3 8离散时间LTI系统响应的时域分析 优质课件
第3章离散系统的时域分析ppt课件
连续变量t的函数,离散系统的激励与响应都是离散时间 信号,表示这种信号的函数,只在一系列互相分离的时间 点上才有定义,而在其它点上则未定义,所以它们是离散 变量tk的函数〔或称序列〕.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
行取样.进行取样的取样器一般由电子开关组成.其工作 原理如图3.2所示.
x(t)
y(t)
T
x(t) 脉冲 y(t) 调制
p(t)
《 信号与线性系统》
图3.2 取样原理图
第3章 离散系统的时域分析
x (t)
p (t)
T
y (t)
(a ) t
(b ) t
(c ) t
图 3.3 信号的取样 <a>连续信号x<t>波形；<b>取样脉冲p<t>波形；<c>取样信号y<t> 波形
=sin<n ω0 ＋2kπ>
=sin<n ω0 >=x<n>
所以,x<n>=sin<n ω0 >是一个周期序列.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
3.3 离散时间系统的描述和响应
3.3.1 离散时间系统的描述 离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函
数〔序列〕.这种系统的工作情况,不能用连续时间系统 的微分方程来描述,而必须采用差分方程来描述.
y<2>=1,y<3>=2,y<4>=3,y<5>=5,…
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
3.2.3离散时间LTI系统的时域分析 - 离散时间LTI系统的时域分析(精品文档)
ci可由初始状态 yzi (1)，yzi (2)， ，yzi (k) 确定
10
信号处理与系统
DLTI系统零输入响应通解
y(n) yzi (n) yzs (n)
故有： yzi (1) y(1), , yzi (k) y(k)
n0
yzi (1) y(1)， ，yzi (k) y(k), n 0
y(1) y(2)
c1 c1
(3)1 c2 (3)2 c2
0 1/
2
cc12
3/4 9 / 4
yzi
(n)
3 4
9 4
(3)n ,
n0
12
信号处理与系统
DLTI系统零输入响应分析
DLTI系统零输入响应通解为：
yzi (n) c1(1 )n ckr (kr )n ckr1nr1(0 )n ck1n(0 )n ck (0 )n
其中 1 2 kr ，即k-r个单根,0为r个重根
(i )n ，i 1, , k r
例2. 一信号处理过程是：每当收到一个数据，就将此 数据与前一步的处理结果平均。求这一信号处理 过程的输入输出关系。
解:
y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
一阶后向差分方程系统模拟框图
4
信号处理与系统
一、DLTI系统方程的建立
离散时间线性时不变 （discrete-time ,linear, time-invariant, 记作DLTI） 系统:用常系数差分方程来描述
-
试从微分方程推导其差分方程。
解: d y(t) 1 y(t) 1 x(t)
离散时间LTI系统分析讲义-学生讲解
实验四 离散时间LTI 系统分析实验目的●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位冲激响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。
●学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ●学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ●学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
实验原理及实例分析1 离散时间系统的响应离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即∑∑==-=-Mj jN i i j n x b i n y a 00)()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。
MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter 的语句格式为y=filter(b,a,x)其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。
【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n=时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 2];>>b=[1 2];>>n=0:30;>>x=(1/2).^n;>>y=filter(b,a,x);>>stem(n,y,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图1所示。
8离散时间LTI系统响应的时域分析
离散时间LTI 系统响应的时域分析◆迭代法◆基于求解常系数线性差分方程的方法◆基于零输入响应和零状态响应的方法离散时间LTI 系统输入信号x [k ]输出信号y [k ][例]线性常系数差分方程y [k ]－0.5y [k －1]=u [k ],y [－1]=1,求差分方程。
解：将差分方程写成]1[5.0][][-+=k y k u k y 代入初始状态5.115.01]1[5.0]0[]0[=⨯+=-+=y u y 75.15.15.01]0[5.0]1[]1[=⨯+=+=y u y 875.175.15.01]1[5.0]2[]2[=⨯+=+=y u y依此类推 1. 迭代法已知n 个初始状态{ y [－1], y [－2], y [－2],∙∙∙, y [－n ] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出，称为迭代法。
优点：简单直接，适合计算机计算；缺点：很难得到闭合形式的解。
差分方程的全解由齐次解y h [k ]和特解y p [k ]组成][][][p h k y k y k y +=✓齐次解y h [k ]的形式由差分方程对应的特征根确定✓特解y p [k ]的形式由方程右边激励信号的形式确定描述离散LTI 系统使用常系数线性差分方程差分方程的全解即为系统的输出响应。
][][00j k x b i k y a j m j i n i -=-∑∑==[例]已知描述某离散时间LTI 系统的差分方程为y [k ] －5y [k －1]+6y [k －2] = x [k ]，k ≥0初始条件y [0] = 0, y [1] = －1, 输入信号x [k ] = 4k u [k ]，求全解y [k ]。
特征根为齐次解y h [k ]解：(1) 确定齐次方程y [k ] －5y [k －1]+6y [k －2] = 0齐次解y h [k ]的形式特征方程为0652=+-r r 3,221==r r 0,32][21h ≥+=k C C k y k k解：由输入x [k ]的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可求得待定系数A = 8。
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。
impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。
stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
LTI离散时间系统的时域分析
用抽样序列表示任意序列
δ(n) x(n) h(n)
离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
连续时间系统 任意信号由冲激函数的迭加积分公式表示
x(t ) x( ) (t )d
离散时间系统： 用抽样序列表示任意序列
x ( n)
k
x(k ) (n k )
２、单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
-3 -2 -1
1
……
0 1 2 3
δ (n)和u(n)间的关系为
n
(n) u(n) u(n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
或用极坐标表示为
x(n) x(n) e j arg[ x( n)] ene j0 n
其中 x(n) en , arg[x(n)] 0n
x[n] exp( j 6 )n＝e
1 12
1 n 12
cos 6 n je
1 n 12
sin n 6
Real part
１）差分方程的自变量可以是时间t，也可以是其它的离散变量； ２）差分方程的一般形式
a
k 0
N
k
y(n k ) bk x(n k )
k 0
M
３）差分方程各项序值如果同时加减同一个数，差分方程描述的输入－输出关 系不变． ４）方程若想得到确定的唯一解，必须给出初始条件，这与连续系统是一样 的．
x(t )
x( ) (t )d
不同： （１）连续系统中是积分，离散系统中是累加； （２）连续时间系统中δ(t-τ)是单位冲激函数， 离散系统中δ(n-k)是单位抽样函数，幅度为１．
第三章 LTI离散系统的响应
f (k ) (k i) f (i)
3.2 单位序列响应和阶跃响应
( 2)单 位 阶跃 序 列 1 k 0 (k ) 0 k 0 (k )
移位单位阶跃序列 (k i ) 1 k i 0 k i
(k 2)
11Fra bibliotek0
1 2 3
k
k
0
1 2 3 4 5
3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)=2, 激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
Czi1=1 , Czi2= – 2
所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
3.1 LTI离散系统的响应 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
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y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = 0齐次解yh[k]的形式
特征方程为
r2 5r 6 0
特征根为
r1 2, r2 3
齐次解yh[k]
yh[k] C12k C2 3k , k 0
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0
初始条件y[0] = 0, y[1] = 1, 输入信号x[k] = 4k u[k]，求全解y[k]。 解 ：(1) 确定齐次方程
y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = 0 齐次解yh[k]的形式
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] A 4k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得待定系数A= 8。
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0
初始条件y[0] = 0, y[1] = －1, 输入信号x[k] = 4k u[k]，求全解y[k]。 解: (3) 求方程的全解
y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = 0齐次解yh[k]的形式
特征方程为 r2 5r 6 0
特征根为 齐次解yh[k]
r1 2, r2 3
yh[k ] C12k C23k , k 0
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0
y[k] yh[k] yp[k] C12k C23k 8 4k , k 0
y[0] C1 C2 8 0 y[1] 2C1 3C2 32 1
C1= 9，C2= 17
y[k] 9 2k 17 3k 8 4k , k 0
特征方程为 r2 5r 6 0
解：将差分方程写成 y[k] u[k] 0.5y[k 1]
代入初始状态
y[0] u[0] 0.5y[1] 1 0.51 1.5
依此类推 y[1] u[1] 0.5y[0] 1 0.51.5 1.75
y[2] u[2] 0.5y[1] 1 0.51.75 1.875
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
若初始条件不变，输入信号x[k] = 3ku[k] ，则系统的 完全响应 y[k]= ？
2.基于求解常系数线性பைடு நூலகம்分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0
初始条件y[0] = 0, y[1] = －1, 输入信号x[k] = 3k u[k]，求全解y[k]。 解 ：(1) 确定齐次方程
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0
初始条件y[0] = 0, y[1] = －1, 输入信号x[k] = 3k u[k]，求全解y[k]。 解: (3) 求方程的全解
y[k] yh[k] yp[k] C12k C23k 3k 3k
y[0] C1 C2 0 y[1] 2C1 3C2 9 1
C1= 10，C2= －10
y[k] 10 2k 10 3k 3k3k , k 0
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
若输入信号不变，初始条件 y[0] = 0, y [1] = 1, 则系统的完全 响应 y[k] = ？
已知 n 个初始状态{ y[－1], y[－2], y[－2],∙∙∙, y[－n] } 和输入，
由差分方程迭代出系统的输出，称为迭代法。
优点：简单直接，适合计算机计算； 缺点：很难得到闭合形式的解。
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
描述离散LTI系统使用常系数线性差分方程
n
m
ai y[k i] bj x[k j]
初始条件y[0] = 0, y[1] = －1, 输入信号x[k] = 3k u[k]，求全解y[k]。 解 ： (2) 求差分方程y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]的特解yp[k]
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] Ak3k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得待定系数A= 3。
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0
初始条件y[0] = 0, y[1] = －1, 输入信号x[k] = 4k u[k]，求全解y[k]。 解 ： (2) 求差分方程y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]的特解yp[k]
北京交通大学 信号处理课程组
离散时间LTI系统响应的时域分析
输入信号x[k]
离散时间 LTI系统
输出信号y[k]
迭代法 基于求解常系数线性差分方程的方法 基于零输入响应和零状态响应的方法
1. 迭代法
[例]线性常系数差分方程y[k]－0.5y[k－1]=u[k], y[－1]=1,求差分方程。
i0
j0
差分方程的全解由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成
y[k] yh[k] yp[k]
齐次解yh[k]的形式由差分方程对应的特征根确定
特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定
差分方程的全解即为系统的输出响应。
2.基于求解常系数线性差分方程的方法
[例]已知描述某离散时间LTI系统的差分方程 为 y[k] －5y[k－1]+6y[k－2] = x[k]，k≥0