课题4：任意角的三角函数(2)
任意角的三角函数 (2)
《任意角的三角函数》教学反思任意角的三角函数是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础。
因此本节课的重点放在了任意角的三角函数的理解上。
在本节课的开头以学生所熟悉的直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐步深入，引出任意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化任意角三角函数值的计算。
引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧知识的内在联系。
通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。
并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。
在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。
通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。
例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。
例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。
四个立体的设置让学生更好地掌握任意角的三角函数，为以后的学习打下基础。
这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．但需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程中所蕴涵的数学思想方法．通过以上反思:认识到课堂教学是一项实践性很强的工作，除了认真的课前准备外，对教学过程中出现的“突发事件”，随机应变十分重要．教师需要关注学生的学习行为，关注学生的认识过程，随时修改自己的教学设计，调整教学内容、教学要求，改变策略，选择恰当的方法实施教学，以达到最佳教学效果。
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谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
(1) ; 3
(2) 5 ; 6
(3) 2 ;
3
(4) 13 .
6
例4 若 0 ，s 证 in c 明 o s 1 . 2
例5 比较大小：
(1) sin2与sin4(2) cos2与cos4
3
5
3
5
(3) tan2与tan4
3
5
例6 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．
(1) sin x 1 ; (2) sin x 1 ; (3) cos x 1 .
sin2与sin4
3
5
tan2与tan4
3
5
5。利用三角函数线求x的范围：
(1)sin x 2 2
(2)cosx 2 2
思考：若α∈（0，2π），sin α＜cos α，求α的范围．
课堂小结：
1. 三角函数线的定义； 2. 会画任意角的三角函数线； 3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.
任意角的三角函数2ppt课件
怎样思想，就有怎样的生活
高中数学 必修4
2.1 任意角的三角函数（2）
2.三角函数的定义域：
三角函数
s in
cos
tan
定义域
Ｒ Ｒ
{|k,kZ}
2
3.正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号：
y
1.2.1任意角的三角函数(2)
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
《数学》教案：任意角的三角函数
（1） ；（2） ；
（3） ．
提问
巡视
指导
思考
动手
解答
交流
通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况
归纳总结
1．任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．各象限角的三角函数值的正负号。
3．界限角的三角函数值。
回顾
总结
思考
记忆
通过归纳总结，回顾所学知识
课后练习
完成教材中习题4.2
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
通过表格讲述各象限角三角函数的正负号
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
讲解界限角的三角函数值
通过例题加深学生理解
理解应用
练习4.2.1
1．已知点 为角 的终边上的一点，且 ，那么 ______．
2．已知点 为角 的终边上的一点，则 ______．
表4-4
所在象限
点P的坐标
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例2判断下列各三角函数值的正负号：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
解（1）因为 角是第三象限的角，所以 ．
（2）因为 角是第四象限的角，所以 ．
（3）因为 ， 角是第一象限的角，所以 角也是第一象限的角， ．
（4）因为 ， 角是第四象限的角，所以 角也是第四象限的角， ．
第4章三角函数
课题4.2任意角的三角函数
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．掌握三角函数的正负号，了解用计算器进行角度与三角函数值转换。
【教学重点】
任意角的正弦、余弦和正切函数及三角函数的正负号。
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(2)
1.2.1 任意角的三角函数（2）一、课题：任意角的三角函数（2）二、教学目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
三、教学重点：正弦、余弦、正切线的概念及利用。
四、教学过程：（一）复习：（提问）1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角α的终边上一点(3,)P m-，且2sin4mα=，求cos,sinαα的值。
解：由题设知3x=-，y m=，所以2222||(3)r OP m==-+，得23r m=+，从而2sin4mα=23m mr m==+，解得0m=或216625m m=+⇒=±．当0m=时，3,3r x==-，cos1,tan0x yr xαα==-==；当5m=时，22,3r x==-，615cos,tan43x yr xαα==-==-；当5m=-时，22,3r x==-，615cos,tan43x yr xαα==-==．2．三角函数的符号：练习2：已知sin0α<且tan0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan,sin cos222ααα的符号。
3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）9cos4π，（2）11tan()6π-，（3）9sin2π．（二）新课讲解：当角的终边上一点(,)P x y的坐标满足221x y+=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)x y，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T.（Ⅱ）（Ⅰ）由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====，tany MPATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
人教版数学必修四1.2.1《任意角的三角函数(2)》教案设计
1.2.1任意角的三角函数（2）教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。
三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。
而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。
因此本节内容具有承上启下的作用。
任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法．学生学情分析初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。
学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。
本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。
三角函数是 “从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。
教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要 “把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。
一、教学目标知识点：有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线.能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用.教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣.自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况.考试点：利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.易错易混点：三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别.拓展点：利用三角函数线证明有关不等式.重点: 三角函数线的概念及应用.难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用．二 教学过程引入新课前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl =α，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径.特别地, 当1=r时，l =α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.【探究新知】探究1：有向线段的概念问题1：如果角α是第一象限角，它的三个三角函数值用定义如何来求？问题2：在求解中，αsin ，αcos 的值都是正数，你能分别用一条线段表示正、余弦值吗？问题3：如果角α的终边在其他象限内，αsin ，αcos 的值也与这两条线段的长度相等吗？若不相等，有什么关系？自己画出第四象限角并研究结论：1.规定了始点和终点，带有方向的线段叫做有向线段.2.规定：在直角坐标系内，线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 探究2：正弦线、余弦线问题4：探究1中，哪条有向线段可以表示正弦值和余弦值？问题5：若角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？探究3：正切线问题6：如果角α是第一象限角，其终边与单位圆的交点为),y x P （，则x y =αtan ，能否比照正弦线、余弦线的得到，怎样用一个实数表示正切值？ 提示：利用已知，探究未知,加深学生对正切线的理解. 令xy =αtan 中的1=x .那么1y tan '==x y α中的'y 的值怎么用图象表示？在角α的终边上的点),1'y P （怎么找到？问题7：如果角α为第二、三象限角时，其终边与直线1=x 没有交点，若记终边的反向延长线与直线1=x 的交点为T ，)01(，A ，那么AT =αtan 还成立吗？问题8：若角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？探究4：从三角函数线得出的结论（由学生自由发挥）教师给出几何画板的动态图四、【运用新知】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）65π ； （2）π45 ； （3）3π-. 例2. 利用三角函数线，求角α的取值集合 （1）1sin 2α=（2）1cos 2α= （3）tan 1α=- 【设计意图】利用三角函数线的逆向应用，让学生在理解的基础上灵活应用三角函数线.变式练习：求适合下列条件的角的集合(1)1sin2α≥(2)tan1α<-五回顾总结：如何画一个角的三角函数线？【设计意图】总结知识点，加深对三角函数线的理解，突破重难点.第一步：作出角α的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点)01(，A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线的交点设为T，得角α的正切线AT.要注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点)01(，.教学反思本节课通过研究三角函数线的变化过程，让学生充分理解了三角函数的变化规律，为以后三角函数的性质学习打下了基础。
任意角的三角函数教案(2)
函数
定义域
值域
3．例题分析
例1已知角 的终边经过点 ，求 的三个函数制值。
解：因为 ，所以 ，于是
； ；
例2已知角 的终边过点 ，求 的三个三角函数值。解：因为过点 ，所以 ，
当 ； ； ；
当 ； ； ．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
任意角的角的三角函数的定义；
2.已知角 终边上一点，会求角 的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域
重点难点
根据定义求三角函数值
根据定义求三角函数值
教学过程
（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在 中，设 对边为 ， 对边为 ， 对边为 ，锐角 的正弦、余弦、正切依次为 ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
（二）新课讲解：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ，它与原点的距离为 ，那么
（1）比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ；
（2）比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ；
（3）比值 叫做 的正切，记作 ，即 ；
说明：
① 的始边与 轴的非负半轴重合， 的终边没有表明 一定是正角或负角，以及 的大小，只表明与 的终边相同的角所在的位置；
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
课外作业
已知点 ，在角 的终边上，求 、 、 的值。
教学反思
②根据相似三角形的知识，对于确定的角 ，三个比值不以点 在 的终边上的位置的改变而改变大小；[
③当 时， 的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标 都等于 ，所以 无意义
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例 2．比较下列各组数的大小 (1)sin1 和 sin 3
4
(2)cos 7
和
cos 5
7
例 3．已知 sin
1
，求角 的集合 .
2
2、根据单位圆中 的正弦线，你能 发现正弦函数值 有怎样的变化规 律。
练一练：（ 1） cos
3 ； （ 3） sin
3
22Βιβλιοθήκη 学习小结 1.会用三角函数线表示任意角三角函数的值； 2.会利用三角函数线比较三角函数值的大小 .
课题 4：任意角的三角函数 (2)
学习目标 重点与难点
1.会用三角函数线表示任意角三角函数的值； 2.会利用三角函数线比较三角函数值的大小 . 重点：会用三角函数线表示任意角三角函数的值 难点：会用三角函数线表示任意角三角函数的值
自主学习
1．单位圆： ___________________________________________________ 2．有向线段 :___________________________________________________ 3．有向线段的数量： ___________________________________________
（ 1） sin150 0 与 sin 750 （ 3） tan 2500 与 tan 4350
（2） cos( 200 ) 与 cos7950 （ 4） sin1155 0 与 sin( 16540 )
课后作业 一、 认真研读课本，掌握基本概念和基本方法 . 二、课本习题
____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ___________________________________________________________ 。 4．三角函数线的定义：
1．若角 (0
成功体验 2 ) 的正弦与余弦线的长度相等且符号相同，那么角
α 的值为 _______．
2．利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的集合。
1
⑴ cos x
: 2
1
；⑵ cos x :
；
2
3．在同一个直角坐标系内作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： ⑴5 4 ⑵7 6
⑶ 3
4. 比较大小：
tan
我们就分别称有向线段 ____________________________ 为正弦线、余弦
线、正切线 , 统称为三角函数线。 例题精选
例 1．作出下列各角的三角函数线 : （ 1） 11 6
（2） 2
3
思考： 1、若 是 锐角（单位为弧 度），试利用单位 圆及三角函数 线，比较 ，
sin ,tan 之 间 的大小关系。
设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆
相交与点 P (x, y) ， y
P
A
Mo
x
T
（Ⅱ）
y T
y
T
P
A
oM
x
（Ⅰ）
y
思考与 回顾
M
A
o
x
P
（Ⅲ）
MA
o
x
PT
（Ⅳ）
由四 个图看出： 当角 的 终边不 在坐 标轴上时 ，有向线段
OM x, MP y ， 于是有
sin cos