第三章系统的时间响应分析
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第三章系统的时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
输出的时间响应为：
K c(t ) (1 e K 1
T 1 假设增益 K 1
K 10
K 1 ( )t T
)
2t
c(t ) 0.5(1 e ) c(t ) 0.909(1 e
11t
)
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第三章控制系统时间响应分析
动态方框图： （单位负反馈系统）
Xi(s)
2 n s 2 2 n s
Xo(s)
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
1 1 at e sin t 2 2 ( s a)
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
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第三章控制系统时间响应分析
例特征根值：
si j; j
系统的输出：
y1 (t ) e cost
y2 (t ) e sin t
欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭 复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称 为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为
C ( s) 2 2 R( s ) s 2 n s n
2 n
特征根为一对共轭复根
衰减系数 d 阻尼振荡频率
s1,2 n j n 1 2 j d
或
arccos
系统的响应由稳态分量和动态分量两部分 组成，稳态分量的值等于1，动态分量是 一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。
工程控制基础 第3章 系统的时间响应分析
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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2019/12/30
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30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
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T：时间常数
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
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控制工程基础3章
零状态响应 随时间的推移(t → ∞)而衰减、趋于零。 (所有Re(si)<0时的自由响应。) t → ∞，仍然存在。 (稳定系统的强迫响应。)
↘强迫响应
Notes:
(1) 几个概念 系统的时间响应－－输入一定时系统输出随时间的变化规律。 时域分析方法－－直接求解微分方程和状态方程，求出时域响应来评价系 统的方法。 零输入响应－－在没有输入(x(t)=0)时，仅由系统的初始状态引起的响应。 零状态响应－－在初态为零时，仅由外部输入(激励)引起的响应。 暂态响应－－是指随时间的增长而趋于零的那部分响应。 稳态响应－－是指暂态消失后，余下的那部分响应。 (2) n 与 si ，既与系统的初态无关，更与系统的输入无关； 它们取决于系统的结构与参数这些固有特性。 (3) 传递函数定义指明系统初态为零，故初态决定的零输入响应为零；从而 对Y(s) = G(s)X(s)进行拉式逆变换 y(t)=L-1[Y(s)]，就是系统的零状态响应。 (4) 对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数x1(t) = x’(t) ， 该输入函数的响应函数，也等于这一函数的响应函数的导函数 y1(t) = y’(t) 。
解I 另可求出 y * F k
1 1 n
2
cost 是满足微分方程(1)的特解。
令λ = ω / ωn，得到微分方程(1)的完全解为：
F 1 y yT y A1 sin nt A2 cos nt cos t (3) 2 k 1
第三章 时间响应分析
本章要点： 1、时间响应及其组成，以及一些基本概念； 2、一、二阶系统的典型信号激励的响应及其计算； 3、评价二阶系统的性能指标；
4、系统的零点对系统的影响。
机械工程控制基础-时间响应分析
工程控制基础
第三章 时间响应分析
二、二阶系统对典型输入信号的响应
1、二阶系统的单位脉冲响应
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
d n 1 （2 有阻尼固有频率）
工程控制基础 0<ζ<1
第三章 时间响应分析
不同阻尼比时的单位脉冲响应情况
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
工程控制基础
（3）
第三章 时间响应分析
（c）特征根的实部≤0
工程控制基础
第三章 时间响应分析
2）
Im[si]绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高， 它影响着【系统响应的准确性】。
工程控制基础
第三章 时间响应分析
3.2 典型输入信号
在控制工程中，常用的输入信号有两大类：
•其一是系统正常工作时的输入信号；
•其二是外加的测试信号。
1）一阶系统的单位脉冲响应
➢ω(t)=
ω(tc()t)
1 T
初初始始斜斜率率＝＝Ｔ１-Ｔ１2
(t )
1 T
t
e T （t≥0）
0.368 1
T
0.135
1 T
1 0.018 T
0 T 2T 3T 4T
t
图3-2 一阶系统的 单位脉冲响应曲线
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第三章 时间响应分析
➢一阶系统的调整时间为4T
an
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
...
a1 y(t)
a0
y(t)
x(t)
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第三章 时间响应分析
输入引起的
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
第3章 系统的时间响应分析
第3章 系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（微分方程或传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。
第3.1节 时间响应及其组成一、时间响应的概念所谓时间响应指系统在外加激励作用下，其输出量随时间变化的函数关系。
或者说 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式；在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
自变量为时间t ，因变量为输出()[()]o x t y t二、时间响应的组成分析：第一、二项是由微分方程的初始条件（即系统的初始状态）引起的自由振动，即自由响应。
ω。
应该说第三项的自第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为nω与作用力频率ω无关，由响应并不完全自由。
因为它的幅值受到F的影响，当然，它的频率n自由即在此。
第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率ω。
因此系统的时间响应可从两方面分类：按振动性质可分为自由响应与强迫响应，按振动来源可分为零输入响应（即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应）与零状态响应（即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应）Array所以我们的研究对象是：零状态响应。
另外还有两个需了解的概念：瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应：系统在外加激励作用后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。
反映了系统的快、稳特性。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态为稳态响应。
反映系统的准确性。
三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡第3.2节 典型的输入信号由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时，需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型信号的时间响应。
不同系统或参数不同的同一系统对同一典型信号的时间响应不同，反映出各种系统动态特性的差异，从而可以定出相应的性能指标，对系统的性能予以评定。
尽管在实际中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型信号的时间响应和对任意信号的时间响应之间存在一定的关系统，所以知道系统对典型信号的响应就可求出对任意输入的响应。
控制工程基础-第三章时间响应分析第一二节
2020年11月4日星期三2时17分22秒
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
上面分析的是一个特殊的简单的例子，主要目的是 为下面的一般情况的分析作引子。
对于一般情况（线性常微分方程的输入函数没有导 数项，只有一次项），设系统的动力学方程为：
an
y (n)
如图所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统
在外力(即输入)Fcosωt的作用下，系统的动力学方程用
常微分方程表示为：
my(t) ky(t) F cost
由高等数学知识可知这一 非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
式中：yl(t)是齐次微分方程的通解； y2(t)是其一个特解。
的关系和0型、I型、Ⅱ型系统的稳态偏差。 6、单位脉冲函数及单位脉冲响应函数的重要意义。
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
时间响应及其组成的含义： 时间响应：是指系统的响应（输出）在时域里的表现形
式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解
将系数A、B代入整理得方程的最终解为：
自由响应 强迫响应
y(t) y(0n ) sinnt y(0) cosnt Fk 112 cosntFk 112cost
零输入响应
零状态响应
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
3第三章 系统的时间响应分析
( 2 1)nt
2 2 1
-1 0
1
2 t(sec) 2 t(sec) 2 t(sec)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) u(t)
L[u(t)] 1 s
X o (s)
G(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
1 s
xo(t)
n
2
1
s 2n
1
s (s n jd )(s n jd )
xi1 (t) xo2 (t) xi2 (t) xo1 (t)
实际中经常使用下述两类输入信号：系 统正常工作时的输入信号和外加测试信号；
输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏 系统的正常运行，然而，这不一定能保证有 足够的能激励系统的信息，从而获得对系统 动态特性的全面了解；
测试信号在实验条件下用得很成功，但在 实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大， 往往不能使用。
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[
1 Ts
1
1 s
]
0T
1 et T
t(sec)
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t)
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
G(s)
1 s2
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
由Xo(s)=Xi(s)G(s) =Xi(s)W(s)
可得： xo(t)=xi(t)*w(t)
机械工程控制基础_第三章
初始条件：设t 0时，y(t ) y(0)，y(t ) y(0)
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
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k 297 N / m
（2）求m M p exp( / 1 2 ) 100% 0.0029 9.6% 0.6 0.03 将tp和ξ代入tp计算式 t p 2s, 0.6 tp
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易朋兴
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3.3 二阶系统时间响应
二阶系统：
特征方程 s2 2n s n2 0 特征根 特征根在S平面上的分布
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 ωn、ζ ：特征参数 i n n
已知系统响应曲线或性能指标，辨识系统参数
例3-2：图示机械系统，在质量块上xi(t)=8.9N的力后，质量块的 响应曲线xo(t)如图所示，求m、k、c xi ( t ) 8.9N ,xo ( ) 0.03m,x o( t p ) x o( ) 0. 0029m,t p 2s 解：由图可知
• 当 0 1 ，系统为欠阻尼系统时
d n 1 2
:二阶系统的有阻尼固有频率 易朋兴
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3.3 二阶系统时间响应
二阶系统：
单位脉冲响应
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) 2 X i ( s ) s 2 2n s n
单位脉冲响应 单位阶跃信号
传递函数：
单位斜坡信号
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易朋兴
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3.2 一阶系统时间响应
一阶系统：微分方程 性能指标：调整时间ts
传递函数：
一阶系统地阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-△）所需要的时间 （ △为允许误差） 稳态值 △· 稳态值
ts
调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统惯性越大，调整时间越 长，响应越慢
3.4 二阶系统性能指标
二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
上升时间tr ：响应曲线第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间
当ζ一定时ωn增大tr就减小； 当ωn一定时ζ增大， tr就增大
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机电系 易朋兴、熊良才
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第三章 系统时间响应分析
时间响应及其组成 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 二阶系统的性能指标 高阶系统的时间响应 系统的误差分析与计算 单位脉冲响应函数在时间响应中的作用
作业 3.4(3), 3.5, 3.8, 3.12, 3.15, 3.17
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3.4 二阶系统性能指标
已知系统响应曲线或性能指标，辨识系统参数
例3-2：图示机械系统，在质量块上xi(t)=8.9N的力后，质量块的 响应曲线xo(t)如图所示，求m、k、c
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3.4 二阶系统性能指标
系统传递函数为 而
Xi ( s ) 8. 9 N s
G( s )
XO ( s ) 1 X i ( s ) ms 2 cs k
（1）求k
t
根据拉氏变换终值定理
s0 s0
xo ( ) limxo ( t ) lims.X o ( s ) lims
1 8.9 8.9 . N N ms 2 cs k s k
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3.4 二阶系统性能指标
二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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3.1 时间响应及其组成
控制系统中典型输入信号
单位脉冲信号 单位阶跃信号 单位斜坡信号
单位抛物线信号
正弦信号
随机信号
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3.2 一阶系统时间响应
一阶系统： 微分方程 单位脉冲响应
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3.4 二阶系统性能指标
二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
峰值时间tp ：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间
当ζ一定时ωn增大tp就减小； 当ωn一定时ζ增大， tp就增大
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、
二阶系统的阻尼比影响系统的振荡特性，阻尼比越小，振荡越剧烈
不同阻尼比时的振荡情况比较如下
单位脉冲信号 单位阶跃信号
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3.4 二阶系统性能指标
二阶欠阻尼系统瞬态性能指标： 上升时间 t r 、峰值时间
t p 、最大超调量 M p 、调整时间 t s 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
最大超调量Mp ：
Mp与ωn无关，只与ζ有关；
当ζ增大， Mp就减小，反之亦然
ωn、ζ
• 当 0 ，系统为零阻尼系统时
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3.3 二阶系统时间响应
二阶系统：
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ωn、ζ
单位脉冲响应
• 当
1
，系统为临界阻尼系统时
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3.1 时间响应及其组成
系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
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3.1 时间响应及其组成
系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
若所有特征根均有负实部， 系统自由响应项收敛于0， 系统稳定。 此时自由响应称为瞬态响应
4
3.1 时间响应及其组成
初态为零由输入引起的强迫响应
初始条件引起的解 自由响应
输入引起的自由响应 输入引起的强迫响应 强迫响应
零输入响应
零状态响应
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3.1 时间响应及其组成
时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，数 学上即系统微分方程在一定初始条件下的解。 一般情况，系统动态方程为
若存在特征根具有正实部， 若存在特征根实部为0， 系统自由响应项发散， 其余实部为负，则自由响应 系统不稳定 称为瞬态响应项等幅振荡 系统临界稳定
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3.1 时间响应及其组成
系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性 结论 特征根实部影响自由响应项的收敛性 若所有特征根均有负实部，系统自由响应项收敛，系 统稳定，此时自由响应称为瞬态响应，强迫响应项称 为稳态响应 若存在特征根实部为正，系统自由响应项发散，系统 不稳定 若存在特征根实部为0，其余实部为负，则自由响应 等幅振荡,系统临界稳定 特征根的虚部影响自由响应项的振荡频率 虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈
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3.3 二阶系统时间响应
二阶系统：
单位脉冲响应
Xo ( s ) n2 传递函数：G( s ) X ( s ) s 2 2 s 2 i n n
ω n、
• 当 1 ，系统为过阻尼系统时
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3.1 时间响应及其组成
时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，数 学上即系统微分方程在一定初始条件下的解。 如图示系统 外力作用（输入）：
动力学方程
根据微分方程解的理论
式中
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3.4 二阶系统性能指标
总结