第四章时间响应分析
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机械工程控制基础(复习要点)
d tr tan ( ) d d
1
1
2）峰值时间：响应曲线达到第一个峰值所需 的时间。
tp d 1 2 n
3）最大超调量 M p ：常用百分比值表示为：
Mp x0 (t p ) x0 () x0 ( )
( / 1 2 )
第四章 频率特性分析
1、频率响应与频率特性
频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。 幅频特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳 态输出信号和输入信号的幅值比，记为A(ω)； 相频特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳 态输出信号和输入信号的相位差，记为φ(ω)； 频率特性：幅频特性与相频特性的统称。即：线性 定常系统在简谐信号激励下，其稳态输出信号 和输入信号的幅值比、相位差随激励信号频率 ω变化特性。记为
G B s 1 Gk s G q s
第三章 时间响应分析
1、时间响应及其组成 时间响应：系统在激励作用下，系统输出随 时间变化关系。 时间响应可分为零状态响应和零输入响应或 分为自由响应和强迫响应。 零状态响应：“无输入时的系统初态”为零 而仅由输入引起的响应。 零输入响应：“无输入时的系统初态”引起 的自由响应。 控制工程所研究的响应往往是零状态响应。
K 增益 T 1Fra bibliotekn 时间常数 n 固有频率
阻尼比
6)一阶微分环节： G s s 1 7)二阶微分环节： G s s 2 s 1
2 2
8)延时环节： G s e s
7、系统各环节之间的三种连接方式：
串联：
G s Gi s
G ( j ) A e
j
频率特性又称频率响应函数，是激励频率ω的函数。 频率特性：在零初始条件下，系统输出y(t)的傅里叶 变换Y(ω)与输入x(t)的傅里叶变换X(ω)之比，即 Y j G ( j ) A e X
1
1
2）峰值时间：响应曲线达到第一个峰值所需 的时间。
tp d 1 2 n
3）最大超调量 M p ：常用百分比值表示为：
Mp x0 (t p ) x0 () x0 ( )
( / 1 2 )
第四章 频率特性分析
1、频率响应与频率特性
频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。 幅频特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳 态输出信号和输入信号的幅值比，记为A(ω)； 相频特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳 态输出信号和输入信号的相位差，记为φ(ω)； 频率特性：幅频特性与相频特性的统称。即：线性 定常系统在简谐信号激励下，其稳态输出信号 和输入信号的幅值比、相位差随激励信号频率 ω变化特性。记为
G B s 1 Gk s G q s
第三章 时间响应分析
1、时间响应及其组成 时间响应：系统在激励作用下，系统输出随 时间变化关系。 时间响应可分为零状态响应和零输入响应或 分为自由响应和强迫响应。 零状态响应：“无输入时的系统初态”为零 而仅由输入引起的响应。 零输入响应：“无输入时的系统初态”引起 的自由响应。 控制工程所研究的响应往往是零状态响应。
K 增益 T 1Fra bibliotekn 时间常数 n 固有频率
阻尼比
6)一阶微分环节： G s s 1 7)二阶微分环节： G s s 2 s 1
2 2
8)延时环节： G s e s
7、系统各环节之间的三种连接方式：
串联：
G s Gi s
G ( j ) A e
j
频率特性又称频率响应函数，是激励频率ω的函数。 频率特性：在零初始条件下，系统输出y(t)的傅里叶 变换Y(ω)与输入x(t)的傅里叶变换X(ω)之比，即 Y j G ( j ) A e X
控制工程习题 第四章
习题四 题型：判断题 题目：最小相位系统一定是稳定系统，稳定系统一定是最小相位系统。
习题五
题型：填空题
题目：在最小相位系统中，对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋
势
。
B、 G(s) F(t) C、 G(s) L(t) D、 G( j) F(t)
习题四
题型：选择题
题目：以下说法正确的有（
）。
A、时间响应只能分析系统瞬态特性
B、系统的频率特性包括幅频特性和相频特性，它们都是频率ω的函数
C、时间响应和频率特性都能揭示系统动态特性
D、频率特性没有量纲
习题三 题型：单项选择题 题目：某环节频率特性图 Nyquist 如图 1 所示，则该环节是（）。 A、比例环节 B、微分环节 C、延迟环节 D、惯性环节
习题四 题型：单项选择题 题目：某环节频率特性 Nyquist 图如图 2 所示，则该环节是（）。 A、比例环节 B、微分环节
C、积分环节 D、惯性环节
第四章
第一节（1）
习题一 题型：填空题 题目：线性定常系统对正弦信号（谐波输入）的
称为频率响应。
习题二 题型：填空题 题目：频率响应是系统对___________的稳态响应；频率特性 G（jω）与传 递函数 G（s）的关系为________。
习题三 题型：单项选择题 题目：以下关于频率特性、传递函数和单位脉冲响应函数的说法错误的是（）。 A、 G( j) G(s) s j
E、频率特性反映系统或环节对不同频率正弦输入信号的放大倍数和相移
习题五 题型：填空题 题目：通常将
和
统称为频率特性。
第一节（2）
习题一 题型：综合题
题目：已知系统的单位阶跃响应为 xo t 1 1.8e4t 0.8e 9t，t 0，试求系统
时间序列分析第四章ARMA模型的特性 王振龙第二版
第四章 ARMA模型的特性
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t ) a0 y(t ) u(t )
可转化为
y(t ) u(t ) y(t 1) a0 1 a0 其中 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k， a0’就用a0表示，则得到一阶线性常系数差分方程
它的特征方程为： n an1 n1 ... a1 a0 0
设特征方程有不相等n个根
1, 2 ,..., n
k C ii i 1 n
则齐次方程的通解为：y (k )
若特征方程有一个l 重根，不妨设为 1 ... l 则齐次方程的通解为:
y(k ) (C1 C2 k ... Cl k l 1 )1k Ci ik
1 1 2 1 , C2 , C1 C2 1 C1 1 2 2 1 C1 C2 于是 X t at 1 1 B 1 2 B
j j j j C1 (1B) C2 (2 B) at C11 C22 at j j 0 j 0 j 0 G j at j
即：
X a
j 0
j 1 t j
k
t
t k 1
ak
上式右端是驱动函数at 的线性组合，显示了系统对现在以 及过去扰动的记忆
若
1 1，则
随着 j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；
1j
若
1 0 ，则
随着 j 的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱； 客观地描述了系统的动态性
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t ) a0 y(t ) u(t )
可转化为
y(t ) u(t ) y(t 1) a0 1 a0 其中 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k， a0’就用a0表示，则得到一阶线性常系数差分方程
它的特征方程为： n an1 n1 ... a1 a0 0
设特征方程有不相等n个根
1, 2 ,..., n
k C ii i 1 n
则齐次方程的通解为：y (k )
若特征方程有一个l 重根，不妨设为 1 ... l 则齐次方程的通解为:
y(k ) (C1 C2 k ... Cl k l 1 )1k Ci ik
1 1 2 1 , C2 , C1 C2 1 C1 1 2 2 1 C1 C2 于是 X t at 1 1 B 1 2 B
j j j j C1 (1B) C2 (2 B) at C11 C22 at j j 0 j 0 j 0 G j at j
即：
X a
j 0
j 1 t j
k
t
t k 1
ak
上式右端是驱动函数at 的线性组合，显示了系统对现在以 及过去扰动的记忆
若
1 1，则
随着 j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；
1j
若
1 0 ，则
随着 j 的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱； 客观地描述了系统的动态性
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
武科大城市学院
机电学部
4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
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图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
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2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
第四章 频率特性分析(第9讲)
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
xo (t ) =
XiK 1+ T ω
2 2
sin(ωt − arctan Tω )
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数即 比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 X i 、频率 ω有关； XiK 幅值 1 + T 2ω 2 相位差
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
式中， u (ω ) 是频率特性的实部，称为实频特性， v (ω ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性。 显然有：u (ω ) = A(ω ) cos ϕ (ω ),
也是一个复数，可以写成：
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
因此，传递函数与频率特性的关系为：
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就 变为频率特性。它是传函的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数。 频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输 出信号与输入信号的量纲之比。同前面介绍的 微分方程、传递函数、脉冲响应函数等一样， 也是线性控制系统的数学模型。
X iω bm s m + bm −1s m −1 + ⋅⋅⋅ + b1s + b0 X o ( s ) = X i ( s )G ( s ) = 2 ⋅ 2 s + ω an s n + an −1s n −1 + ⋅⋅⋅ + a1s + a0
xo (t ) =
XiK 1+ T ω
2 2
sin(ωt − arctan Tω )
从上式可知，系统的稳态响应的幅值与系统的参数即 比例系数K、时间常数T以及输入谐波的幅值 X i 、频率 ω有关； XiK 幅值 1 + T 2ω 2 相位差
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = u (ω ) + jv (ω )
式中， u (ω ) 是频率特性的实部，称为实频特性， v (ω ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性。 显然有：u (ω ) = A(ω ) cos ϕ (ω ),
也是一个复数，可以写成：
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω )
因此，传递函数与频率特性的关系为：
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
G ( jω ) = G ( s ) s = jω
传递函数的复变量s用jω代替后，传递函数就 变为频率特性。它是传函的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数。 频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输 出信号与输入信号的量纲之比。同前面介绍的 微分方程、传递函数、脉冲响应函数等一样， 也是线性控制系统的数学模型。
X iω bm s m + bm −1s m −1 + ⋅⋅⋅ + b1s + b0 X o ( s ) = X i ( s )G ( s ) = 2 ⋅ 2 s + ω an s n + an −1s n −1 + ⋅⋅⋅ + a1s + a0
456章《控制工程基础习题详解》高等教育出版社 2010.6
四、稳态偏差
1.参考输入作用下系统的稳态偏差
R( s) +
E (s)
G(s) H (s)
C (s)
-
图 4-1 参考输入作用下系统方框图
ε ss = lim s ⋅ E ( s) = lim
s →0
s R( s) s →0 1 + G ( s ) H ( s )
2.干扰作用下系统的稳态误差
N ( s)
Φ ( s) =
ω n2 C (s) = 2 2 R( s ) s + 2ξω n s + ω n
为了使系统对阶跃输入的响应有约 5%的超调量和 2 秒的调整时间，试求 ξ 和 ω n 。
−
ξπ
1−ξ 2
解：由 M p 解得
=e
= 500
ξ = 0.69
若 Δ = 0.02
ts =
4
ξωn
2
=2 2 = 2.9(rad s) 0.69
R( s) +
E (s)
−
G1 ( s )
+
+
G2 ( s )
C (s)
H ( s)
图 4-2 干扰作用下的反馈系统方框图
e ss N = lim s ⋅ E ( s ) = − lim
s →0 s →0
sG 2 ( s ) N (S ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
37
−60 t
− 1.2e −10t ，试求：
42
第四章 系统的时间响应分析 （2）系统的阻尼比 ξ 和无阻尼固有频率 ω n 。 解： （1）单位阶跃响应的拉氏变换为 C ( s ) = 系统的闭环传递函数为
操作系统原理-第四章 处理机调度(有答案)
第四章处理机调度4.3 习题4.3.1 选择最合适的答案1．某系统采用了银行家算法，则下列叙述正确的是（）。
A.系统处于不安全状态时一定会发生死锁B.系统处于不安全状态时可能会发生死锁C.系统处于安全状态时可能会发生死锁D.系统处于安全状态时一定会发生死锁2．银行家算法中的数据结构包括有可利用资源向量Available、最大需求矩阵Max、分配矩阵Allocation、需求矩阵Need，下列选项正确的是（）。
A.Max[i,j]=Allocation[i,j]+Need[i,j]B.Need[i,j]= Allocation[i,j]+ Max[i,j]C.Max[i,j]= Available[i,j]+Need[i,j]D.Need[i,j]= Available[i,j]+ Max[i,j]3．下列进程调度算法中，（）可能会出现进程长期得不到调度的情况。
A.非抢占式静态优先权法B.抢占式静态优先权法C.时间片轮转调度算法D.非抢占式动态优先权法4．在下列选项中，属于预防死锁的方法是（）。
A.剥夺资源法B.资源分配图简化法C.资源随意分配D.银行家算法5．在下列选项中，属于检测死锁的方法是（）。
A.银行家算法B.消进程法C.资源静态分配法D.资源分配图简化法6．在下列选项中，属于解除死锁的方法是（）。
A．剥夺资源法 B.资源分配图简化法C．银行家算法 D.资源静态分配法7．为了照顾紧迫型作业，应采用（）。
A.先来服务调度算法B.短作业优先调度算法C.时间片轮转调度算法D.优先权调度算法8．在采用动态优先权的优先权调度算法中，如果所有进程都具有相同优先权初值，则此时的优先权调度算法实际上和（）相同。
A.先来先服务调度算法B.短作业优先调度算法C.时间片轮转调度算法D.长作业优先调度算法9．作业从后备作业到被调度程序选中的时间称为（）。
A.周转时间B.响应时间C.等待调度时间D.运行时间10．资源静态分配法可以预防死锁的发生，它们使死锁四个条件中的（）不成立。
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线中，以 1时的过渡时间最短，
在欠阻尼系统中，当 0.4～0.8时，
不仅其过渡时间比 1 时更短，
而且振荡不太严重。
图13不同 下二阶系统的单位阶跃响应曲线
由图可知二阶系统的单位阶跃函数的过渡过程随着阻尼比
的减小，其振荡特性表现的愈加强烈，
三．二阶系统的单位脉冲响应
图14不同 下二阶系统的单位脉冲响应曲线
s0
s
H
s
1
1
Gs
H
s
X
i
s
k0.5s 1
例5：已知单位反馈系统的开环传递函数为 ss 12s 1 ，当输入信
号 xi t t时，求系统的稳态误差。
三．输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系
GsH s
k1s 1 2s 1 sv T1S 1T2 S 1
三．一阶系统的单位脉冲响应
当系统的输入信号为理想的单位脉冲信号时，系
统的输出称为单位脉冲响应函数
wt
1
t
eT
T
t 0
图7 一阶系统单位脉冲响应 图8 不同时间常数下的响应情况
四．响应之间的关系
xi t
t
1
t
1 t2 2
xo t
1
t
eT
T
t
1e T
t
t T Te T
主要讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应
令 arctan
1 2
，
角是系统的极点向量与负实轴的夹角，
图9 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
图10零阻尼状态二阶系统单位阶跃响应曲线
当 0 时是等幅振荡；在 1和 1 时，二阶系统的过渡过程具
有单调上升的特性。从过渡过程的持 续时间来看，在无振荡单调上升的曲
s1
1
GsH
s
X
i
s
lim
s0
1
1
Gs
v0 s
lim
v0
sGs
s0
v0 sk
lim sv
?
3.输入抛物线信号
xi
t
1 2
a0t 2
X
i
s
a0 s3
s0
ess
lim s s0
H
s
1
1 G
s
H
s
X
i
s
lim
s0
1
结论：
1.要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合
适的阻尼比 和无阻尼固有频率 n，提高n可以提
高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间、
和调整时间；增大 可以减弱系统的振荡性能，但
是会增大上升时间和峰值时间。
k 现2的.n， 另mk 外，由所于以
n
2的cm提k，高所，以一增般大是通，过当提然高希望k 减值小来实，
1.单位阶跃信号 2.单位脉冲信号
5.正弦信号
3.单位斜坡信号（单位速度信号） 4.单位抛物线信号（单位加速度信号）
4.3一阶系统的时间响应
一．一阶系统的数学模型
由一阶微分方程 T
dx0 t
dt
x0 t
xi t
描述的系统
称为一阶系统。
传递函数
Gs 1
Ts 1
T
1 k
例2：已知 ＝0.6，n ＝5，求系统的性能指标。
例3:如后图，所m 示的时a间的响机应械x系o t统如，图在b质量所示m 上，施求加系阶统跃的力m,xki
t
,c
8.9
N
a
例4：如图 a 所示的机械系统，在质量 m 上施加的阶跃 力3N 后，m 的时间响应 xt 如图b 所示，求系统的
二．稳态误差的计算
根据终值定理 ess lim et lim sEs
e
s0
Es
X or
s
X
o
s
1
H s
Xi
s
1
Gs GsH s
Xi
s
H s1
1
GsH s
X
i
s
ess
lim sEs
s0
lim
m 1 Tnv s 1
V为开环传递函数中包含积分环节的数目
v 0 的系统称为0型系统
v 1 的系统称为Ⅰ型系统 v 2 的系统称为Ⅱ型系统
稳态误差与系统的型别有关，下面分析三种不同输入信号输 入时系统的稳态误差。
为了便于说明，我们以单位反馈系统 H s 1的情况进行讨论
m, k, c
4.4稳态误差分析与计算
所谓准确性它指瞬态响应结束后，实际的输出与希望的 输出量之间的偏差——稳态误差， 一．稳态误差的定义
拉氏变换为 E1s X or s X o s
拉氏变换为 Es X i s Bs X i s H sX o s
1．输入阶跃信号
X
i
s
r0 s
稳态误差
ess
lim
s0
s
H
s
1
1
Gs
H
s
X
i
s
lim
s0
s
1
1
Gs
r0 s
2．输入斜坡信号
Xi
s
v0 s2
1
r0 lim
Gs
s0
1
r0 lim
k sv
s0
＝？
ess
lim
s0
s
H
3.最大超调量M p ：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量 4.调整时间 ts ：在响应曲线的稳态值附近取稳态值的 5％或 2％ 作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最 小时间。
5.振荡次数 N ：在过渡过程时间 0 t ts内，xo t 穿越其稳态
值的次数的一半。
例1
如图1所示是一简单的振动系统
••
系统的动力学方程： m yt kyt F cost
yt
y•0
n
s
in
n
t
y0cosnt
F k
•1
1 2
cosntF k Nhomakorabea•1
1 2
cost
系统的时间响应可以从两方面分类 1.按振动性质可分为自由响应与强迫响应 2.按振动来源可分为 零输入响应：没有输入时系统的初始状态引起的响应。 零状态响应：没有输入时系统的初始状态为零，而由
应为
xo u
t
L1
1 Ts
1
•
1 s
L1
1
s
s
1 1
T
1
t
eT
t 0
一个是A点，其对应的时间t T
系统的响应达到了稳态值的63.2％；
另外一个是零点，其对应的t 0 指数曲线在那一点的切线斜率等于
1
图4一阶系统单位阶跃响应 T
1
t2
Tt
T
2
e
t T
2
如果输入函数等于某一函数 的积分，则该输入函数的响 应函数等于这一函数的响应 函数的积分，但是如果为不 定积分，则还需确定积分常 数。 如果输入函数等于某一函数 的微分，则该输入函数的响 应函数等于这一函数的响应 函数的微分。
例1：已知系统的单位脉冲响应函数为
w t 10e0.2t 5e0.5t
慢。
图6一阶系统的性能指标
例1：已知
G1 s
1 10s 1
，G2 s
s
1 1
，将此两环节串联在
一起，求系统的单位阶跃响应。
极点分布
单位阶跃响应
当两极点到虚轴的垂直距离的 比值超过5倍时，远离虚轴的 极点在瞬态响应中的作用可近 似的忽略不及。并且靠虚轴最 近的一个或一对极点周围没有 零点时，我们可以把多个极点 的高阶系统，近似简化成一阶 或二阶系统来讨论.
a0 k
0
例：单位反馈系统开环传递函数Gs
10
s 2 s
4
，当输入信号
为xi t 4 6t 3t 2 时，系统的稳态误差
例：单位反馈系统开环传递函数Gs
10
ss
4
，当输入信号
为xi t 4 6t 3t 2 时，系统的稳态误差
结论： ☆ 稳态误差与输入信号有关；
可见系统的响应速度与振荡性能之间是存在矛盾的。因
此即要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应
速度，那就只有选择合适的 n 和 才能实现。
四．二阶系统响应的性能指标
1.上升时间
tr
d
n 1 2
当
一定时，
n增大，t
r
减小；当
n
一定时，
增大，t r
求（1）系统的传递函数 （2）确定系统的单位阶跃响应达到稳态值 的 95％所需要的时间
4.3二阶系统的时间响应
一．典型二阶系统的数学模型
n ——无阻尼固有频率
——阻尼比
随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。
在欠阻尼系统中，当 0.4～0.8时，
不仅其过渡时间比 1 时更短，
而且振荡不太严重。
图13不同 下二阶系统的单位阶跃响应曲线
由图可知二阶系统的单位阶跃函数的过渡过程随着阻尼比
的减小，其振荡特性表现的愈加强烈，
三．二阶系统的单位脉冲响应
图14不同 下二阶系统的单位脉冲响应曲线
s0
s
H
s
1
1
Gs
H
s
X
i
s
k0.5s 1
例5：已知单位反馈系统的开环传递函数为 ss 12s 1 ，当输入信
号 xi t t时，求系统的稳态误差。
三．输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系
GsH s
k1s 1 2s 1 sv T1S 1T2 S 1
三．一阶系统的单位脉冲响应
当系统的输入信号为理想的单位脉冲信号时，系
统的输出称为单位脉冲响应函数
wt
1
t
eT
T
t 0
图7 一阶系统单位脉冲响应 图8 不同时间常数下的响应情况
四．响应之间的关系
xi t
t
1
t
1 t2 2
xo t
1
t
eT
T
t
1e T
t
t T Te T
主要讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应
令 arctan
1 2
，
角是系统的极点向量与负实轴的夹角，
图9 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
图10零阻尼状态二阶系统单位阶跃响应曲线
当 0 时是等幅振荡；在 1和 1 时，二阶系统的过渡过程具
有单调上升的特性。从过渡过程的持 续时间来看，在无振荡单调上升的曲
s1
1
GsH
s
X
i
s
lim
s0
1
1
Gs
v0 s
lim
v0
sGs
s0
v0 sk
lim sv
?
3.输入抛物线信号
xi
t
1 2
a0t 2
X
i
s
a0 s3
s0
ess
lim s s0
H
s
1
1 G
s
H
s
X
i
s
lim
s0
1
结论：
1.要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合
适的阻尼比 和无阻尼固有频率 n，提高n可以提
高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间、
和调整时间；增大 可以减弱系统的振荡性能，但
是会增大上升时间和峰值时间。
k 现2的.n， 另mk 外，由所于以
n
2的cm提k，高所，以一增般大是通，过当提然高希望k 减值小来实，
1.单位阶跃信号 2.单位脉冲信号
5.正弦信号
3.单位斜坡信号（单位速度信号） 4.单位抛物线信号（单位加速度信号）
4.3一阶系统的时间响应
一．一阶系统的数学模型
由一阶微分方程 T
dx0 t
dt
x0 t
xi t
描述的系统
称为一阶系统。
传递函数
Gs 1
Ts 1
T
1 k
例2：已知 ＝0.6，n ＝5，求系统的性能指标。
例3:如后图，所m 示的时a间的响机应械x系o t统如，图在b质量所示m 上，施求加系阶统跃的力m,xki
t
,c
8.9
N
a
例4：如图 a 所示的机械系统，在质量 m 上施加的阶跃 力3N 后，m 的时间响应 xt 如图b 所示，求系统的
二．稳态误差的计算
根据终值定理 ess lim et lim sEs
e
s0
Es
X or
s
X
o
s
1
H s
Xi
s
1
Gs GsH s
Xi
s
H s1
1
GsH s
X
i
s
ess
lim sEs
s0
lim
m 1 Tnv s 1
V为开环传递函数中包含积分环节的数目
v 0 的系统称为0型系统
v 1 的系统称为Ⅰ型系统 v 2 的系统称为Ⅱ型系统
稳态误差与系统的型别有关，下面分析三种不同输入信号输 入时系统的稳态误差。
为了便于说明，我们以单位反馈系统 H s 1的情况进行讨论
m, k, c
4.4稳态误差分析与计算
所谓准确性它指瞬态响应结束后，实际的输出与希望的 输出量之间的偏差——稳态误差， 一．稳态误差的定义
拉氏变换为 E1s X or s X o s
拉氏变换为 Es X i s Bs X i s H sX o s
1．输入阶跃信号
X
i
s
r0 s
稳态误差
ess
lim
s0
s
H
s
1
1
Gs
H
s
X
i
s
lim
s0
s
1
1
Gs
r0 s
2．输入斜坡信号
Xi
s
v0 s2
1
r0 lim
Gs
s0
1
r0 lim
k sv
s0
＝？
ess
lim
s0
s
H
3.最大超调量M p ：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量 4.调整时间 ts ：在响应曲线的稳态值附近取稳态值的 5％或 2％ 作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最 小时间。
5.振荡次数 N ：在过渡过程时间 0 t ts内，xo t 穿越其稳态
值的次数的一半。
例1
如图1所示是一简单的振动系统
••
系统的动力学方程： m yt kyt F cost
yt
y•0
n
s
in
n
t
y0cosnt
F k
•1
1 2
cosntF k Nhomakorabea•1
1 2
cost
系统的时间响应可以从两方面分类 1.按振动性质可分为自由响应与强迫响应 2.按振动来源可分为 零输入响应：没有输入时系统的初始状态引起的响应。 零状态响应：没有输入时系统的初始状态为零，而由
应为
xo u
t
L1
1 Ts
1
•
1 s
L1
1
s
s
1 1
T
1
t
eT
t 0
一个是A点，其对应的时间t T
系统的响应达到了稳态值的63.2％；
另外一个是零点，其对应的t 0 指数曲线在那一点的切线斜率等于
1
图4一阶系统单位阶跃响应 T
1
t2
Tt
T
2
e
t T
2
如果输入函数等于某一函数 的积分，则该输入函数的响 应函数等于这一函数的响应 函数的积分，但是如果为不 定积分，则还需确定积分常 数。 如果输入函数等于某一函数 的微分，则该输入函数的响 应函数等于这一函数的响应 函数的微分。
例1：已知系统的单位脉冲响应函数为
w t 10e0.2t 5e0.5t
慢。
图6一阶系统的性能指标
例1：已知
G1 s
1 10s 1
，G2 s
s
1 1
，将此两环节串联在
一起，求系统的单位阶跃响应。
极点分布
单位阶跃响应
当两极点到虚轴的垂直距离的 比值超过5倍时，远离虚轴的 极点在瞬态响应中的作用可近 似的忽略不及。并且靠虚轴最 近的一个或一对极点周围没有 零点时，我们可以把多个极点 的高阶系统，近似简化成一阶 或二阶系统来讨论.
a0 k
0
例：单位反馈系统开环传递函数Gs
10
s 2 s
4
，当输入信号
为xi t 4 6t 3t 2 时，系统的稳态误差
例：单位反馈系统开环传递函数Gs
10
ss
4
，当输入信号
为xi t 4 6t 3t 2 时，系统的稳态误差
结论： ☆ 稳态误差与输入信号有关；
可见系统的响应速度与振荡性能之间是存在矛盾的。因
此即要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应
速度，那就只有选择合适的 n 和 才能实现。
四．二阶系统响应的性能指标
1.上升时间
tr
d
n 1 2
当
一定时，
n增大，t
r
减小；当
n
一定时，
增大，t r
求（1）系统的传递函数 （2）确定系统的单位阶跃响应达到稳态值 的 95％所需要的时间
4.3二阶系统的时间响应
一．典型二阶系统的数学模型
n ——无阻尼固有频率
——阻尼比
随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。