常见最值问题的解法
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
代数最值问题的常用解法
代数最值问题的常用解法
代数最值问题在数学中是一个常见的问题，它涉及到寻找代数表达式的最大值或最小值。
解决这类问题通常需要一些技巧和策略，下面是一些常用的方法：
1.配方法：对于形如 ax^2 + bx + c 的二次函数，如果
a > 0，则函数有最小值，该最小值为 (4ac - b^2) / 4a；如
果 a < 0，则函数有最大值，该最大值为 (4ac - b^2) /
4a。
这种方法的关键是将原式转化为完全平方的形式。
2.不等式法：利用基本不等式（如AM-GM不等式）来找
到代数表达式的上界或下界。
这种方法适用于处理含有平方和或平方差的不等式。
3.换元法：通过引入新的变量来简化代数表达式。
这通
常用于处理复杂的代数表达式或无理函数的最值问题。
4.导数法：对于一些难以直接分析的函数，求导后可以
通过分析导数的正负来判断函数的单调性，从而找到极值点。
5.参数方程法：对于含有参数的代数表达式，可以通过
参数的变化来找到最值。
这种方法常用于处理三角函数的最值问题。
6.数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过分析
图形来找到最值。
这种方法在处理一些涉及距离、面积或体积的最值问题时非常有效。
7.构造法：通过构造新的函数或表达式来找到最值。
这
需要一定的创造性思维和对数学知识的深入理解。
以上方法并非互斥，有时需要结合使用。
解决代数最值问题时，关键是理解问题的本质，选择合适的方法，并灵活运用数学知识。
对一道求最值题的五种解法
对一道求最值题的五种解法题目：已知， ,，求的最大值。
解法一：基本不等式法转化为关于的不等关系，通过解不等式进而求出分析：借助基本不等式可将条件中的的取值范围。
解：∵∴∵∴当且仅当时，等号成立∴∴∴当且仅当时，等号成立由可得或，当时，取最大值 .∴评注：基本不等式是高中求最值的基本方法之一，能够灵活的将与联系起来，是求解最值问题最优选择。
解法二：解三角形法分析：将题中所给条件放在三角形ABC中，利用余弦定理求出角C,然后利用正弦定理将边化为角，进而将问题转化为三角函数求最值问题。
解：在中，，，分别是内角A、B、C的对边，不妨设，则即在中，由余弦定理及可得∵∴∴ ,∴在中，由正弦定理可得即∴,∴∵∴∴∴∴当，即时，取最大值 .评注:本解法将所给条件巧妙的放在三角形中，利用正余弦定理，实现边角互化，将问题转化为三角函数求最值问题。
解法三：三角换元法分析：通过变形已知条件，根据变形的结构特征，引进三角代换，利用三角函数知识解决此题。
解：由可得设则∴∵∴即最大值为 .∴评注:通过变形，构造平方和关系，引入三角代换，利用三角函数知识解决问题。
解法四：判别式法分析：通过代数换元法，将问题转化为关于的一元二次方程有解来处理。
解：设，则，代入将可得整理可得∵关于的一元二次方程有解，∴即，解得，∴，∴的最大值为，即的最大值为.评注:通过换元法将问题转化成关于的一元二次方程，利用判别式△求解。
解法五：齐次消元法分析：由可知分子分母具有齐次结构，分子分母同除以，令，则，问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。
解：设 ,则，设，则当时.当时，有∴，即，解得且∴的最大值为∴的最大值为∴的最大值为.评注：通过对的等价转化，将问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。
这道题可以使用多种求最值方法求解，关键在于能够根据题目特点做适当变形，巧妙地和所学知识及相应解题方法结合起来。
化难为易，找到解决问题的途径，需要平时学习中勤于思考，多加积累。
指数函数最值的4种解法
指数函数最值的4种解法
指数函数是一类在数学中非常常见的函数，求其最值是一个经典的问题。
以下是4种解法：
1. 导数法
通过对指数函数求导，得到其上升（或下降）的那一段区间，以及端点处是否取极值，判断最大值和最小值。
该方法简单直接，适用于初学者。
2. 对数法
对于底数为 $a > 0$ ($a\ne 1$) 的指数函数 $y = a^x$，可以将其转化为以 $e$ 为底的指数函数 $y = e^{\ln a \cdot x}$。
由于
$e^x$ 的最大值为 $e^1$，因此 $a^x$ 的最大值为 $e^{\ln a}$。
同理可以判断最小值。
该方法需要一定的对数知识。
3. 利用不等式
由于指数函数满足 $a^x > 0$，因此可以结合一些基本的不等式，求解其最值。
有时候，也可以将指数函数转化为其他函数，比如和
式或积式，在此基础上利用不等式求解。
4. 完全平方法
该方法常用于证明一些数学恒等式，不过也可以用来求解指数
函数最值。
具体方法是，将指数函数表示为完全平方后的形式，利
用完全平方公式，求解最值。
无论采用哪种方法，都需要掌握基本的指数函数性质，理解函
数图像，特别是对数函数的图像。
熟练掌握这些知识，才能准确地
判断并解决指数函数求最值的问题。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
值域(最值)问题常见类型及解法.
4
2
2y (t 1)2 8(t 0) 。即 y (, 4]。
五、 基本不等式法：
【理论阐释】
对形如（或可转化为）f (x) ax b ，可利用 a b ab, a2 b2 2ab
x
2
求得最值。注意“一正、二定、三等”。
典例导悟
典例导悟
（2010·四川高考文科·Ｔ11）设
f (x) 的最小值是 f (3) 3 f (1) 6 .
七、数形结合法：
【理论阐释】 适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
典例导悟
求函数f (x) x2 6x 18 x2 10x 26 的最小值。
【解析】f (x) x2 6x 18 x2 10x 26
检验：当 y 1 5
1 5
时，代入①求根， x
2
5 (
6)
2
5
x2 5x 6
y 又由 x2+x-6≠0 得函数
的定义域为
x2 x 6
｛x|x≠2 且 x≠-3｝.
∵2 { x| x2 且 y x-3}，∴ 1 。 5
再检验 y=1 代入①求得 x=2，∴y1，
典例导悟
（ 2010 · 重 庆 高 考 文 科 · Ｔ 19 ） 已 知 函 数 f (x) ax3 x2 bx （ 其 中 常 数 a, b ∈ R ）， g(x) f (x) f '(x) 是奇函数.
（1）求 f (x) 的表达式；
（2）讨论 g(x) 的单调性，并求 g(x) 在区间 1, 2 上的最大值与最小值.
1.
即
a
几何最值问题常用解法初二
几何最值问题常用解法初二几何最值问题是指在给定的几何条件下，求解出某个量的最大值或最小值。
这类问题在数学竞赛和应用问题中经常出现，对学生的综合能力和解题能力提出了要求。
下面将介绍几何最值问题常用的解法。
一、勾股定理求解最大值勾股定理是几何最值问题中应用最广泛的方法之一。
根据勾股定理，对于任意一个直角三角形，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，当已知两条边的长度时，可以通过勾股定理求解另一条边的最大值或最小值。
例题1：在直角三角形ABC中，已知AB=3，BC=4，求AC的最大值。
解法：根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加BC的平方，即AC^2=3^2+4^2=9+16=25。
所以AC的最大值为5。
例题2：在直角三角形ABC中，已知AB=5，AC=13，求BC的最小值。
解法：根据勾股定理，BC的平方等于AC的平方减去AB的平方，即BC^2=13^2-5^2=169-25=144。
所以BC的最小值为12。
二、三角形面积法求解最大值三角形面积公式是几何最值问题中常用的方法之一。
根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，当已知底边和高的一半时，可以通过三角形面积公式求解三角形面积的最大值或最小值。
例题3：已知一个三角形的底边长是6，高的一半是5，求这个三角形的最大面积。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即面积=6*5=30。
所以这个三角形的最大面积是30。
例题4：已知一个三角形的底边长是10，面积是24，求这个三角形的最小高。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即24=10*高/2，解得高=4.8。
所以这个三角形的最小高是4.8。
三、相似三角形属性求解最大值相似三角形属性是几何最值问题中常用的方法之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的边长之比等于对应边的比值，面积之比等于对应边长的平方的比值。
例题5：已知两个相似三角形的面积分别是16和25，求这两个相似三角形的边长之比。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
有关坐标对称及最值问题5种题型
坐标对称及最值问题是数学中的常见问题，常常出现在函数、几何、三角函数等领域。
这类问题需要运用对称思想，以及寻找最值的方法。
下面列举了5种常见的题型及相应的解法。
题型一：函数的最值对于函数f(x)，其最值可能出现在最小值(f(x)min)和最大值(f(x)max)上。
对于这类问题，我们通常需要观察函数的对称性，例如，如果函数是关于原点对称的，那么最小值和最大值可能在左右两侧取得。
解法上，我们通常需要利用导数或其他方法来找到函数的极值点，从而确定最值。
题型二：两点之间的距离在两点之间的距离问题中，如果两个点关于某个轴对称，那么它们之间的距离可以通过简单的轴对称距离公式来计算。
解法上，我们通常需要利用轴对称距离公式，以及两点之间的距离公式来求解。
题型三：圆的半径的最值在圆的半径的最值问题中，如果圆关于某条直线对称，那么我们需要找到圆的半径与对称轴的位置关系，从而确定圆的半径的最值。
解法上，我们通常需要利用圆的半径公式，以及对称轴的位置关系来求解。
题型四：三角形的重心坐标在三角形的重心坐标问题中，如果三个顶点关于某条直线对称，那么我们需要找到重心坐标与对称轴的关系，从而确定重心的坐标。
解法上，我们通常需要利用重心的几何性质，以及对称轴的位置关系来求解。
题型五：椭圆的离心率在椭圆的离心率问题中，如果焦点关于某轴对称，那么我们需要找到椭圆的离心率与对称轴的关系，从而确定椭圆的离心率。
解法上，我们通常需要利用椭圆的离心率公式，以及对称轴的位置关系来求解。
总的来说，坐标对称及最值问题的解法主要依赖于对称性和位置关系。
对于不同类型的题目，我们需要灵活运用这些方法来解决问题。
同时，对于不同类型的题目，也需要进行相应的变化和拓展，以适应更复杂的情况。
希望以上信息对您有所帮助。
如果您有任何具体问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。
求最值问题的6种解法
求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。
以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。
这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。
2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。
这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。
3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。
这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。
4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。
动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。
这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。
5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。
贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。
6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。
这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。
根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。
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常见最值问题的解法
发表时间：2009-07-06T14:27:07.717Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2009年第13期供稿作者：孟占彪[导读] 近几年来，最值问题成为中考数学的热点问题。
本文从不同的角度分析常见最值问题的解法，与大家共同探讨。
常见最值问题的解法
孟占彪
摘要：近几年来，最值问题成为中考数学的热点问题。
本文从不同的角度分析常见最值问题的解法，与大家共同探讨。
关键词：最值；绝对值；线段
作者简介：孟占彪，任教于河南省郑州外国语中学。
一、与绝对值有关的最值问题
例1(2004，南昌)：先阅读下面材料，然后解答问题。
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图1，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之合等于A1到A2的距离。
如图示，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站高在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置，试回答：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据问题（1）的结论，求的最小值。
解（1）由材料知，n为奇数与偶数时，P点的位置不同，当n为偶数时，P应设在第台与第台之间的任何地方；当n为奇数时，P应设在第台的位置。
（2）根据绝对值的几何定义，求的最小值，就是在数轴上找出表示的点，使它到表示1，2，…，617个点的距离之和最小，根据问题（1）的结论，当时，原式的值最小，最小值是：
二、由不等关系确定的最值问题
例2：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，若进行粗加工，每吨加工费为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价为4500元，现将这50吨原料全部加工完。
（1）设其中粗加工吨，获利元，求与的函数关系式。
（不要求写自变量的范围）（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才通报获得最大利润？最大利润是多少？（2005年湖北武汉，课改卷）解析粗加工吨，则细加工为（50-）吨，粗加工每吨利润为（4000-3000）元，细加工每吨利润为（4500-3000）元。
=（4000-3000）-600+（4500-3000）（50-）-900（50-） =-200+30000
由题意知：
∴30≤≤50
当=30时，最大值
=-200×30+30000=24000（元）
故粗加工（天），
精加工（天）。
所以10天粗加工，10天精加工可获得最大利润，最大利润是24000元。
三、由相等关系确定的最值问题
例3：已知：a、b、c均为实数，且满足求a、b、c中最大者的最小值
解∵a+b+c=2＞0，abc=4＞0
∴a、b、c中应为两负一正。
设a＞0，b＜0，c＜0
（1）由可得
∴b、c可看作是方程的两个实数根。
∴
∴a、b、c中的最大者是最小值是4. 四、由垂线段确定的最值问题
例4：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，具有极强的破坏力. 图3 根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220kmB处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心正以15km/h的速度沿北偏东300 方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则成为受台风影响。
问题：该城市受到台风影响的最大风力为几级？
解由点A作AD⊥于点D，则AD就为城市A距台风中心的最短距离，此时A市受这次台风影响最大。
在Rt△ABC中，
∠=300 ，AB=220 ∴
因此其最大风力为级。
五、由完全平方公式确定的最值问题
例5：设为实数，代数式的最小值为。
（第21届江苏省初中数学竞赛试题）分析：配方，得原式 =
显见，当时，原式有最小值3.
六、由判别式确定的最值问题
例6：已知实数a，b，c，满足的最大值为 . (第17届江苏省初中数学竞赛试题) 分析由,得
从而,
即
因为b是实数,故△≥0, 即
当满足题设,因此, 的最大值为2.
七、由方差公式确定的最值问题
例7：求函数的最大值解由原函数式可得＞0 ∴这两个数的方差是：整理，得
八、由二次函数确的最值问题
例8：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发展，当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用20元，设每套的月租金为元，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入—支出费用）为元。
(1)用含的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；
(2)求与之间的二次函数关系式；
(3)当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简在说明理由。
(4)请把(2)中所求出的二次函数配方成的形式，并据此说明，当为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？（2005年河北中考试题）解析:(1)未租出的设备为套，所有未出租设备的支出费用为（2-540）元；
(2)
(3)当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出的设备为32套。
因为出租37套和32套获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套。
(4)
故当时，有最大值为11102.5.
此时租出设备套数为34.5,不为整数,故租出设备应为34(套)或35(套),即当月租金为330元(租出34套)或月租金为320元(租出35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为11100元。
作者单位：河南省郑州外国语中学邮政编码：450041
Solutions to Common Constrained and Unconstrained Optimization
Meng Zhanbiao
Abstract: In recent years, constrained and unconstrained optimization has become a hot issue. This paper discusses and analyzes common constrained and unconstrained optimization from different angles.
Key words: constrained and unconstrained optimization; absolute value; section of line。