序所输出的结果是.14．我们把离心率之差的绝对值等于1的两条双曲线称为“姊妹双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n -=是“姊妹双曲线”，则nm的值是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：13正视图侧视图俯视图 开始输出s 结束 i =6，s =1 i >4？ s =s ×i i =i -1是 否①函数f 1(x )=kx (k >0，x ∈(0，+∞))是任意三角形的“三角形函数”；②不存在三角形，使得函数2()((0))f x x x =∈+∞，是它的“三角形函数”； ③若定义在(0)+∞，上的周期函数3()f x 的值域也是(0)+∞，，则3()f x 是任意三角形的“三角形函数”；④对锐角△ABC ，它的三边长a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是锐角△ABC 的“三角形函数”． 以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若6()82A f =，AB AC ⋅=12，27a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（Ⅰ）求证：平面A1BD//平面CB1D1；（Ⅱ）求直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值；（Ⅲ）设该正方体棱长为4cm，现将正方体的表面涂成红色，再适当全部分割成棱长为1cm的小正方体，试求两面涂色的小正方体和六面均没涂色的小正方体的各有多少个？（请直接写出结果，不必说明理由）A BC DA1 B1C1 D118．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}(n∈N+)的首项和公比均为常数q．（Ⅰ）若a3、a2、a4依次成等差数列，求q的值；（Ⅱ）若a n>0，数列{b n}的前n项和是S n，b n=lg a n，求使得对任意n∈N*都有S n≤n2恒成立的常数q 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+b-a+3=0，其中a、b为常数，点(a，b)是区域Ω：04 04ab≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．（Ⅰ）当方程无实根且a、b∈N时，试列举出所有的点(a，b)，并求此时概率P1；（Ⅱ）设该方程的两个实根分别为x1、x2，试求x1、x2满足0≤x1≤1≤x2时的概率P2．20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C 的圆心在原点，半径长为2，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅= 成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．（Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）若函数g (x )=2f (x )-b ln x +x 在[1+x ∈∞，）上存在零点，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 0>x 1．绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BBCAD ABDDA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．23π 13．30 14．18或815．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2x =2sin(2x+4π)，∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分（Ⅱ）f (8A)=2sin(4A +4π)=62，即sin(4A +4π)=32，∴ 4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅ =c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．①又cos A =22212722b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6．………………………………………12分 17．（Ⅰ）证明：在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 由A 1D 1 BC ，知四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴ A 1B ∥D 1C ， ∴ A 1B //平面CB 1D 1.同理可证：BD //平面CB 1D 1，∴ 平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.………………………4分 （Ⅱ）解：设正方体的边长为a ，连接BC 1交B 1C 于点 O ，连接A 1O ，在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DC ⊥平面BCC 1B 1，∴ DC ⊥BC 1. 又BC 1⊥B 1C ，∴ BC 1⊥平面A 1B 1CD ．∴A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影为A 1O ．∴ ∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．易知：1222A B a BO a ==，， 在Rt △A 1BO 中，A 1O =22162A B BO a -=，1113cos 2AO BAO A B ∠==， 即直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的余弦值为32． ……………………8分 （Ⅲ）解：两面涂色的小正方形有24个；六面均没有涂色的小正方形有8A B C D A 1 B 1 C 1D 1 O个． ……………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）∵ a 3、a 2、a 4依次成等差数列，∴2a 2=a 3+a 4，即2a 1q =a 1q 2+a 1q 3．由已知a 1=q ≠0，于是上式化简q 2+q -2=0，解得q =1或q =-2．…………4分 （Ⅱ）由题意知：a n =a 11n q -=q n ，由a n >0知q >0． ∴ b n =lg q n =n lg q ．∴ 数列{b n }是首项为lg q ，公差为lg q 的等差数列∴ 2(lg lg )lg ()22n n q n q q n n S ++==．…………………………………………7分∴ 由题知不等式2lg ()2q n n +≤n 2对任意n ∈N *恒成立，即lg q ≤21nn +对任意n ∈N *恒成立． 设2()1n g n n =+，由22()211n g n n n==-++，易知()g n 对任意n ∈N *单调递增，∴ min [()](1)1g n g ==， ∴ lg q ≤[g(n )]min ，即lg q ≤1，解得0<q ≤10，即常数q 的取值范围为0<q ≤10． …………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）当a 、b ∈N 时，所有的点(a ，b ) 共有25个，分别为：(0，0) (0，1) (0，2) (0，3) (0，4) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，0) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，0) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，0) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) ∵ 关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0无实根， ∴ 44(3)0b a ∆=--+<，即a -b -2<0，满足a -b -2<0的点(a ，b )共有19个，∴ P 11925=．…………………………………………6分（Ⅱ）设函数2()23f x x x b a =-+-+，∵ 该方程的二实根x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2， ∴ (1)0f f ≥⎧⎨≤⎩(0)0，， 即 3020a b a b --≤⎧⎨--≥⎩，．由图知：满足0≤x 1≤1≤x 2时的概率P 2 1122113224432⨯⨯-⨯⨯==⨯． ……12分20．解：（Ⅰ）由题意得，22(1)142x y x -+=-，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅ =(OP PA + )۰(OP PB + )=2OP +OP PB ⋅ +PA OP ⋅ +PA PB ⋅ ，由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅ =0，PA OP ⋅=0．∴ OA OB ⋅ =2OP +PA PB ⋅ =2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =2±，a b O 443 2代入椭圆22143x y +=，得y =62±． ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅ =0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ，∴ |OP |=221b k =+，即b 2=2k 2+2． 联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0， ∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k +-， ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k +-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0，又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分21．解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，由ln 10x +>，即1x e >时()0f x '>，所以()f x 在区间1()e+∞，上单调递增， 由ln 10x +<，即10x e <<时()0f x '<，所以()f x 在区间1(0)e，上单调递减， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为1()e +∞，，单调递减区间为1(0)e，．………5分 （Ⅱ）∵ 函数g (x )=2f (x )-b ln x +x 在[1+x ∈∞，）上存在零点，∴ 方程2ln ln 0x x b x x -+=在[1+x ∈∞，）上有实数解． 易知x =1不是方程的实数解，∴ 方程2ln ln 0x x b x x -+=在(1)x ∈+∞，上有实数解， 即方程2ln x b x x=+在错误！链接无效。
四川省绵阳市高中高三数学上学期第二次诊断性考试试题文
绵阳市高中2013级第二次诊断性考试数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线033=--y x 的倾斜角是 (A) 030(B) 060 (C) 0120(D) 01502.若集合}2|{A x y y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A(A) ),0[+∞ (B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞(D) ),(+∞-∞3.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点(A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变4.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第三象限的充要条件是 (A) 1>a(B) 1<a (C) 1->a(D) 1-<a5．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率是(A)45 (B)35 (C) 37 (D)3216．执行右图程序框图，若输入的[]2,1-∈t ，则输出S 属于 (A) []1,0 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,43(C) )2,0[ (D) )2,1[7．过抛物线24x y =的焦点任作一直线l 交抛物线于N M ,两点，O 为坐标原点，则MON ∆的面积的最小值为 (A) 2 (B) 22 (C) 4(D) 88．已知点M 是边长为2的形ABCD 内的一动点，则∙的取值范围是 (A) []4,0 (B) []5,0 (C) []5,1- (D) []4,1-9．已知正项等比数列}n a ｛满足52345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 32 (B) 21010+ (C) 20(D) 2810．已知函数),(21)(2是常数c b c x b x x f ++=和xx x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，则)(x f 在集合M 上的最大值为 (A)27(B) 5 (C) 6(D) 8第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案
绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷l 至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 设集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},则)(N M C U 等于 A. {1, 2} B. {2, 3} C.{2, 4} D. {1, 4}2.抛物线x 2=-4y 的准线方程是A. x=-1B. x=2C.y=1D. y=-2 3. 若复数z 满足z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数z= A. 1+i B. -1-i C. 1-i D. -1+i4. 设数列{a n }是等比数列，则“a 1<a 2广是“数列{a n }是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 平面向量a 与b 的夹角为600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),则|a+2b|=A.C. 4 D . 126. 函数f(x)=7. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为26,则M 处的条件为A. 31≥kB. 15≥kC. k>3lD. k>l58. 己知函数. )|)(|2sin(2)(πθθ<+=x x f ，若函数f(x)在区间)85,6(ππ上单调递增，则0的取值范围是9. )0(122>>=+b a by 与离心率为2的双曲线)0,0(12222>>=+n m ny m x 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010D. 510 10. 已知函数f(x)=ln(e x +a)(e 是自然对数的底数，a 为常数）是实数集R 上的奇函数，若函数f(x)=lnx-f(x)(x 2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点，则实数m 的取值范围是A. )1,1(2ee e + B. )1,0(2ee +C. ),1(2+∞+e eD. )1,(2ee +-∞第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若直线x+(a-1)y=4与直线x=1平行，则实数a 的值是____ 12. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形，俯视图是一个直径为4的圆，则这个几何体的侧 面积是____13.设变量x 、y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数z=2x+y 的最大值是_______15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),)(x f '是函数f(x)的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得f(b)-f(a)= ))((a b f -'ξ,则称ξ为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是27人.(I) 求n 的值;(II)试估计这n 名学生的平均成绩；(III)若从数学成绩（单位：分）在[40,60)的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40, 50)内的概率.已知{a n }是等差数列，a 1=3, Sn 是其前n 项和，在各项均为正数的等比数列{b n }中， b 1=1 且b 2+S 2=1O, S 5 =5b 3+3a 2.(I )求数列{a n }, {b n }的通项公式；18. (本小题满分12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED 丄平面ABCD,ED=1,EF//BD 且EF=BD.(I)求证：BF//平面ACE(II)求证：平面EAC 丄平面BDEF; (III)求几何体ABCDEF 的体积.19. (本小题满分12分）函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y=f(x)的图象向右平移4π个单位后得到函数y=f(x)的 图象.g已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=e x-ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围； (III)设*N n ∈,证明：nn)1(+nn)2(+nn)3(+…+nnn )(<1-e e绵阳市高中2013级第三次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCCBB AABDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．16π13．31415．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）成绩在区间[)9070，的频率是：1-(0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，∴ 27500.54n ==人． ……………………………………………………………3分（Ⅱ）成绩在区间[)8090，的频率是： 1-(0.02+0.016+0.006+0.004+0.03)⨯10=0.24，利用组中值估计这50名学生的数学平均成绩是： 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分（Ⅲ）成绩在区间[)4050，的学生人数是：50×0.04=2人，成绩在区间[)5060，的学生人数是：50×0.06=3人，设成绩在区间[)4050，的学生分别是A 1，A 2，成绩在区间[)5060，的学生分别是B 1，B 2，B 3，从成绩在[)6040，的学生中随机选取2人的所有结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10种情况．至少有1人成绩在[)5040，内的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7种情况．∴ 至少有1人成绩在[)5040，内的概率P =107． ……………………………6分 17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意可得：11211121054553()2b q a d a d b q a d ⋅++=⎧⎪⎨⨯+⨯=++⎪⎩，， 解得q =2或q =517-(舍)，d =2． ∴ 数列{a n }的通项公式是a n =2n +1，数列{b n }的通项公式是12n n b -=． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(321)22n n n S n n ++==+，于是2112n n c S n n ==-+， ∴ 11111111324352n T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111212n n =+--++ 311212n n =--++<32． …………12分 18．解：（Ⅰ）如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，于是DO=OB ．∵ EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴ EF ， ∴ 四边形EFBO 是平行四边形， ∴ BF ∥EO ．ABCD EF O而BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ，∴ BF ∥平面ACE ．…………………………4分 （Ⅱ）∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC ．∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC ，∴ AC ⊥平面BDEF ．又AC ⊂平面EAC，故平面EAC ⊥平面BDEF ． ……………………………8分 （Ⅲ）连结FO ，∵ EF DO ， ∴ 四边形EFOD 是平行四边形． 由ED ⊥平面ABCD 可得ED ⊥DO ， ∴ 四边形EFOD 是矩形． ∵ 平面EAC ⊥平面BDEF ．∴ 点F 到平面ACE 的距离等于就是Rt △EFO 斜边EO 上的高，且高h =EF FO OE ⋅＝． ∴几何体ABCDEF 的体积E ACD F ACE F ABC V V V V ---=++三棱锥三棱锥三棱锥=111111221+221323232⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =2．……………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由图知：2=4+126πππω（），解得ω=2． 再由()sin(2)11212f ππϕ=⋅+=，得2(Z)62k k ππϕπ+=+∈，即2(Z)3k k πϕπ=+∈．由22ππϕ-<<，得3πϕ=．∴ ()sin(2)3f x x π=+．∴ ()sin[2()]sin(2)4436f x x x ππππ-=-+=-，即函数y =g (x )的解析式为g (x )=sin(2)x π-．………………………………6分（Ⅱ）由已知化简得：sin sin sin A B A B +=．∵ 32sin sin sin sin 3a b c R A B C π====(R 为△ABC 的外接圆半径)，∴2R =，∴ sin A =2a R ，sin B =2bR ．∴2222a b a b R R R R+=⋅，即 a b +=． ① 由余弦定理，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ， 即 9=a 2+b 2-ab =(a +b )2-3ab ． ②联立①②可得：2(ab )2-3ab -9=0，解得：ab =3或ab =23-(舍去)，故△ABC 的面积S △ABC=1sin 2ab C =…………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：e=c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，∴b ，解得b =1．再由 a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ， ∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++，由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y x k k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直， ∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分 21．解：（Ⅰ）∵a e x f x -=')(，当a ≤0时0)(>'x f ，得函数f (x )在(-∞，+∞)上是增函数． 当a >0时，若x ∈(ln a ，+∞)，0)(>'x f ，得函数()f x 在(ln a ，+∞)上是增函数； 若x ∈(-∞，ln a )，0)(<'x f ，得函数()f x 在(-∞，ln a )上是减函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(-∞，+∞)；当a >0时，函数f (x ) 的单调递增区间是(ln a ，+∞)，单调递减区间是(-∞，ln a )．…5分 （Ⅱ）由题知：不等式e x -ax >x +x 2对任意[2)x ∈+∞，成立，即不等式2x e x x a x--<对任意[2)x ∈+∞，成立．设2()x e x x g x x --=(x ≥2)，于是22(1)()x x e x g x x --'=．再设2()(1)x h x x e x =--，得()(2)x h x x e '=-．由x ≥2，得()0h x '>，即()h x 在[2)+∞，上单调递增， ∴ h (x )≥h (2)=e 2-4>0，进而2()()0h x g x x'=>， ∴ g (x )在[2)+∞，上单调递增， ∴ 2min[()](2)32e g x g ==-，∴ 232e a <-，即实数a 的取值范围是2(3)2e -∞-，．………………………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a =1时，函数f (x )在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． ∴ f (x )≥f (0)=1，即e x -x ≥1，整理得1+x ≤e x ．令i x n=-(n ∈N*，i =1，2，…，n -1)，则01i n <-≤i ne -，即(1)n i n -≤i e -，∴1()n n n -≤1e -，2()n n n -≤2e -，3()n n n -≤3e -，…，1()n n ≤(1)n e --， 显然()n nn ≤0e ，∴ 1231()()()()()n n n n n n n n n n n n n n ---++++⋅⋅⋅+≤0123(1)n e e e e e -----++++⋅⋅⋅+ 11(1)111n n e e e ee e e -----==<---， 故不等式123()()()+1n n n n n en n n n e +++<-…（）（n ∈N *）成立．……………4分。
四川省绵阳中学2013届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(扫描版)(附答案)
绵阳市高2013级第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CCBAD BAADD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-4 14．2 15．k >-3 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)· (1x )x+ cos2x =2sin(2x+6π)，………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==． 令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ， 即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分 （Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设公比为q ，由已知a 6=2，a 3=41，得5211124a q a q ==，， 两式相除得q 3=8，解得q =2，a 1=116， ∴ a n =1512216n n --⨯=．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）b n =3log2a n =523log 2n -=3n -15，∴ ()()12123153272222n n n b b n n T n n +-+-===-239243228n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当n =4或5时，T n 取得最小值，最小值为-30．……………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C π=． …………………………………………………6分（Ⅱ）∵ △ABC 的面积为3，即1sin 2ab C =ab =4，①又c =2，由（Ⅰ）知，224a b ab +-=， ∴ 2()3416a b ab +=+=，得a +b =4，②由①②得a=b=2． ……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5，于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4，h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分21．解：（Ⅰ）由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1， 由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ，∴ 121n n a t a t +=+（常数）．∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1nn b =．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，. 于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 9=910452⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和， 则S 45=[1+12+21()2+…+81()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8]． 显然 1+12+21()2+…+81()2=9811()1221212-=--， ∵ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+ (6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36． ∴ S 45=8122-+36=38-812．∴ S 50=S 45+(c 46+c 47+c 48+c 49+c 50)=38-812+5×(-1)9×9 =17256-．即数列{c n }的前50项之和为17256-．………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1． 于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）∀x ∈(0，+∞)，f (x )≤g (x )，即ln x -(k +1)x ≤0恒成立，设()ln (1)h x x k x =-+，有11(1)()(1)k xh x k x x-+'=-+=． ①当k +1≤0，即k ≤-1时，()0h x '>，此时(1)ln1(1)h k =-+≥0与()h x ≤0矛盾． ②当k +1>0，即k >-1时，令()h x '=0，解得11x k =+， 101x k ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，，()h x '>0，h (x )为增函数，11x k ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，，()h x '<0，h (x )为减函数， ∴ max 11()()ln 111h x h k k ==-++≤0，即()ln 1k +≥-1，解得k ≥11e-．综合k >-1，知k ≥11e-．∴ 综上所述，k 的取值范围为11e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数， ∴ f (x )≤f (1)=0， ∴ ln x ≤x -1．当n =1时，b 1=ln(1+1)=ln2， 当n ≥2时，有ln(n +1)<n ，∵ ()3ln 1n n b n +=321111(1)1n n n n n n n<=<=---， ∴ 1211111112123131n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1ln 2(1)n=+-<1+ln2．……………………………………………………14分。
四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试--数学(文)
四川省乐山市2013届高三第二次诊断性考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
． 参考公式：如果事件A 、B 互斥， 其中R 表示球的半径． 那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 球的体积公式 如果事件A 、B 相互独立， V 343R π=； 那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）， 其中R 表示球的半径。
球的表面积公式 S=42R π；第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、报名号用0．5毫米的黑色签字填写在答题卡上。
并将条形码粘贴在答题考的指定位置。
2．选择题用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0．5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域。
在草稿纸、试卷上答题无效。
3．考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡分别收回并装袋。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=N ，集合A={l ，2，3，4，5}，B={l ，2，3，6，8），则A (C U B)等于 A ．{l,2,3} B ．{4,5} C ．{6,8} D ．{l,2,3,4,5} 2．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”；B ．命题“∃x ∈R ，使得2x 2－1<0”的否定是：“x ∀∈R ，均有2x 2－l<0”； C ．“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题； D ．命题“若cosx=cosy ，则x=y ”的逆否命题为真命题．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αB ．若α⊥γ，βγ⊥，则α∥βC ．若m//α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n4．已知两点A(-l ，0)，B(l ，3)，向量a=（2m －1，2），若AB⊥a ，则实数m 的值为A ．-1B ．-2C ．1D ．25．如图，在直三棱柱AB C －A 1B 1C 1中，A 1A=AB=2，BC=1，∠ABC=90o，若规定主（正）视方向垂直平面ACC1A 1，则此三棱柱的左（侧）视图的面积为A B ．C ．4 D ．26．设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN R 的概率为 A ．23B ．12C ．14D ．357．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A>0，)2πϕ<的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向右平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位8．铁矿石A 和B b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO 2排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为A ．12百万元B ．13百万元C ．14百万元D ．15百万元9．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 恰为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为A ．1BC ．2D ．210．已知定义在R 上的函数y=f （x ）满足f （x+1）=－f （x ），当－1＜x ≤1时，f （x ）=x 3，若函数g （x ）=f （x ）－1og a |x|只有6个零点，则 A ．a=5若a=15B ．[)1(0,)5,5a ∈+∞C ．11[,][5,7]75a ∈ D ．[)11[,]5,775a ∈第Ⅱ卷（非选择题 共100分）连意事项： 1．考生须用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共11小题，共100分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．复数(1i i-)2= 。
四川省绵阳市2013届高三数学第一次诊断性考试试题 文(含解析)新人教A版
2013年四川省绵阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•绵阳一模）设集合A={2，3，4}，B={0，1，2}，则A∩B等于（）A．{0} B．{0，1，2，3，4} C．{2} D．∅考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：集合A与集合B都是含有三个元素的集合，且有一个公共元素2，所以A∩B可求．解答：解：因为集合A={2，3，4}，B={0，1，2}，所以A∩B={2}．故选C．点评：本题考查了交集及其运算，两个集合的交集是有两个集合的公共元素组成的集合，是基础题．2．（5分）（2013•绵阳一模）命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，则￢p是（）A．∃x∈R，cos≥1B．∀x∈R，cos＜1 C．∃x∈R，cosx＜1 D．∀x∈R，cosx＞1 考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：利用全称命题：∀x∈M，p（x）；的否定是特称命题∃x∈M，p（x）直接得到结果．解答：解：因为全称命题：∀x∈M，p（x）；的否定是特称命题∃x∈M，p（x）．所以命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，则￢p是∃x∈R，cosx＜1．故选C．点评：本题考查命题的否定，全称命题：∀x∈M，p（x）；与特称命题∃x∈M，p（x）互为命题的否定．3．（5分）（2013•绵阳一模）已知数列{a n}为等差数列，且a6+a8=，则tan（a5+a9）的值为（）A．B．﹣C．±D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得，a5+a9=a6+a8=，然后求解正切函数值即可解答：解：由等差数列的性质可得，a5+a9=a6+a8=，∴tan（a5+a9）=tan=故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质及特殊角的正切函数值的求解，属于基础试题4．（5分）（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．++=0 B．﹣+=0 C．+﹣=0 D．﹣﹣=0考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项．解答：解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．故选项为A．点评：考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则．5．（5分）（2013•绵阳一模）己知f（x）=xsinx，则f′（π）=（）A．O B．﹣1 C．πD．﹣π考点：导数的乘法与除法法则．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数f（x）求导，进而可求出f′（π）的值．解答：解：∵f′（x）=sinx+xcosx，∴f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故选D．点评：本题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．6．（5分）（2013•绵阳一模）函数f（x）=e x﹣x﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣e﹣2＞0，所以零点在区间（1，2）上，故选：B．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7．（5分）（2013•绵阳一模）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用幂函数的性质比较两个正数a，b的大小，然后推出a，b，c的大小即可．解答：解：因为y=是增函数，所以所以c＜a＜b故选B点评：本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查计算推理能力，是基础题．8．（5分）（2013•绵阳一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜），其导数f′（x）的部分图象如下图所示，则函数f（x）的解析式为：（）A ．f （x ）=sin （2x+） B ．f （x ）=2in （2x+） C ．f （x ）=sin （2x ﹣） D ．f （x ）=2in （2x ﹣）考点： 由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题． 分析： 通过导函数的图象求出Aω=2，T ，利用周期公式求出ω，通过函数图象经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式． 解答：解：由函数的图象可得Aω=2，T=4×=π，所以ω=2，A=1， 由导函数的图象，可知函数的图象经过（﹣），所以0=sin （﹣φ），所以φ=， 所以函数的解析式为：f （x ）=sin （2x+）．故选A ． 点评： 本题是中档题，考查三角函数以及导函数的图象的应用，考查学生的视图能力、分析问题解决问题的能力，计算能力． 9．（5分）（2013•绵阳一模）已知定义在R 上的奇函数f （x ）是（﹣∞，0]上的增函数，且f （1）=2，f （﹣2）=﹣4，设P={x|f （x+t ）﹣4＜0}，Q={x|f （x ）＜﹣2}．若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ ）（ ） A ． t ≤﹣1 B ． t ＞﹣1 C ． t ≥3 D ． t ＞3 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 根据定义在R 上的奇函数f （x ）是（﹣∞，0]上的增函数，且f （1）=2，f （﹣2）=﹣4，可以画出f （x ）的图象，然后再求出P 和Q 集合，根据“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件可得P ⊆Q ，从而求出t 的范围；解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）是（﹣∞，0]上的增函数，且f（1）=2，f（﹣2）=﹣4，可得f（﹣1）=﹣2，f（2）=4，画出f（x）的图象：∵P={x|f（x+t）﹣4＜0}，Q={x|f（x）＜﹣2}，解得P={x|x＜2﹣t}，Q={x|x＜﹣1}，∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，∴P⊆Q，∴2﹣t＜﹣1，解得t＞3，当t=3，可得P=Q，不满足“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，∴t＞3，故选D；点评：此题主要考查奇函数的定义及其应用，考查的知识点比较全面，利用了数形结合的方法，是一道中档题；10．（5分）（2009•四川）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元考点：简单线性规划的应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解答：解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．11．（5分）（2013•绵阳一模）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0，则满足f（x2﹣2x）＜f（x）的X的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣3，1）考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：根据导数符号可判断函数的单调性，再利用条件偶函数可把f（x2﹣2x）＜f（x）转化为x2﹣2x与x间不等式，从而得到x的取值范围．解答：解：因为函数f（x）为偶函数，所以f（x2﹣2x）＜f（x）等价于f（|x2﹣2x|）＜f （|x|）．又函数f（x）在区间[0，+∞）上满足f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．所以|x2﹣2x|＜|x|，两边平方并化简得x2（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3．故选A．点评：本题为函数奇偶性、单调性及导数的综合题，考查了相关的基础知识及分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是去掉符号“f”，转化为自变量间的不等关系．12．（5分）（2013•绵阳一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f（1﹣x）=1﹣f（x），2f（x）=f（4x），且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（）等于（）A．B．C．D．考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f（），然后根据条件求出f，，最后根据函数的单调性，以及两边夹的性质可求出所求．解答：解：∵f（1）=1，f（1﹣x）=1﹣f（x）令x=得f（）+f（）=1即f（）=∵2f（x）=f（4x）∴f（x）=f（4x）在f（x）=f（4x）中，令x=可得f（）==在f（1﹣x）+f（x）=1中，令x=可得f（）+f（）=1即f（）=同理可求f（）=，f（）=1﹣f（）==，f（）=1﹣f（）==，f（）=1﹣f（）===，f（）=1﹣=∵当0≤x1≤x2≤1时，f（x1）≤f（x2），∴==∴f=故选B点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2013•绵阳一模）已知∥，则x= ﹣4 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用两向量共线坐标形式的充要条件公式：坐标交叉相乘相等．解答：解：∵，∴2×（﹣6）=3x∴x=﹣4故答案为﹣4点评：考查两向量共线坐标形式的充要条件公式．14．（4分）（2013•绵阳一模）已知偶函数f（x）=（n∈Z）在（0，+∞）上是增函数，则n= 2 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：结合幂函数在（0，+∞）上的单调性与指数的关系，我们可以求出n的取值范围为1，2，3，结合幂函数的奇偶性讨论后，可得答案．解答：解：若幂函数f（x）=（n∈Z）在（0，+∞）上是增函数，则＞0，即4n﹣n2＞0，又∵n∈Z∴n∈{1，2，3}又∵n=1，或n=3时=，此时幂函数f（x）为非奇非偶函数n=2时=2，幂函数f（x）=x2为偶函数满足要求故答案为：2点评：本题考查的知识点是幂函数的奇偶性和单调性及幂函数解析式的求法，幂函数是新课标的新增内容，本题是求幂函数解析式的经典例题，从单调性入手进行解答是解答本题的关键．15．（4分）（2013•绵阳一模）已知{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（﹣3，+∞）．考点：数列与函数的综合．专计算题．题：分析：由对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，知a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ，由{a n}是递增数列，知a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，由此能求出实数λ的取值范围．解答：解：∵对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ，∵{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，又a n+1﹣a n=（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn=2n+1+λ∴当n=1时，a n+1﹣a n最小，∴a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，∴λ＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是基础题．16．（4分）（2013•绵阳一模）设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．给出下列命题：①所有奇数都属于M．②若偶数2k属于M，则k∈M．③若a∈M，b∈M，则ab∈M．④把所有不属于M的正整数从小到大依次排成一个数列，则它的前n项和S n∈M．其中正确命题的序号是①③．（写出所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．分析：根据已知中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们分别推证①③正确，举反例推翻②④可得答案．解答：解：∵所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．设奇数2k+1 （k∈Z）则：2k+1=（k+1）2﹣k2，故①所有奇数都属于M正确；由12=42﹣22得，12∈M，但6∉M，故②若偶数2k属于M，则k∈M错误；∵a∈M，b∈M，设a=m2﹣n2，b=p2﹣q2，则ab=（m2﹣n2）（p2﹣q2）=（mp）2+（nq）2﹣（mq）2﹣（pn）2=（mp+nq）2﹣（mq+np）2∈M，故③正确；当n=1时，S n即为第一个不属于M的正整数，此时S n∉M，故④错误；故答案为：①③点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握集合M的元素的特征是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2013•绵阳一模）设向量=（cos2x，1），=（1，sin2x），x∈R，函数f （x）=•．（I ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，利用两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数f（x）的最小正周期及对称轴方程．（Ⅱ）通过x的范围求出2x+的范围，利用正弦函数的值域，求解函数的值域即可．解答：解：（Ⅰ）f （x）=•=（cos2x，1）•（1，sin2x）=sin2x+cos2x=2 sin（2x+），…（6分）∴最小正周期T=，令2x+=k，k∈Z，解得x=，k∈Z，即f （x）的对称轴方程为x=，k∈Z．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，即0≤x≤，可得≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f （x）取得最大值f （）=2；当2x+=，即x=时，f （x）取得最小值f （）=﹣1．即f （x）的值域为[﹣1，2]．…（12分）点评：本题以向量为依托，考查三角函数的两角和的正弦函数的应用，函数的周期，值域的求法，考查计算能力．18．（12分）（2013•绵阳一模）已知数列{a n}是等比数列且a3=，a6=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{a n}满足b n=3log2a n，且数列{b n}的前“项和为T n，问当n为何值时，T n取最小值，并求出该最小值．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由已知中数列{a n}是等比数列且a3=，a6=2．求出数列的公比，易得数列的通项（II）根据（I）及b n=3log2a n，可得数列{b n}的通项公式，进而结合二次函数的性质，及n∈N+，可求出当n为何值时，T n取最小值．解答：解：（Ⅰ）设公比为q，由已知a6=2，a3=，得a1q5=2，a1q2=，两式相除得q3=8，解得q=2，a1=，∴a n=×2n﹣1=2n﹣5（Ⅱ）b n=3log2a n=3log2（2n﹣5）=3n﹣15，∴T n=，又∵n∈N+当n=4或5时，T n取得最小值，最小值为﹣30点评：本题考查的知识点是数列求和，等比数列的通项公式，其中分别求出数列{a n}和{b n}的通项公式是解答的关键．19．（12分）（2013•绵阳一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若asinA=（a ﹣b）sinB+csinC．（I ）求角C的值；（II）若△ABC的面积为，求a，b的值．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）把已知结合正弦定理整理可得a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理CosC=可求cosC，结合C 的范围可求C（Ⅱ）由三角形的面积公式可得，结合c=2，及由（Ⅰ）a2+b2﹣4=ab，可求a+b，联立方程可求a，b解答：解：（Ⅰ）∵asinA=（a﹣b）sinB+csinC，由正弦定理，得a2=（a﹣b）b+c2，即a2+b2﹣c2=ab．①由余弦定理得CosC==，结合0＜C＜π，得C=．…（6分）（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即，化简得ab=4，①又c=2，由（Ⅰ）知，a2+b2﹣4=ab，∴（a+b）2=3ab+4=16，得a+b=4，②由①②得a=b=2．…（12分）点评：本题主要考查了三角形的正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于知识的综合应用20．（12分）（2013•绵阳一模）己知二次函数y=f（x）的图象过点（1，﹣4），且不等式f （x）＜0的解集是（O，5）．（I ）求函数f（x）的解析式；（II）设g（x）=x3﹣（4k﹣10）x+5，若函数h（x）=2f（x）+g（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，求y=h（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值..考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数零点，方程根与不等式解集端点之间的关系，结合二次函数y=f（x）的图象过点（1，﹣4），可求出函数f（x）的解析式；（II）由（I）可求出函数h（x）的解析式（含参数k），进而由函数极大值点为﹣2，求出k值，结合导数法求最值的步骤，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由已知y=f （x）是二次函数，且f （x）＜0的解集是（0，5），可得f （x）=0的两根为0，5，于是设二次函数f （x）=ax（x﹣5），代入点（1，﹣4），得﹣4=a×1×（1﹣5），解得a=1，∴f （x）=x（x﹣5）．…（4分）（Ⅱ）h（x）=2f （x）+g（x）=2x（x﹣5）+x3﹣（4k﹣10）x+5=x3+2x2﹣4kx+5，于是h′（x）=3x2+4x﹣4k，∵h（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，∴x=﹣2是h（x）的极大值点，∴h′（2）=3×（﹣2）2+4×（﹣2）﹣4k=0，解得k=1．…（6分）∴h（x）=x3+2x2﹣4x+5，进而得h′（x）=3x2+4x﹣4．令h′（x）=3x2+4x﹣4=0，得x=﹣2，或x=．由下表：x （﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，）（，1）h′（x） + 0 ﹣0 +h（x）↗极大↘极小↗可知：h（﹣2）=（﹣2）3+2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）+5=13，h（1）=13+2×12﹣4×1+5=4，h（﹣3）=（﹣3）3+2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）+5=8，h（）=（）3+2×（）2﹣4×+5=，∴h（x）的最大值为13，最小值为．…（12分）点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数零点，方程根与不等式解集端点的关系，导数法求函数的极值与最值，其中求出函数h（x）的解析式是解答的关键．21．（12分）（2013•绵阳一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且（t﹣1）S n=2ta n﹣t﹣1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．（I）求证：数列{a n}为等比数列；（II）若数列{a n}的公比q=f（t），数列{b n}满足b1=a1，bn+1=f（b n），求数列{}的通项公式；（III）设t=，对（II）中的数列{a n}，在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入k个（k∈N*）后，得到一个新的数列：a1，，a2，，，a3，，，，a4…，记此数列为{c n}．求数列{c n}的前50项之和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列；（Ⅱ）确定数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{}的通项公式；（III）确定数列{c n}为：1，﹣1，，2，2，，﹣3，﹣3，﹣3，，…，再分组求和，即可求得数列{c n}的前50项之和．解答：（Ⅰ）证明：由题设知（t﹣1）S1=2ta1﹣t﹣1，解得a1=1，由（t﹣1）S n=2ta n﹣t﹣1，得（t﹣1）S n+1=2ta n+1﹣t﹣1，两式相减得（t﹣1）a n+1=2ta n+1﹣2ta n，∴（常数）．∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．…（4分）（Ⅱ）解：∵q=f （t）=，b1=a1=1，b n+1= f （b n）=，∴=+1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴．…（8分）（III）解：当t=时，由（I）知a n=，于是数列{c n}为：1，﹣1，，2，2，，﹣3，﹣3，﹣3，，…设数列{a n}的第k项是数列{c n}的第m k项，即a k=，当k≥2时，m k=k+[1+2+3+…+（k﹣1）]=，∴m9=﹣45．设S n表示数列{c n}的前n项和，则S45=[1+++…+]+[﹣1+（﹣1）2×2×2+（﹣1）3×3×3+…+（﹣1）8×8×8]．∵1+++…+==2﹣，﹣1+（﹣1）2×2×2+（﹣1）3×3×3+…+（﹣1）8×8×8=﹣1+22﹣32+42﹣52+62﹣72+82 =（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+（6+5）（6﹣5）+（8+7）（8﹣7）=3+7+11+15=36．∴S45=2﹣+36=38﹣．∴S50=S45+（c46+c47+c48+c49+c50）=38﹣+5×（﹣1）9×9=﹣7．即数列{c n}的前50项之和为﹣7．…（12分）点评：本题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（14分）（2013•绵阳一模）已知函数f（x）=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣．（I）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；（II）设g（x）=kx+1，对∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（III）设b n=，证明：b1+b2+…+b n＜1+ln2（n∈N*，n≥2）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣，可确定a的值，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）∀x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx﹣（k+1）x≤0恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣（k+1）x，利用h（x）max≤0，即可求得k的取值范围；（Ⅲ）先证明当n≥2时，有ln（n+1）＜n，再利用放缩法，裂项法，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由已知：（x＞0），∵函数f（x）=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣．∴，∴a=1．∴，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，∴f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（5分）（Ⅱ）解：∀x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx﹣（k+1）x≤0恒成立，设h（x）=lnx﹣（k+1）x，有．①当k+1≤0，即k≤﹣1时，h′（x）＞0，此时h（1）=ln1﹣（k+1）≥0与h（x）≤0矛盾．②当k+1＞0，即k＞﹣1时，令h′（x）=0，解得，∴，h′（x）＞0，h（x）为增函数，，h′（x）＜0，h（x）为减函数，∴h（x）max=h（）=ln﹣1≤0，即ln（k+1）≥﹣1，解得k≥．综合k＞﹣1，知k≥．∴综上所述，k的取值范围为[，+∞）．…（10分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴f （x）≤f （1）=0，∴lnx≤x﹣1．当n=1时，b1=ln（1+1）=ln2，当n≥2时，有ln（n+1）＜n，∵b n=＜=＜=，∴b1+b2+…+b n＜b1+（）+…+（）=ln2+（1﹣）＜1+ln2．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。