第 三 章 控制系统的时间响应分析
合集下载
第三章系统的时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
输出的时间响应为：
K c(t ) (1 e K 1
T 1 假设增益 K 1
K 10
K 1 ( )t T
)
2t
c(t ) 0.5(1 e ) c(t ) 0.909(1 e
11t
)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
动态方框图： （单位负反馈系统）
Xi(s)
2 n s 2 2 n s
Xo(s)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
1 1 at e sin t 2 2 ( s a)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
例特征根值：
si j; j
系统的输出：
y1 (t ) e cost
y2 (t ) e sin t
欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭 复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称 为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为
C ( s) 2 2 R( s ) s 2 n s n
2 n
特征根为一对共轭复根
衰减系数 d 阻尼振荡频率
s1,2 n j n 1 2 j d
或
arccos
系统的响应由稳态分量和动态分量两部分 组成，稳态分量的值等于1，动态分量是 一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。
工程控制基础 第3章 系统的时间响应分析
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
12
T：时间常数
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
2019/12/30
机械工程控制基础
29
3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
机电传动控制第三章
当t=0时，初始斜率为
时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T 越小，C(t)响应越快，达到稳态用的时间越短，即系统的惯 性越小。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间 为3T～4T。
第三章 线性系统的时域分析 3、一阶系统的脉冲响应
第三章 线性系统的时域分析
规律
x (t)
1
1
eT
0
T
1
x (t) 1 e T 01
1
x0t1(t) t T Te T
x x (t) d (t)
0
dt 01
x x d
(t)
(t)
01
dt 0t
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 响应的导数。
此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变 系统及非线性系统。
当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换 于系统的传递函数相同，即
一阶系统单位脉冲响应的特点
xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减
当t=0时，初始斜率为
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于 0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号 都如此。
±2%或±5%）内所需的时间。
td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。
Mp用来评定系统的相对平稳性。
第三章 线性系统的时域分析
结论 二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
通常根据允许的最大超调量来确定ξ。一般选择在
0.4～0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响
控制工程基础3章
零状态响应 随时间的推移(t → ∞)而衰减、趋于零。 (所有Re(si)<0时的自由响应。) t → ∞，仍然存在。 (稳定系统的强迫响应。)
↘强迫响应
Notes:
(1) 几个概念 系统的时间响应－－输入一定时系统输出随时间的变化规律。 时域分析方法－－直接求解微分方程和状态方程，求出时域响应来评价系 统的方法。 零输入响应－－在没有输入(x(t)=0)时，仅由系统的初始状态引起的响应。 零状态响应－－在初态为零时，仅由外部输入(激励)引起的响应。 暂态响应－－是指随时间的增长而趋于零的那部分响应。 稳态响应－－是指暂态消失后，余下的那部分响应。 (2) n 与 si ，既与系统的初态无关，更与系统的输入无关； 它们取决于系统的结构与参数这些固有特性。 (3) 传递函数定义指明系统初态为零，故初态决定的零输入响应为零；从而 对Y(s) = G(s)X(s)进行拉式逆变换 y(t)=L-1[Y(s)]，就是系统的零状态响应。 (4) 对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数x1(t) = x’(t) ， 该输入函数的响应函数，也等于这一函数的响应函数的导函数 y1(t) = y’(t) 。
解I 另可求出 y * F k
1 1 n
2
cost 是满足微分方程(1)的特解。
令λ = ω / ωn，得到微分方程(1)的完全解为：
F 1 y yT y A1 sin nt A2 cos nt cos t (3) 2 k 1
第三章 时间响应分析
本章要点： 1、时间响应及其组成，以及一些基本概念； 2、一、二阶系统的典型信号激励的响应及其计算； 3、评价二阶系统的性能指标；
4、系统的零点对系统的影响。
机械工程控制基础-时间响应分析
工程控制基础
第三章 时间响应分析
二、二阶系统对典型输入信号的响应
1、二阶系统的单位脉冲响应
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
d n 1 （2 有阻尼固有频率）
工程控制基础 0<ζ<1
第三章 时间响应分析
不同阻尼比时的单位脉冲响应情况
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
工程控制基础
（3）
第三章 时间响应分析
（c）特征根的实部≤0
工程控制基础
第三章 时间响应分析
2）
Im[si]绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高， 它影响着【系统响应的准确性】。
工程控制基础
第三章 时间响应分析
3.2 典型输入信号
在控制工程中，常用的输入信号有两大类：
•其一是系统正常工作时的输入信号；
•其二是外加的测试信号。
1）一阶系统的单位脉冲响应
➢ω(t)=
ω(tc()t)
1 T
初初始始斜斜率率＝＝Ｔ１-Ｔ１2
(t )
1 T
t
e T （t≥0）
0.368 1
T
0.135
1 T
1 0.018 T
0 T 2T 3T 4T
t
图3-2 一阶系统的 单位脉冲响应曲线
工程控制基础
第三章 时间响应分析
➢一阶系统的调整时间为4T
an
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
...
a1 y(t)
a0
y(t)
x(t)
工程控制基础
第三章 时间响应分析
输入引起的
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
第3章 系统的时间响应分析
第3章 系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（微分方程或传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。
第3.1节 时间响应及其组成一、时间响应的概念所谓时间响应指系统在外加激励作用下，其输出量随时间变化的函数关系。
或者说 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式；在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
自变量为时间t ，因变量为输出()[()]o x t y t二、时间响应的组成分析：第一、二项是由微分方程的初始条件（即系统的初始状态）引起的自由振动，即自由响应。
ω。
应该说第三项的自第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为nω与作用力频率ω无关，由响应并不完全自由。
因为它的幅值受到F的影响，当然，它的频率n自由即在此。
第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率ω。
因此系统的时间响应可从两方面分类：按振动性质可分为自由响应与强迫响应，按振动来源可分为零输入响应（即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应）与零状态响应（即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应）Array所以我们的研究对象是：零状态响应。
另外还有两个需了解的概念：瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应：系统在外加激励作用后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。
反映了系统的快、稳特性。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态为稳态响应。
反映系统的准确性。
三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡第3.2节 典型的输入信号由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时，需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型信号的时间响应。
不同系统或参数不同的同一系统对同一典型信号的时间响应不同，反映出各种系统动态特性的差异，从而可以定出相应的性能指标，对系统的性能予以评定。
尽管在实际中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型信号的时间响应和对任意信号的时间响应之间存在一定的关系统，所以知道系统对典型信号的响应就可求出对任意输入的响应。
3第三章 系统的时间响应分析
( 2 1)nt
2 2 1
-1 0
1
2 t(sec) 2 t(sec) 2 t(sec)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) u(t)
L[u(t)] 1 s
X o (s)
G(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
1 s
xo(t)
n
2
1
s 2n
1
s (s n jd )(s n jd )
xi1 (t) xo2 (t) xi2 (t) xo1 (t)
实际中经常使用下述两类输入信号：系 统正常工作时的输入信号和外加测试信号；
输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏 系统的正常运行，然而，这不一定能保证有 足够的能激励系统的信息，从而获得对系统 动态特性的全面了解；
测试信号在实验条件下用得很成功，但在 实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大， 往往不能使用。
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[
1 Ts
1
1 s
]
0T
1 et T
t(sec)
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t)
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
G(s)
1 s2
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
由Xo(s)=Xi(s)G(s) =Xi(s)W(s)
可得： xo(t)=xi(t)*w(t)
机械工程控制基础_第三章
初始条件：设t 0时，y(t ) y(0)，y(t ) y(0)
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3.3.4）
其中，A为阶跃函数的阶跃值（见图3.2）。A＝1的阶 跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为 (t )
图3.2 阶跃函数
3.3 典型输入信号
单位阶跃函数的拉氏变换为
Lr (t )
1 s
3．斜坡函数（速度阶跃函数）
斜坡函数的定义为 0 r (t ) Bt
3.4 控制系统瞬态性能分析
其次分析平稳性。 平稳性的指标为超调量δ％。因为一阶系统是没有超调量的，因 此认为其平稳性是好的。 最后来看准确性。 由于时间趋于无穷大时，输出响应可以趋于稳态值。虽然在理论 是永远达不到的，但是在给定了允许误差范围后，即认为过了调节 时间 ts 之后，系统就进入了稳态，所以一阶系统的准确性也是可以 满足的。
（3.3.6）
其中，C为加速度阶跃值（见图3.4），C＝1的抛物线 函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。
图3.4 抛物线函数
3.3 典型输入信号
单位抛物线函数的拉氏变换为
Lr (t )
5．正弦函数 正弦函数的定义为
1 s3
0 r (t ) A sin t
t0 t0
t T
e
(t 0 )
t T
1 e
t 0
t T
t T Te
t
2
t 0
t T
1 2
1 2
t Tt T (1 e
2 2
) t0
等价关系： 1) 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导； 2) 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
3.2 时间响应及其组成
（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的 影响分析）。（讲解）
3.3 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制 系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预 先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信 号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入 分为确定性信号和非确定性信号)。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1.2 典型二阶系统瞬态性能分析 二阶系统的研究具有重要意义，它不仅在工程实际中比较常见，而 且许多高阶系统在一定的条件下也可以近似为二阶系统。二阶系统的 单位阶跃响应有振荡和非振荡两种情况，可以满足不同系统的要求。 此外，工程上还采用所谓二阶系统的最佳工程参数作为设计系统的依 据。 一、典型二阶系统的传递函数 设有一随动系统如图3.15所示，其闭环传递函数为
%
h (t p ) h ( ) h ( ) 100 %
⑥ 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。
3.4 控制系统瞬态性能分析
tr
ts
或
tp
评价系统的响应速度；
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体 上反映系统的快速性。 直接反映了系统的相对稳定性。
%
ess 稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越。
3.1 时域分析的提法
系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储 能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立 即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前 逐渐趋近于稳态响应的变化过程。 值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响 应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运 动状况对系统的运动性能进行分析。
峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。
3.4 控制系统瞬态性能分析
调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需 的最短时间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%） 作为误差范围;
超调量 Mp或σ% （Maximum Overshoot） % ： 超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位脉冲响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位斜坡（速度）响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位加速度响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
闭环传递
函数
输入信号
时域
输出响应
ess
0 0 T 无穷大
(t )
1 TS 1
t 1(t)
1 T
1
1
显然，当 0时，实际脉冲
r(t)
1
。 (t ) 的极限即为理想脉冲 (t )
图3.1 实际单位脉冲函数
t
3.3 典型输入信号
单位脉冲函数的拉氏变换为1，即 L (t ) 1
2．阶跃函数
阶跃函数的定义为
0 t 0 r (t ) A t 0
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1. 1 一阶系统瞬态性能分析 典型一阶系统的结构如图3.12（a）所示。在物理上，这个系统可 以表示一个R－C电路，也可以表示一个热系统。其闭环传递函数为
(s)
T 1
C (s) R(s)
1 Ts 1
（3.4.1）
其中，称 K 为系统的时间常数，－K为系统的极点 值。凡是具有（3.4.1）式形式传递函数的系统为一阶惯性 系统，它在S平面上的极点分布为 s K 1 , 如图3.12（b T ）所示。 一阶系统的单位阶跃响应可由下式求出
（3.3.7）
其中，A为正弦函数的阶跃值；为频率（见图3.5）。 A＝1的正弦函数为单位正弦函数。
图3.5 正弦函数
3.3 典型输入信号
单位正弦函数的拉氏变换为
Lr (t )
s2 2
通常，我们用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可 以在一个统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研 究。
C (s) 1 Ts 1 R(s) 1
t T
Ts 1 s
1
c (t ) L1 C ( s ) 1 e
,t 0
（3.4.2）
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.12（c）为一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线。
(a)
(b)
(c)
图3.12 一阶系统及其单位阶级阶跃响应曲线
通常人们关心的和便于直观分析的往往是系统对于外加作用的反 应情况，也就是当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间 的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。系统的时域响应由 两部分组成：瞬态响应和稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。 瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到 达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡 过程。它还可以细分为状态响应和输出响应，通常用瞬态性能指标 描述，它反映了系统的品质。 稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了 系统的精度。
4T ts 3T
(取 ＝2 ) (取 ＝5)
（3.4.3）
另外，我们还可以根据时间常数T去度量系统输出的数 值。例如,t=T时，c(t ) 0.632 ，而当t分别等于2T、3T、4T 时，c (t ) 数值将分别达到稳态值的86.5％，95％和98％。 根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常 数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。
dc (t ) dt
Kc (t ) Kr (t )
（3.4.5）
控制系统的输出信号与输入信号之间的关系，凡可用如（3.4.5）式 的二阶微分方程描述的，均称为二阶系统。上述随动系统就是一个二 阶系统。
第三章 控制系统的时间响应分析
线性系统的时域分析法 引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析
3.1 时域分析的提法
3.1.1 时域分析的基本思想
时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用 下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
3.1.2 系统的时域响应
常用的典型输入信号有下面几种：
3.3 典型输入信号
1．脉冲函数
脉冲函数的定义为 r (t ) A (t ) （3.3.1） 其中，A为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为 单位阶跃函数，是狄拉克－函数，它的定义为
t0 0 (t ) t0 (t ) d t 1
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.11 具有衰减振荡的单位阶跃响应
根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，
3.4 控制系统瞬态性能分析
h(t)
σ
1
超调量
允 许 误 差± Δ
0.9
td
0.5
0.02或 0.05
0.1 0
tr tp ts
t
3.4 控制系统瞬态性能分析
延迟时间t d （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间t r （Rising Time ）: 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间 (对于无振荡系统)。上升时间越短，响应速度越快 。 对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态 值所需的时间。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4 控制系统瞬态性能分析
根据响应曲线，我们可以得到一阶系统可以实现的瞬态性能指标 以及定量描述。 首先分析快速性。 描述系统的快速性使用的是时间指标。因为一阶系统的运动是单 调的，只考虑调节时间 ts 即可。一阶系统只有一个系统参数T，即 系统时间常数。当以时间常数T为参变量来考查系统的运动时，由 图3.12(c)，可以得到下列结论：
3.4 控制系统瞬态性能分析
对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件 、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达 式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略 地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能 表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析， 又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。 在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后 面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性 能指标来分析控制系统的。 需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳 态特性的研究才是有意义的。 本节将讨论控制系统的瞬能性能分析，下一节介绍稳 态性能分析。
其中，A为阶跃函数的阶跃值（见图3.2）。A＝1的阶 跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为 (t )
图3.2 阶跃函数
3.3 典型输入信号
单位阶跃函数的拉氏变换为
Lr (t )
1 s
3．斜坡函数（速度阶跃函数）
斜坡函数的定义为 0 r (t ) Bt
3.4 控制系统瞬态性能分析
其次分析平稳性。 平稳性的指标为超调量δ％。因为一阶系统是没有超调量的，因 此认为其平稳性是好的。 最后来看准确性。 由于时间趋于无穷大时，输出响应可以趋于稳态值。虽然在理论 是永远达不到的，但是在给定了允许误差范围后，即认为过了调节 时间 ts 之后，系统就进入了稳态，所以一阶系统的准确性也是可以 满足的。
（3.3.6）
其中，C为加速度阶跃值（见图3.4），C＝1的抛物线 函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。
图3.4 抛物线函数
3.3 典型输入信号
单位抛物线函数的拉氏变换为
Lr (t )
5．正弦函数 正弦函数的定义为
1 s3
0 r (t ) A sin t
t0 t0
t T
e
(t 0 )
t T
1 e
t 0
t T
t T Te
t
2
t 0
t T
1 2
1 2
t Tt T (1 e
2 2
) t0
等价关系： 1) 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导； 2) 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
3.2 时间响应及其组成
（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的 影响分析）。（讲解）
3.3 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制 系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预 先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信 号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入 分为确定性信号和非确定性信号)。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1.2 典型二阶系统瞬态性能分析 二阶系统的研究具有重要意义，它不仅在工程实际中比较常见，而 且许多高阶系统在一定的条件下也可以近似为二阶系统。二阶系统的 单位阶跃响应有振荡和非振荡两种情况，可以满足不同系统的要求。 此外，工程上还采用所谓二阶系统的最佳工程参数作为设计系统的依 据。 一、典型二阶系统的传递函数 设有一随动系统如图3.15所示，其闭环传递函数为
%
h (t p ) h ( ) h ( ) 100 %
⑥ 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。
3.4 控制系统瞬态性能分析
tr
ts
或
tp
评价系统的响应速度；
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体 上反映系统的快速性。 直接反映了系统的相对稳定性。
%
ess 稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越。
3.1 时域分析的提法
系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储 能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立 即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前 逐渐趋近于稳态响应的变化过程。 值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响 应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运 动状况对系统的运动性能进行分析。
峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。
3.4 控制系统瞬态性能分析
调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需 的最短时间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%） 作为误差范围;
超调量 Mp或σ% （Maximum Overshoot） % ： 超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位脉冲响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位斜坡（速度）响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位加速度响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
闭环传递
函数
输入信号
时域
输出响应
ess
0 0 T 无穷大
(t )
1 TS 1
t 1(t)
1 T
1
1
显然，当 0时，实际脉冲
r(t)
1
。 (t ) 的极限即为理想脉冲 (t )
图3.1 实际单位脉冲函数
t
3.3 典型输入信号
单位脉冲函数的拉氏变换为1，即 L (t ) 1
2．阶跃函数
阶跃函数的定义为
0 t 0 r (t ) A t 0
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1. 1 一阶系统瞬态性能分析 典型一阶系统的结构如图3.12（a）所示。在物理上，这个系统可 以表示一个R－C电路，也可以表示一个热系统。其闭环传递函数为
(s)
T 1
C (s) R(s)
1 Ts 1
（3.4.1）
其中，称 K 为系统的时间常数，－K为系统的极点 值。凡是具有（3.4.1）式形式传递函数的系统为一阶惯性 系统，它在S平面上的极点分布为 s K 1 , 如图3.12（b T ）所示。 一阶系统的单位阶跃响应可由下式求出
（3.3.7）
其中，A为正弦函数的阶跃值；为频率（见图3.5）。 A＝1的正弦函数为单位正弦函数。
图3.5 正弦函数
3.3 典型输入信号
单位正弦函数的拉氏变换为
Lr (t )
s2 2
通常，我们用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可 以在一个统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研 究。
C (s) 1 Ts 1 R(s) 1
t T
Ts 1 s
1
c (t ) L1 C ( s ) 1 e
,t 0
（3.4.2）
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.12（c）为一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线。
(a)
(b)
(c)
图3.12 一阶系统及其单位阶级阶跃响应曲线
通常人们关心的和便于直观分析的往往是系统对于外加作用的反 应情况，也就是当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间 的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。系统的时域响应由 两部分组成：瞬态响应和稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。 瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到 达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡 过程。它还可以细分为状态响应和输出响应，通常用瞬态性能指标 描述，它反映了系统的品质。 稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了 系统的精度。
4T ts 3T
(取 ＝2 ) (取 ＝5)
（3.4.3）
另外，我们还可以根据时间常数T去度量系统输出的数 值。例如,t=T时，c(t ) 0.632 ，而当t分别等于2T、3T、4T 时，c (t ) 数值将分别达到稳态值的86.5％，95％和98％。 根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常 数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。
dc (t ) dt
Kc (t ) Kr (t )
（3.4.5）
控制系统的输出信号与输入信号之间的关系，凡可用如（3.4.5）式 的二阶微分方程描述的，均称为二阶系统。上述随动系统就是一个二 阶系统。
第三章 控制系统的时间响应分析
线性系统的时域分析法 引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析
3.1 时域分析的提法
3.1.1 时域分析的基本思想
时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用 下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
3.1.2 系统的时域响应
常用的典型输入信号有下面几种：
3.3 典型输入信号
1．脉冲函数
脉冲函数的定义为 r (t ) A (t ) （3.3.1） 其中，A为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为 单位阶跃函数，是狄拉克－函数，它的定义为
t0 0 (t ) t0 (t ) d t 1
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.11 具有衰减振荡的单位阶跃响应
根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，
3.4 控制系统瞬态性能分析
h(t)
σ
1
超调量
允 许 误 差± Δ
0.9
td
0.5
0.02或 0.05
0.1 0
tr tp ts
t
3.4 控制系统瞬态性能分析
延迟时间t d （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间t r （Rising Time ）: 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间 (对于无振荡系统)。上升时间越短，响应速度越快 。 对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态 值所需的时间。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4 控制系统瞬态性能分析
根据响应曲线，我们可以得到一阶系统可以实现的瞬态性能指标 以及定量描述。 首先分析快速性。 描述系统的快速性使用的是时间指标。因为一阶系统的运动是单 调的，只考虑调节时间 ts 即可。一阶系统只有一个系统参数T，即 系统时间常数。当以时间常数T为参变量来考查系统的运动时，由 图3.12(c)，可以得到下列结论：
3.4 控制系统瞬态性能分析
对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件 、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达 式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略 地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能 表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析， 又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。 在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后 面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性 能指标来分析控制系统的。 需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳 态特性的研究才是有意义的。 本节将讨论控制系统的瞬能性能分析，下一节介绍稳 态性能分析。