控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
控制系统的时域分析
解：1）单位阶跃输入时
X 0s G sX iss2 s s 1 1 2 1 s s 1 1 2 s1 1
所以： x 0 t L 1 X 0 s 1 te t e t
2）单位脉冲输入时，由于 t d 1t
dt
所以： xotd dtxot2ettet
28
机械控制工程基础
§4.3 二阶系统的时间响应 一、二阶系统的数学模型
2 2 1( 2 1)
单调上升，无振荡， 过渡过程时间长，无 稳态误差。
18
机械控制工程基础
c(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其 稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环 节的时间常数T；
dc t 1
dt
T
t0
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响
应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系
统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间
26
机械控制工程基础
例1：单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
x0t75e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
GsXX0i ssX0sLx0tL75e6t 7ss56s2ss462
27
机械控制工程基础
例2：已知系统传递函数为：
G
s
2s 1
s 12
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
12
机械控制工程基础
根据线性叠加原理,将0到t的各个脉冲的脉冲响应叠加， 则得到任意函数x(t)在t时刻的时间响应函数y(t)。
t t t t tt n
t
y (t) ln i m k 0x (k)g (tk)0x ()g (t)d
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
第12讲 控制系统的时域分析总结
6
输入信号的图形 3.1 时间响应与输入信号
µ (t )
r (t )
a(t )
(a)
(b)
(c)
δ (t )
1
f (t)
h
t
t
h
(d)
(e)
7
常用的典型输入信号 3.1 时间响应与输入信号
�（1）单位阶跃信号
(a) 所示，其幅值高度等于 1个单位时称为单位阶跃信 如图 如图(a) (a)所示，其幅值高度等于 所示，其幅值高度等于1 µ (t ) 号，其数学表达式为：
1− ξ
1−ξ 2 ξ
2
sin (ωd t + β ) , ( t ≥ 0 )
。上式中第一项是稳态项，第二项 式中， β = arctg 瞬态项是随时间 t而衰减的正弦振荡函数。振荡频率 为 ωd 。
20
3.3 二阶系统时间响应 二阶系统的单位阶跃响应
� （2）临界阻尼情况（ ξ = 1 ） 系统有两个相等的负实根，这时
3
系统阶跃响应及动态性能指标
阶跃响应到达并 保持在终值 5％误 差带内所需的最 短时间
4
3.1
时间响应与输入信号
研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作用 下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系统对 输入信号如何产生影响。 在分析和设计系统时，需要有一个对各种系统性能进 预先规定一些具有特殊形式 行比较的基础，这种基础就是 行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊形式 的试验信号作为系统的输入（典型输入信号）， 然后比较 的试验信号作为系统的输入（典型输入信号），然后比较 各种系统随这些输入信号的响应。
16
3.3 二阶系统时间响应 过阻尼系统
控制系统的时域分析_一二阶时间响应
2 At 拉氏变换为： R( s )＝L 2 s3
图3-2c 加速度信号
该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化 的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。
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第3章 控制系统时域分析
4．脉冲信号
脉冲函数如右图所示，定义为
1 , r (t ) h 0, 0 t h t 0, t h
•其中： T — 时间常数；ωn—自然频率； —阻尼比；
1 n T
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第3章 控制系统时域分析
方块图
R(s)
G(S )
C(s)
-
G(S)=
(S )
2 n 1 s ( s 2n )
s ( s 2n )
2 n
?
G( S ) S (S 2n )
传递函数:
U c ( s) 1 ( s) U r (s) LCs 2 RCs 1
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第3章 控制系统时域分析
2、标准形式
微分方程
2 d c(t ) dc(t ) 2 T 2 T c(t ) r (t ) 2 dt dt
传递函数
2 C ( s) 1 n 2 ( s) 2 2 2 R( s) T s 2 Ts 1 s 2n s n
dc( t ) c( t ) r ( t ) dt
E(s) G(S)
i(t) R
ur (t )
C
uc (t )
T
C ( s) 1 R( s ) Ts 1
C(s)
R(s)
-
G(S)= ?
一阶电路和二阶电路的时域分析
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
自动控制原理线性系统的时域分析法二阶系统详解演示文稿
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
②峰值时间 ——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。
③调带整时时所间需要tt的—sp 最—短响时应间达。到并保持在终值的±5%（或± 2%）误差
④延滞时间 ——响应曲线到达稳态值50%所需的时间。
2 n
(s
1 )(s
T1
1 T2
)
第26页，共77页。
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
1
于是闭环传函为：
C(s)
T1T2
1
R(s) (s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2s 1)
T1 T2
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为
阶跃响应函数为：C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
h(t) 1
0
t
第25页，共77页。
➢当 1 时，极点为：s1,2 n n 2 1
即特征方程为
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
规律适用于一般的线性定常系统。
第15页，共77页。
r(t) R(s) C(s)= (s§) R(3s) .2.3 一c(t)阶系统的一阶典系统型典型响响应应
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拉氏变换为：
R(s)
L At
A s2
图3-2b 斜坡信号
当A＝1时称为单位斜坡函数。这种实验信号相当于控 制系统中加入一个按恒速变化的信号，其速度为A。
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第3章 控制系统时域分析
3．加速度信号
加速度函数如右图所示，定义为
1 At2 , 2 0 ,
t0 t 0
拉氏变换为：
R(s)＝L
3．峰值时间 ：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时 间叫做峰值时间。
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第3章 控制系统时域分析
4．最大超调量：最大峰值(即第一个峰值)与理想稳态值1之间的
差值叫做最大超调量值Mp。通常采用百分比表
示最大相对超调量，定义为
σp
%
c(tp ) c() c()
1பைடு நூலகம்0%
最大超调量的数值，直接说明了系统的相
稳态响应 ：在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时 系统的输出状态称为稳态响应。
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第3章 控制系统时域分析
三、典型输入信号
系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外界输入 信号的形式有关。在分析和设计控制系统时，总是预先规定一 些特殊的输入信号，然后比较各种系统对这些实验输入信号的 响应，并以此作为对各种控制系统性能进行比较的基础。
图3-2d 脉冲信号
若对实用脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉
冲，称作单脉冲信号，记为 (t)
拉氏变换为：
R(s) L (t) 1
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第3章 控制系统时域分析
四、线性系统时域性能指标 总 稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来 的平衡位置 要 快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速 求 准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差要小
C(s) 1 R(s) Ts 1
C
uc (t)
方块图 ：
R(s)
E(s) G(S)
-
C(s)
G(S)= ?
1 Ts
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第3章 控制系统时域分析
二、一阶系统的单位阶跃响应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
1 2
At
2
A s3
图3-2c 加速度信号
该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化的信
号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。
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第3章 控制系统时域分析
4．脉冲信号
脉冲函数如右图所示，定义为
r(t)
1 h
,
0,
0t h t 0, t h
其中，脉冲宽度为h，脉冲面积为1。
c(t) L1 C(S) 1
e
t T
暂态分量Ctt
稳态分量Css
S平面 j
输入信号的形式
P=-1/T 0
零极点分布图
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第3章 控制系统时t域分析
c(t) 1 e T
t 0 时,c(0) 1 e0 0 t T 时,c(T ) 1 e 1 0.632
第3章 控制系统时域分析
控制系统时间响应分析
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第3章 控制系统时域分析
3.2 时域分析法概述
一、时域分析法及其特点
时域分析法——控制系统在一定输入作用下，根 据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬 态过程性能和稳态误差。 特点：
(1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观、 准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
第3章 控制系统时域分析
3.3 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型
1、举例说明：RC电路
微分方程为:
RC
duc (t dt
)
uc
(t
)
ur
(t
)
i(t) R
ur (t)
传递函数:
Uc(s) 1 1 Ur (s) R C s 1 1Ts
2、标准形式 T dc(t) c(t) r(t)
dt
幅值A为1的阶跃函数称为单位 阶跃函数，记作1(t)，单位阶跃函 数的拉氏变换为：
图3-2a 阶跃信号
R(s) L1(t) 1
s
阶跃信号相当于一个数值为一恒值的信号，在 t 时0突然加到
系统上。
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第3章 控制系统时域分析
2．斜坡信号
斜坡函数如右图所示，定义为
At, t 0 r(t) 0, t 0
在工程实践中，评价控制系统动态性能的好坏，多用 时域的几个特征量来表示。
通常，控制系统的动态性能指标，以系统对单位阶跃 输入量的瞬态响应形式给出。
为了评价控制系统对单位阶跃输入的瞬态响应特征， 通常采用下列一些性能指标：延迟时间，上升时间，峰值 时间，最大超调量以及调整时间。
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第3章 控制系统时域分析
图3-2e 表示性能指标的阶跃响应曲线
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第3章 控制系统时域分析
各性能指标定义如下:
1.延迟时间 ：响应曲线第一次达到稳定值的一半所需的时间， 叫做延迟时间。
2.上升时间 ：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，或从0 上升到100%所需的时间都叫做上升时间。 对于过阻尼和临界系统(ζ≥1)，通常采用 10%～90%的上升时间；对于欠阻尼系统 (0<ζ<1)，通常采用0～100%的上升时间。
输入信号的选取原则：
1) 具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。 2) 形式尽可能简单，便于分析处理。 3) 能使系统在最不利的情况下工作。
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t 0
第3章 控制系统时域分析
1.阶跃信号
阶跃函数如右图所示，定义为
A， t 0， A 常量 r(t) 0， t 0
对稳定性。
5．调整时间： 响应曲线最终收敛在稳态值附近，这时曲线的变化 对于稳态值的百分比在一个允许的范围内。响应曲 线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所 需要的时间，叫做调整时间。调整时间与控制系统 的时间常数有关。允许误差的百分比选多大，取决 于设计要求，通常取5%或2%。
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0 ts 第3章 控制系统时域分析
二、时间响应的概念
描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达 式。任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应组成。
瞬态响应 ：系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量 从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态 (或称暂态)响应，也称过渡过程。