新教材人教A版选择性必修第一册 3.1.2.2 椭圆方程及性质的应用 课件(49张)
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程
解:由已知,两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设有|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,
∴|MO1|+|MO2|=10(10>|O1O2|),
∴M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
答案:C
二、椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
x2
a2
y2
a2
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
焦距
a,b,c 的关系
|F1F2|=2c
c2=a2-b2
+
y2
=1(a>b>0)
b2
+
x2
=1(a>b>0)
b2
F1(0,-c),F2(0,c)
2.已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程
第三章
3.1
3.1.1 椭圆及其标准方程
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
一、椭圆的定义
1.椭圆的定义
焦点
平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点
的轨迹叫做椭圆
两个定点叫做椭圆的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距
|PF1|·|PF2|的值,最后利用三角形的面积公式求出△1 2 .
解:由椭圆方程知,a =25,b
【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
人教A版数学选择性必修第一册 第三章章末总结(课件PPT)
解得 x2＝2c2－c2b2a2＝3c2－c2a2a2.
又 x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝ac∈
33，
2
2
.
第14页
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专题四 直线与圆锥曲线的位置关系 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基 本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲线位置关系中，利用判断法进行推断． [典例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点1， 22，且焦距为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过点 P(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
第4页
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2．圆锥曲线的几何性质 (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定 位、后定量”． 3．圆锥曲线的离心率 椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点， 下面就离心率的求法做一个简单的总结． (1)定义法； (2)几何法； (3)寻求齐次方程求离心率； (4)借助不等式求离心率的取值范围．
斜
率
k
的取值范围为
－ 22， 22.
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[练习 4](2020·新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点 M(2,3)，点 A 为其 左顶点，且 AM 的斜率为12.
(1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．
椭圆及其标准方程 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2)
.
1 cos
∴SPF1F2
1 mnsin
2
b2 sin
1 cos
b2
tan
.
2
法2：由椭圆的焦点三角形面积公式，可得
∴S F1 PF2
b2 tan ∠F1PF2 2
3 tan 30 3 3 3. 3
y
F1
O
P
F2
x
【练习】1、已知
F1,F2
是椭圆 x2 100
y2 64
1 的两个焦点，P是椭圆上一点，
y
M (x,y)
如图， 建立平面直角坐标系,则 F1(c, 0), F2(c, 0).
由定义知：MF1 MF2 2a， 即 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
•
F1
O
•
F2 x
化简整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ).
上式两边同除以a 2 (a 2
b2 tan ∠F1PF2 2
,可得b2 tan 45
9,∴b
3.
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为 kAM
y x1
(x
1).
直线BM的斜率为 kAM
y x1
(x
1).
由 kAM 2, 得 kBM
y 2 y ( x 1, y 0), x1 x1
化简得x 3 ( y 0).
因此,点M的轨迹是直线x 3,去掉点(3, 0).
y
(4)mx 2 ny2 1(m 0, n 0, m n)
【及时训练】
(0,±2)
4 A
A
B
D
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2, 0),(2, 0), 并且经过点( 5 , 3),求它的标 22
椭圆的标准方程及性质的应用新教材选择性必修人教版选择性必修第一册
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.类比点与圆的位置关系，点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有怎样的位置关系？知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.1.(1)点P (2,1)与椭圆x 24＋y 29＝1的位置关系是________． (2)若点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________． (1)点P 在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P (2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？知识点2 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． (2)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b ,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (3)直线y ＝k (x －a )(k ≠0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．( )[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)× 因为P (b ,0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(3)√ 直线y ＝k (x －a )(k ≠0)过点(a ,0)且斜率存在，所以直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．类型1 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线与椭圆位置关系的判断方法[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．[解] 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.类型2 弦长和中点弦问题【例2】 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵坐标)之和可求，由此思考解决问题的方法.[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．本例中把条件改为“点M (2,1)是直线x ＋2y －4＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由x 21a 2＋y 21b 2＝1和x 22a 2＋y 22b 2＝1，得4(x 1－x 2)a 2＝－2(y 1－y 2)b 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b 2a 2.又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴b 2a 2＝14. 所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32.2．把本例条件中“使弦被M 点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P 的轨迹方程．[解] 设弦的中点为P (x ，y )，两端点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1.∴2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)4，从而k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 4y .又k l ＝k PM ＝y －1x －2，∴－x 4y ＝y －1x －2.整理得x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.故轨迹方程为x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．[跟进训练]2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] 因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.法一：解方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432 ＝1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0消去y 得3x 2－5x ＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB ) ＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.类型3 直线与椭圆的最短距离问题【例3】 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， 由Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 得m 2＝16，∴m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4即3x －2y －8＝0距l 最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y ＝32x －4与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为 d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 27＝1，y ＝32x －4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－74，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.[跟进训练]3．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.类型4 与椭圆有关的综合问题【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．[解] (1)由题意可得M (0，b )，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a ＝2，则椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0， 即－3<m <3，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，可得AB 中点横坐标为2m3， |AB |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·16m 29－8m 2－83＝433－m 2，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12|AB |＝2|m |3， 即233－m 2＝2|m |3，解得m ＝±62∈(－3，3)，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．[跟进训练]4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2.由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m ,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°， 则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2. 等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， 令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0， 化简得，8(m －1)2k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相交或相切A [把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离．]3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12D [由可知a ＝5，b ＝3，c ＝52－32＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.]4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是________． 2b 2a [最短弦是过焦点F (c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b 2a .]回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋12－4y1y2.k2·(y1＋y2)(3)如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．。
3_1_2 椭圆的简单几何性质2 课件——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
所以直线的方程为 = 2 + 1或 = − 2 + 1.
=−
1
.
2 +2
6 中点弦问题
2
例8.已知椭圆
4
+
2
2
= 1的弦的中点P坐标为(1,1)，求直线的方程.
法 1(方程组法)：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y－1＝k(x－1)，
弦的两端点为 A(x1，y1 )、B(x2，y2 )，
y－1＝kx－1，
由 x2 y2
消去 y 得：(2k2 ＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k 2－2k－1)＝0，
＋ ＝1，
4 2
4kk－1
∴x1＋x2 ＝
，
2
2k ＋1
4kk－1
1
又∵x1＋x2 ＝2，∴
＝2，得 k＝－ ．
2
2k2＋1
1
故弦所在直线方程为 y－1＝－ (x－1)，即 x＋2y－3＝0．
2
+ 2 = 1.
故设直线的方程为 = + 1，联立椭圆方程，化简，
得( 2 + 2) 2 + 2 − 1 = 0.
= 1( > > 0) ，
5 弦长问题
练2.已知椭圆有两个顶点(−1,0)，(1,0),过其焦点(0,1)的直线与椭圆交于，
两点，若|| =
4 2
②-①可得
1 −��2
∴
1 −2
=
x1 ＋x2x 1－x2 y1＋y2y1－y2
＋
＝0，
4
2
1 +2
−
2(1 +2 )
=
1
− ，即
3-1-1 椭圆及其标准方程 课件22张-人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册
F1
O
x
F2
x2 y2 a2 b2 1(a b 0).
y2 a2
x2 b2
1
新知
椭圆的标准方程
y
y
F1 O
F2
x
F1
O
x
F2
x2
y2
a2 b2 1
y2
x2
a2 b2 1
注意：1.方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
2.在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；a2=b2+c2
3.焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
10 6
思考：你还能用其他 方法求它的标准方程 吗？试比较不同方法 的特点。
例题
例1. 已知椭圆的两焦点为F1(2，0）、F2(-2，0)，并且椭圆过
点 P(5 , 3) ,求椭圆的标准方程。
22
解：因为椭圆焦点在x轴上，可设其方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b0)Βιβλιοθήκη 由椭圆得定义可知c=2所以b2=a2-4
平方得 x + c 2 + y2 = 4a2 - 4a x - c 2 + y2 x - c 2 + y2
整理得a2 - cx = a x - c 2 + y2
平方得 a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a2 - c2
两边同除以a2(a2-c2)得
x2 a2
y2 a2 c2
1
令b2=a2-c2得
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2).
(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在.
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
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x2 y2 =1有2
94
个交点.
2.由
x2 8
y2 4
1 消去y得3x2+4mx+2m2-8=0.
y x m
因为直线l与椭圆E有两个公共点,
所以Δ=16m2-12(2m2-8)>0,
解得-2 3 <m<2 3 , 所以实数m的取值范围是(-2 3 ,2 3). 答案:(-2 3 ,2 3 )
=
1 1 k2
·|y1-y2|.
提醒:在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,常用根与系
数的关系,此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.
【习练·破】
已知椭圆W: x2 y2 =1(m>0,n>0)的离心率为e,长轴为AB,短轴为CD.
mn
(1)若W的一个焦点为(3,0),|CD|=6,求W的方程;
第2课时 椭圆方程及性质的应 用
必备知识·素养奠基
1.点与椭圆的位置关系
设P(x0,y0),椭圆
x2 a2
y2 b2
=1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如表所示:
位置关系 P在椭圆外 P在椭圆上
满足条件
x
2 0
y02
_>_1
a2 b2
x
2 0
a2
y02 b2
=1
P在椭圆内
x
2 0
a2
y02 b2
2
- 2 或k> 2 ,所以k的取值范围为（ , 2 ）（ 2 ,）.
2
2
2
2
类型二 弦长与中点问题
【典例】1.过点M(1,1)作斜率为-
1 的直线与椭圆C:
2
x2 a2
y2 b2
=1(a>b>0)相交于
A,B,则直线AB的方程为 ;若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为 .
2.已知斜率为2的直线经过椭圆
3
3
方法三:由方程组
x2
y2
1,
5 4
消去x得
2x y 2 0,
3y2+2y-8=0,因为Δ=22-4×3×(-8)=100>0,
则y1+y2=-
2 3
,y1y2=-
8,
3
所以|AB|= x1 x2 2 y1 y2 2
y1 y2 2
1
(
k
2 AB
1)
(1
1
k
2 AB
)[
y1
【解析】选D.由题意可得椭圆 a= b2 c2 5 2，
x2 a2
y2 25
=1(a>5)中b=5,c=5,
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,
即△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20 2 .
【内化·悟】 1.当点在什么位置时,经过该点的直线总与椭圆有公共点? 提示:当点在椭圆上或在椭圆内部时,经过该点的直线与椭圆总有公共点. 2.判断直线是否与椭圆有公共点,常用什么方法? 提示:判断直线与椭圆是否有公共点,往往利用判别式的符号进行判断.
【类题·通】 直线与椭圆位置关系的判断方法
【习练·破】
y2
2
4y1y2 ]
(1 1)[( 2)2 4 ( 8)] 5 5 .
43
33
【素养·探】 数学中的弦长与中点问题常用到核心素养中的数学运算,结合椭圆的方程及
其性质以及题干中的条件进行计算求解. 本典例2中,若椭圆的左焦点为F,求△ABF的面积.
【解析】由椭圆方程知左焦点F(-1,0),又直线方程为2x-y-2=0,
即10= 5 ×[64-2(64-a2)],
4
所以a2=36,b2=9, 所以椭圆方程为 x2 y2 =1.
36 9
类型三 与椭圆有关的综合问题
【典例】已知椭圆E:
x2 a2
y2 b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,且
△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_相__离__.
3.弦长公式 设直线l:y=kx+m(k≠0,m为常数)与椭圆 x2 y2=1(a>b>0)相交,两个交点分别
a2 b2
为A(x1,y1),B(x2,y2). 弦长公式①:|AB|= ______1__k_2 ___x1__x_2_2__4_x_1x_2_____ .
【解析】1.由题意可知,直线的点斜式方程为y-1=- 1 (x-1),整理得:x+2y-3=0.
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x12 a2
y12 b2
1①，xa222
y22 b2
1②，
因为M是线段AB的中点,所以 x1 x2 1, y1 y2 1,
2
2
又
y1 y2 x1 x2
)
(4)直线y=k(x-a)(k≠0)与椭圆 x2 y2 =1的位置关系是相交. ( )
a2 b2
提示:(1)√.根据椭圆的对称性可知,直线过椭圆的中心时,弦长最大.
(2)√.由 x -y=1得y= x -1,代入 x2 +y2=1,解得两交点坐标A(0,-1),B(2,0).
2
2
4
|AB|= 0 22 1 02 5.
1， 2
①②两式相减可得
x1
x
2
a2
x1
x
2
y1
y2
b2
y1
y2
＝0，
即
2 a2
(
1) 2
2 b2
＝0，
整理得a=
2 b,c=
a2 b2 =b,所以e=
c b ห้องสมุดไป่ตู้2. a 2b 2
椭圆C的离心率为 2 .
2
答案:x+2y-3=0
2
2
2.因为直线l过椭圆
x2 y2 54
=1的右焦点F1(1,0),又直线的斜率为2,所以直线l的方
所以△ABF的高为 ｜ 2 2｜ 4 5 ,
22 1 5
所以△ABF的面积为 1 5 5 4 5 10 .
23 5 3
【类题·通】
直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标,转化为两点间距离.
(2)用公式来求.
设直线斜率为k,直线与椭圆两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 k·2 |x1-x2|
关键能力·素养形成
类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例】1.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过
点P(m,n)的直线与椭圆 x2 y2 =1的交点个数为 (
94
A.2个
B.至多一个
C.1个
) D.0个
2.已知椭圆E: x2 y2 =1,直线l:y=x+m与椭圆E有两个公共点,则实数m的取值范
x2 5
y2 4
1,
2x y 2 0,
消去y得3x2-5x=0,因为Δ=(-5)2=25>0,
则x1+x2=
5 3
,x1·x2=0.
所以|AB|=
x1 x2 2 y1 y2 2
x1 x2
2
1
k
2 AB
1 kA2 B［ x1 x2 2 4x1x2］
1 22 [(5)2 4 0] 5 5 .
弦长公式②:|AB|= ______1__k1_2 ___y_1 __y2__2 __4y_1y_2______ .
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( )
((23))直 已线 知椭x2 圆-y=xa122 被 by椭22 =圆1(xa42>+by>20=)1与截点得P的(b弦,0长),为过点5P.可作出该( 椭圆)的一条切线.(
2m2 2 3
,可得AB中点横坐标为 2m ,
3
|AB|=
11
x1 x2 2 4x1x2 2
16m2 8m2 8 4 3 m2 ,
9
33
以AB为直径的圆与y轴相切,
可得半径r= 1 AB＝2 m ，即 2 3 m2 2 m ,解得m=± 6 （ 3，3）,则m的值为±
2
3
3
3
2
_<_1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
y kx m,
直线y=kx+m与椭圆
x2 a2
y2 b2
=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:联立
消去y,得关于x的一元二次方程.
x2 a2
y2 b2
1,
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_相__交__;
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_相__切__;
【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1(k≠0)过定点(1,1),且该点在椭圆内部, 因此直线必与椭圆相交.
3.已知椭圆
x2 a2
y2 =1(a>5)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=10,弦AB过点F2,则
25
△F1AB的周长为 ( )
A.10
B.20
C.10 2
D.20 2
2
4
所以椭圆方程为x2+4y2=a2,
与x+2y+8=0联立消去y,