几何最值问题(讲义及答案)
中考数学复习《几何最值---瓜豆原理》考点例题PPT讲义
如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？ 【分析】考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO；
考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2．
【模型总结】 为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与 P 的关系相当于旋转+伸缩． 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
中考数学复习《几何最值---瓜豆原理》 考点例题PPT讲义
动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半 径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。 确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法: （1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。 （2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下; ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形
【小结】确定 Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线， 由 Q 为 AP 中点可得：AM=1/2AO． Q 点轨迹相当于是 P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
几何最值问题 (讲义及答案)
几何最值问题（讲义）➢知识点睛1.解决几何最值问题的理论依据：①两点之间，线段最短（已知两个定点）②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）④过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦2.几何最值问题的处理思路：①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．3.常用模型、结构示例：①轴对称最值模型lll求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，定长线段MN在直线l上滑动，使点在线异侧使点在线同侧求AM+MN+BN 的最小值；1/ 72 / 7平移BN （或AM ）②利用图形性质进行转化（三角形三边关系示例）DCABONM求OD 的最大值 求AB 的最值➢ 精讲精练1. 如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC +PD 值最小时点P的坐标为（ ） A ．(-3，0)B ．(-6，0)C ．(32-，0)D ．(52-，0)y xPODCBA2. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，则△PMN 周长的最小值是________．3 / 7 ED C B AAE PCBA3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 边的中点，若P ，Q 为BC 边上的两个动点，且PQ =2，则当BP =________时，四边形APQE 的周长最小．A B CD EP Q第3题图 第4题图4. 已知二次函数y =-x 2+2x +3与y 轴的交点为A ，顶点为B ，点P (t ，0)是x 轴上的动点．则|P A -PB |的最大值是________，此时点P 的坐标是__________．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 是AB 边上 的动点，E 是BC 边上的动点，则AE +DE 的最小值为（ ） A ．3213 B ．10C ．245D ．4856. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．4 / 7OEDCBA第6题图 第7题图7. 如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________．8. 如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在AC 上且AE =23AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D运动时，则线段AF 的最小值是___________．ABCDEF9. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．ED B CA5 / 710. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为________________．QPA'D C B AD CBA11. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是_______．A'D CBNMAF DE AHGB C第11题图 第12题图12. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______．13.已知抛物线3)(1)y x x =+-，与x 轴从左至右依次相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A的直线y b =+与抛物线的另一个交点为D ．设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒233个单位的速度运动到点D后停止，则当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？6/ 77 / 7➢ 参考答案1. C2. 43. 44.2；（-3，0）5. D6. 37.23 8. 231+ 9. 1 10. 211. 17- 12. 15-13. ()341-，。
几何中的最值问题
几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛几何中最值问题包含：“面积最值”及“线段（和、差）最值” .求面积的最值，需要将面积表完成函数，借助函数性质联合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等有关定理转变办理.一般办理方法：线段和(周长)最小线段差最大线段最大（小）值平移平移转变对称对称结构三角形旋转旋转使点在线异侧使点在线同侧使目标线段与定长（以下列图）（以下列图）线段构成三角形两点之间，线段最短三角形三边关系定理垂线段最短三点共线时获得最值常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固准时）BAAB'lP lPB'BPA+PB最小，|PA-PB|最大，需转变，使点在线异侧需转变，使点在线同侧二、精讲精练1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正幸亏杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁抵达蜂蜜的最短距离为______cm．1A蚂蚁AMP蜂蜜ON B第1题图 第2题图如图,点P 是∠AOB 内必定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32， 则△PMN 周长的最小值为 .如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的均分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和 AE 上的动点，则 DQ +PQ 的最小值为 .A PD ADQEKQBCBPC第3题图第4题图如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任 意一点，则PK +QK 的最小值为.5.如图，当四边形 PABN 的周长最小时， a = ．y y BCP(a,0)N(a+2,0) O x D B(4,-1)A(1,-3)OEFAx第5题图第6题图26.在平面直角坐标系中，矩形OACB的极点O在座标原点，极点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点 F的坐标为.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PA PB的最大值等于．A yB AO B xM D P C N第7题图第8题图点A、B均在由面积为1的同样小矩形构成的网格的格点上，成立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OPOQ＝．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．ACF DE MB P CA P B第9题图第10题图如图，已知AB=10，P是线段AB上随意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．11.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.若将△中边的长度改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变成ABP PA_________．3几何中的最值问题yB A'CBPPOA xA QD第11题图第12题图12.着手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5．以下图，折叠纸片，使点A落在BC边上的′处，折痕为，当点′在边上挪动时，折痕的端点、也随之挪动．若A PQ A BC PQ限制点P、Q分别在AB、AD边上挪动，则点A′在BC边上可挪动的最大距离为．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为；（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.D P CFA E BD C D CFP14.15.A E B A B16.17.18.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A′，连结BA′，则BA′的最小值是_________．4AM NA'B C几何中的最值问题（作业）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC均分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE＋PB的最小值是__________．A DD CPPA EB BQ C第1题图第2题图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连结PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm（结果不取近似值）.3.如图，一副三角板拼在一同，O为AD的中点，AB=a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，点M为BC上一动点，则 A′M的最小值为．A60°COB DD45°A'MMBC A N第3题图第4题图4.如图，在锐角△ABC中，AB42，∠BAC=45°，∠BAC的均分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为___________．5.6.7.8.9.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为C'，连结AC'，则AC'的最小值是_________．5yABC'CPC Q B O A x第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是.7.一次函数y1=kx-2与反比率函数y2=mA，B两错误！未找到引用源。
初中数学专题04几何最值存在性问题(解析版)
专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。
几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）P的坐标为（4，2）或（55，455）或P（﹣55，﹣455）或（165，85）；（Ⅲ）325．【解析】分析：（Ⅰ）由折叠得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；（Ⅱ）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；（Ⅲ）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DN即可．详解：（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=12 x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，12 a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（12a）2=54a2，PC2=a2+（4-12a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则54a2=a2+（4-12a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则54a2=16，解得a=±855，即P（855，455）或P（-855，-455）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-12a）2=16，解得a=0（舍），或a=165，即P（165，85）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（855，455）或P（-855，-455）或（165，85）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=12DE×BD=12BE×DG，∴DG=12=5 DE BDBE⨯，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=125+4=325．即：AM+MN的最小值为325．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）t=32时，△P AD的面积的最大值为278；（4）t 15 +.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-32）2+94，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由S△P AD=12×PM×（x D-x A）=32PM，推出PM的值最大时，△P AD的面积最大；（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△P AD是直角三角形，推出PK=12AD，可得（t-32）2+（-t2+2t+3-32）2=14×18，解方程即可解决问题；试题解析：（1）把点B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，则有30 4233 a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得12ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直线AD解析式为y=﹣x+3，设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴点M在第一象限内，∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣32）2+94，∴当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）∵S△P AD=12×PM×（x D﹣x A）=32PM，∴PM的值最大时，△P AD的面积中点，最大值=32×94=278．∴t=32时，△P AD的面积的最大值为278．（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．∵△P AD 是直角三角形，∴PK =12AD ， ∴（t ﹣32）2+（﹣t 2+2t +3﹣32）2=14×18， 整理得t （t ﹣3）（t 2﹣t ﹣1）=0， 解得t =0或3或15±， ∵点P 在第一象限， ∴t =1+5. 类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线ky x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩，4k =；（2）存在，1 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，2 1.5,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3 1.5,22P ⎛--- ⎝⎭，4 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，()5 1.5,0.5P --；（3）12【解析】 【分析】（1）由点A 在双曲线上，可得k 的值，进而得出双曲线的解析式．设4,B m m ⎛⎫⎪⎝⎭(0m <)，过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ．根据AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ∆∆∆∆=---矩形=3解方程即可得出k 的值，从而得出点B 的坐标，把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论； （2）抛物线对称轴为 1.5x =-，设()1.5,P y -，则可得出2PO ；2OB ；2PB ．然后分三种情况讨论即可； （3）设M (x ，y )．由MO =MA =MB ，可求出M 的坐标．作B 关于y 轴的对称点B '．连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．用两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）由()1,4A 知：k =xy =1×4=4， ∴4y x=． 设4,B m m ⎛⎫⎪⎝⎭(0m <)． 过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ，则S △AOP =S △BOQ =2．AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ∆∆∆∆=---矩形()()14414102AOP QOB m S S m m ∆∆⎛⎫⎛⎫=---+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242224m m m ⎛⎫⎛⎫=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22m m=- 令：223m m-=， 整理得：22320m m +-=， 解得：112m =，22m =-． ∵m ＜0， ∴m =-2， 故()2,2B --．把A 、B 带入2y ax bx =+2424a ba b -=-⎧⎨=+⎩解出：13a b =⎧⎨=⎩，∴23y x x =+．（2）223( 1.5) 2.25y x x x =+=+- ∴抛物线23y x x =+的对称轴为 1.5x =-．设()1.5,P y -，则2294PO y =+，28OB =，()22124PB y =++．∵△POB 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①22PO OB =，即2984y +=，解得：2y =±，∴1 1.5,P ⎛- ⎝⎭，2P ⎛- ⎝⎭；②22PB OB =，即()21284y ++=，解得：22y =-±，∴3 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，4 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭；③22PB OP =，即()2219244y y ++=+，解得：0.5y =- ∴()5 1.5,0.5P --； （3）设(),M x y ．∵()1,4A ，()2,2B --，()0,0O ，∴222MO x y =+，()()22214MA x y =-+-，()()22222MB x y =+++．∵MO MA MB ==，∴()()()()222222221422x y x y x y x y ⎧+=-+-⎪⎨+=+++⎪⎩ 解得：11272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴117,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭． 作B 关于y 轴的对称点B '坐标为：(2，-2)． 连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．BQM C MQ BQ MB ∆=++MQ QB MB '=++=MB '+MB222211711722222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13461702=+．【名师点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（2）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M 的坐标． 【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【解析】 【分析】（1）由已知可求A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3），即可求BC 的解析式；（2）由已知可得∠QMH ＝∠CBO ，则有QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，所以△MHQ 周长＝3QM ，则求△MHQ周长的最大值，即为求QM 的最大值；设M （m ，233384m m -++），过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+，交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，可求出()23=410MQ m m -+，当m ＝2时，MQ 有最大值65；函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '，|AR ﹣MR |的最大值为AM '；求出AM '的直线解析式为332y x =+，则可求912R ⎛⎫⎪⎝⎭，； （3）有两种情况：当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '；当OT ⊥BC 时，分别求解即可． 【详解】解：（1）令y =0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧 ∴A （﹣2，0），B （4，0）， 令x =0解得y =3， ∴C （0，3），设BC 所在直线的解析式为y =kx +3， 将B 点坐标代入解得k =34- ∴BC 的解析式为y ＝-34x +3；（2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴， ∴∠QMH ＝∠CBO ， ∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34， ∴QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝34QM +QM +54MQ ＝3QM ，则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值； 设M （m ，233384m m -++）， 过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+， 直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，∴()23=410MQ m m -+， ∴当m ＝2时，MQ 有最大值65， ∴△MHQ 周长的最大值为185，此时M （2，3）， 函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '， ∴|AR ﹣MR |的最大值为AM '； ∵AM '的直线解析式为y ＝32x +3， ∴R （1，92）； （3）①当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '， ∵△OCT ≌△OTC '， ∴3412=55OG ⨯＝， ∴12655T ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴BT ＝2；②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，OT＝125，∵∠BOT＝∠BCO，∴3=1255cOo BOTHs∠＝，∴OH＝36 25，∴36482525 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝165；综上所述：BT＝2或BT＝165．【点睛】本题是一道综合题，考查了二次函数一次函数和三角形相关的知识，能够充分调动所学知识是解题的关键. 类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为94，E（32，﹣34）．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E），即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：22m+，即：22m+＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝32，其最大值为94，此时点E（32，﹣34）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =-++，对称轴1x =；（2）11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）面积有最大值是4948，755,424E ⎛⎫⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y =ax 2+bx +2即可；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）2+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD =BD ，即可求y 的值；（3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，- 103）或M （-2，-103）； 【详解】解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++，可得24,33a b =-=， 224233y x x ∴=-++；∴对称轴1x =；（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，设点()1,D y ，()()0,2,3,0C B Q ，∴在Rt CGD ∆中，()222221CD CG GD y =+=-+， ∴在Rt BHD ∆中，22224BD BH HD y =+=+，在BCD ∆中，DCB CBD ∠=∠QCD BD ∴=，22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+ 14y ∴=，11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭； （3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=， ∴四边形QRPE 是矩形，CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--Q 矩形，()()(),,0,2,1,1E x y C F Q ，111•222CEF S EQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅-V()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯---224233y x x =-++Q ，21736CEF S x x ∆∴=-+∴当74x =时，面积有最大值是4948，此时755,424E ⎛⎫⎪⎝⎭； （4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形， 设()()1,,,N n M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x+=2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=2x ∴=， ()2,2M ∴；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x+=， 4x ∴=，104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫--⎪⎝⎭； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【新题训练】1．如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B .(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M (4，m )是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F 、E 的坐标．【答案】(1) y＝－x2＋4x＋5；(2);(3) F (，0)，E(0，)．【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，可得点M1的坐标连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．【详解】解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(2)如解图①，第2题解图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋，∴当n＝时，线段ND长度的最大值是；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴，解得，∴y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，即点E坐标为(0，)，当y＝0时，x＝，即点F坐标为(，0)，故所求点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.【答案】（1）4；（2）（3）面积不变，S△ACB’=（4）【解析】【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题.【详解】(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=P A=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB=5，B、B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴OB=PB·sin60°，∴BB，故答案为(3)如图3，结论：面积不变.过点B作BE⊥AC于E，则有BE=AB·sin60°=3843⨯=，∴S△ABC=1184322AC BE=⨯⨯g=163，∵B、B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC//BB′，∴S△ACB’=S△ABC=163；(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，P A=2，∠P AE=60°，∴PE=P A·sin60°=3，∴B′E=B′P+PE=6+3，∴S△ACB最大值=12×(6+3)×8=24+43.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【答案】(1)点C的坐标为(2，3；(2)OA＝2；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD 5．【解析】【分析】(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝12CD＝2，DE2223CD CE-=OAD＝30°知OD＝12AD＝3，从而得出点C坐标；(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝212知S△ODM＝92，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，12xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得CD DM CM ON MN OM==，据此求得MN＝95，ON＝125，AN＝AM﹣MN＝65，再由OA22ON AN+cos∠OAD＝ANOA可得答案．【详解】(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝12CD＝2，DE22CD CE＝3，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝12AD＝3，∴点C的坐标为(2，3)；(2)∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝212，∴S△ODM＝92，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，12xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝2(负值舍去)，∴OA＝2；(3)OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM22CD DM+5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴CD DM CMON MN OM==，即4353ON MN==，解得MN＝95，ON＝125，∴AN＝AM﹣MN＝65，在Rt△OAN中，OA2265 5ON AN+=，∴cos∠OAD＝5 ANOA=．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O 停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =334t2；②当1＜t≤43时，S =﹣394t2+18t；③当43＜t≤2时，S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为32【解析】【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．【详解】（1）令y=0，∴﹣23x+4=0，∴x=6，∴A（6，0），当t=13秒时，AP=3×13=1，∴OP=OA﹣AP=5，∴P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OQ=6，∴AP=12OQ=3，∴t=3÷3=1，①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），∴OB=4，∵A（6，0），∴OA=6，在Rt△AOB中，tan∠OAB=2=3 OBOA，由运动知，AP=3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ=AP=3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN=PQ=3t，在Rt△APD中，tan∠OAB=233 PD PDAP t==，∴PD=2t，∴DN=t，∵MN∥OA∴∠DCN=∠OAB，∴tan∠DCN=23 DN tCN CN==，∴CN=32t，∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣12t×32t=334t2；②当1＜t≤43时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=32t，∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣12t×32t=﹣394t2+18t；③当43＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=12（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），∴M（6-6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6-93,22t t），∴点T是直线y=-13x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG=6，∵A（6，0），∴AG2，在Rt△ABG中，OA=6=OG，∴∠OAG=45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN=90°，∴∠ANP=45°，∴∠TNA=90°，即：TN⊥AG，∵T 正方形PQMN 的对角线的交点， ∴TN =TP ， ∴OT +TP =OT +TN ，∴点O ，T ，N 在同一条直线上（点Q 与点O 重合时），且ON ⊥AG 时，OT +TN 最小， 即：OT +TN 最小，∵S △OAG =12OA ×OG =12AG ×ON ， ∴ON =OA OGAGn =32． 即：OT +PT 的最小值为32【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T 的位置是解本题（3）的难点．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积. (3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值. 【答案】(1)3y x =+；(2)3；(3)APC ∆面积的最大值为278. 【解析】 【分析】（1）由题意分别将x =0、y =0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标，再根据点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点P ，进而利用割补法求APC ∆面积；（3）根据题意过点P 作PE y P 轴交AC 于点E 并设点P 的坐标为()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E的坐标为(),3+m m 进而进行分析. 【详解】解：(1) 分别将x =0、y =0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标为()0,3C ；()30A -,； 将()0,3C ；()30A -,代入223y x x =--+，得到直线AC 的解析式为3y x =+. (2)由223y x x =--+，将其化为顶点式为2(1)4y x =-++，可知顶点P 为(1,4)-， 如图P 为顶点时连接PC 并延长交x 轴于点G ，则有S APC S APG S ACG =-V V V ，将P 点和C 点代入求出PC 的解析式为3y x =-+，解得G 为(3,0)， 所有S APC S APG S ACG =-V V V 11646312922=⨯⨯-⨯⨯=-=3；(3)过点P 作PE y P 轴交AC 于点E .设点P 的坐标为()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E 的坐标为(),3+m m ∴()2233PE m m m =--+-+2239324m m m ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭， 当32m =-时，PE 取最大值，最大值为94.∵()1322APC C A S PE x x PE ∆=⋅-=，∴APC ∆面积的最大值为278. 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫-⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式； （2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可； （3）作∠CAN =∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B =3∠ACB , 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D ,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C =3∠ACB ,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标. 【详解】（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得253050a +-= 1a =-.∴265y x x =-+-；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()2,65P x x x -+-，则∵()5,0B∴OB =5， ∵Q 在BC 上，∴Q 的坐标为（x ，x -5），∴PQ =2(65)(5)x x x -+---=25x x -+， ∴12PBC S PQ OB ∆=⋅ =21(5)52x x -+⨯ =252522x x -+∴当52x =时，S 有最大值，最大值为1258S =，∴点P 坐标为515,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）如图1，作∠CAN =∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B =3∠ACB ,∵∠CAN =∠NAM 1, ∴AN =CN ,∵265y x x =-+-=-(x -1)(x -5),∴A 的坐标为（1，0），C 的坐标为（0，-5）， 设N 的坐标为（a ,a -5），则∴2222(1)(5)(55)a a a a -+-=+-+，∴a =136, ∴N 的坐标为（136,176-）, ∴AN 2=221317(1)()66-+-=16918，AC 2=26，∴22169113182636 ANAC=⨯=，∵∠NAM1=∠ACB，∠N M1A=∠C M1A，∴∆NAM1∽∆A C M1,∴11AMANAC CM=,∴21211336AMCM=,设M1的坐标为（b,b-5），则∴222236[(1)(5)]13[(55)]b b b b-+-=+-+,∴b1=7823，b2=6(不合题意，舍去)，∴M1的坐标为7837(,)2323-，如图2，作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,易知∆ADB是等腰直角三角形，可得点D的坐标是（3，-2），∴M2横坐标=7860232323⨯-=，M2纵坐标=37552(2)()2323⨯---=-，∴M2的坐标是6055(,)2323-，综上所述，点M的坐标是7837(,)2323-或6055(,)2323-.【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值为1【解析】【分析】（1）由点B与点C关于直线x＝1对称，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的性质可求出b值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合OA＝OB可得出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用配方法可求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△BCP的面积；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况考虑，利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的图象找出h关于b的关系式，再找出h的最值即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，∴﹣＝1，解得：b＝2．（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，∴点A的坐标为（0，﹣）．又∵OB＝OA，∴点B的坐标为（﹣，0）．将B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，解得：b＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣．∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴点P的坐标为（，﹣）．当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1，∴点C的坐标为（1，0）．∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．当≥1，即b≥2时，如图1所示，y最大＝b+，y最小＝﹣b+，∴h＝2b；当0≤＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，∴h＝1+b+＝（1+）2；当﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；当≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，y最大＝﹣b+，y最小＝b+，h＝﹣2b．综上所述：h＝，h存在最小值，最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数图象以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出b的值；（2）利用二次函数图象上的坐标特征及配方法，求出点B，C，P的坐标；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况，找出h关于b的关系式．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．。
几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。
解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值是10。
例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。
连OB ，OA /,∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图4CDMNMMNB例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。
直线与圆的最值问题-讲义
直线与圆的最值问题1 最值模型(1)三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(2)某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=r+OM；(3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2，圆心为(a ,b)，半径为r ，它对应的圆的参数方程：{x =rcosθ+a y =rsinθ+b(θ是参数). 理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ，rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b .Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2.【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【例题1】P 是直线L ：3x −y −1=0上一点，求(1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值；(2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值．情况2 斜率型最值【例题1】如果实数x ,y 满足条件：(x −2)2+y 2=3，那么y x 的最大值是 .情况3 两点距离型最值【例题1】已知点M(a ,b)在直线l ：3x +4y =25上，则a 2+b 2的最小值为 ．【例题2】已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3 ,−3)，B(32 ,12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【例题1】已知x、y满足(x−1)2+y2=1，则S=x2+y2+2x−2y+2的最小值是.【例题2】已知点P(7 ,3)，圆M：x2+y2−2x−10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S 在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【例题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为．课堂练习1 已知x2+y2=1，则y−1的取值范围是．x+22 已知点P(x ,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．3 已知圆x2+(y−2)2=1上一动点A，定点B(6 ,1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于．4 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则|OA|−|AQ|的取值范围是．5 已知点A(−2 ,0) ,B(0 ,2)，若点P在圆(x−3)2+(y+1)2=2上运动，则△ABP面积的最小值为．6 过动点P作圆：(x−3)2+(y−4)2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是．7 已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为．8 已知圆(x−a)2+(y−b)2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为．9如图，设圆C1：(x−5)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−7)2+(y+1)2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为．【题型二】代数法处理最值问题【例题1】 已知圆C 的圆心在直线x −2y =0上，且经过点M(0 ,−1)，N(1 ,6)．(1)求圆C 的方程；(2)已知点A(1 ,1)，B(7 ,4)，若P 为圆C 上的一动点，求|PA |2+|PB |2的取值范围．【例题2】 已知直线l ：y =x ，圆C ：x 2+y 2−4x +3=0，在l 上任意取一点A ，向圆C 作切线，切点分别为M ,N ，则原点O 到直线MN 的距离d 的最大值为 ．【例题3】 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0．(1)求y −x 的最大值和最小值；(2)求x 2+y 2的最大值和最小值；(3)求y x+1的取值范围．【例题4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为4，E(0 ,1)，点F 是正方形边OC 上的一个动点，点O 关于直线EF 的对称点为G 点，当|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，直线GF 的方程为 .课堂练习1 若实数x ,y 满足x 2+y 2+4x －2y －4=0，则√x 2+y 2的最大值是( )A ．√5+3B ．6√5+14C ．−√5+3D ．－6√5+14 2 [多选题]若实数x ,y 满足条件x 2+y 2=1，则下列判断正确的是( )A ．x +y 的范围是[0 ,√2]B ．x 2－4x +y 2的范围是[－3 ,5]C ．xy 的最大值为1D ．y−2x+1的范围是(−∞ ,−34] 3 [多选题]已知点P(2 ,4)，若过点Q(4 ,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ,B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A ．|AB|的最小值为2√5B ．P 到l 的距离的最大值为2√5C ．PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12－2√5 D ．|PR|的最大值为4√2+3 4 已知点A(1 ,1) ,B(2 ,2)，点P 在直线y =12x 上，求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标．5 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −2)2+y 2=1，M 为圆C 的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点均不在x 轴上)．求△ABM 面积的最大值．6 已知直线l 过定点P(−2 ,1)，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．(1)若△AOB 的面积为4，求直线l 的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l 的方程；(3)求|PA|⋅|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．7 在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A(0 ,2)， O(0 ,0) ， D(t ,0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 ,l2是过点B(1 ,0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P ,Q两点．(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．。
三角形中点与几何最值问题
三角形中的中点（讲义）课前预习先在图上走通思路，然后填空：已知：如图，在四边形ABCD中，AD// BC, E是CD的中点，若AB=AD+BC, / ABC=50°,求/ BAE 的度数.A思路分析：①因为AD// BC, E是CD的中点，考虑延长AE交BC的延长线于点F;②进而利用全等三角形的判定___________ ，证明___________ 罕___________ ;③由全等可得______________________ ;④结合已知条件AB=AD+BC,得AB= ________ ，从而/ BAE= _______ ，所以在△ ABF中，根据三角形的内角和等于180°得, / BAE= _______ .知识点睛1. 中位线(1) ______________________________________________ 三角形的中位线：______________________________________________________ ;(2) 三角形中位线定理：________________________________2. 遇到中点常见的五种思路(1) ______________________________________________ 遇到等腰三角形底边的中点，考虑_____________________________________ ；(2)遇到直角三角形斜边的中点，考虑____________________ ；(3)遇到三角形一边上的中点，考虑______________________ ；(4)遇到“平行夹中点”，考虑__________________________ ；DD(5)遇到多个中点，考虑(或构造) __________________________ L精讲精练1. 如图，点D, E, F分别是△ ABC的边AB, BC, AC的中点，若△ DEF的周长为10cm,则厶ABC的周长为________ .第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B. 线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长保持不变D .线段EF的长与点P的位置有关3. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若/ ACB=66°，/ CAD=20°，则/ EFG= ________ .第3题图第4题图4. 如图，B D，C E分别是/ ABC 和/ ACB的角平分线，已知AG丄BD，AF丄CE. 若BF=2，DE=3，CG=4，贝ABC 的周长为8.5. 如图，M 是厶ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC ，BN 丄AN 于点N ,若 AB=10， A . 38 BC=15, MN=3,则厶ABC 的周长为( )C . 40D . 41B . 39 第5题图 第6题图6. ABC 中， NP .有以下结论:/ BAC=60° BN , CM 为高，P 是BC 的中 如图，在锐角三角形 点，连接MN ，MP ， ①NP=MP ;②当/ABC=60° 时，MN // BC ;③ BN=2AN ;④AN:AB=AM: AC .其中正确的有（A . 1 个B . 2 个C .7. 如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , 中点，且AF 丄AB . A . 2 2 B . 点E 在BC 边上，AE=BE ,若 AD=2.7, AF=4, AB=6，贝U CE 的长为( 2 3 -1 C . 2.5F 是CD 的 ) 第7题图 第8题图如图， 中占 I 八、、， A . 35在直角梯形 ABCD 中，AB // CD , 且CD=CE ，贝U/ EAD 的度数为（ ° B . 45° C . 55° / ADC=90° / C=70°)D . 65°E 是BC 的9. 如图，AB// CD, E, F分别为AC, BD的中点.若AB=5, CD=3，贝U EF的长为____________ .第9题图第10题图10. 如图，在△ ABC中，/ B=2Z C,AD丄BC于点D,M为BC的中点.若AB=10cm,则DM的长为_____________ .11. 如图，在△ ABD 中，C 是BD 的中点，/ BAC=90° / CAD=45° 求证：AB=2AC.12. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC, E, F分别是AB, CD的中点，AD, BC的延长线分别与EF的延长线交于点H，点G,则/ AHE ________ Z BGE.（填> , 二或< )【参考答案】课前预习②ASA , △ ADE, △ FCE③AD=FC④FC+BC=BF,/ F, 65°知识点睛1. （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（2）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半2. （1）三线合一（2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半（3）倍长中线（4）延长证全等（5）中位线精讲精练1. 20cm2. C3. 23°4. 305. D6. C7. D8. A9. 110. 5cm11. 证明略12. =E三角形中的中点（随堂测试）1. 如图，D是厶ABC内一点，BD丄CD, AD=6, BD=4, CD=3, E, F, G, H分别是AB, AC, CD, BD的中点，则四边形EFGH的周长为________________ :2. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90° D是斜边AB的中点，DE丄AC于点E.若DE=2, CD=2亦，贝U BE的长为_____ .B3. 已知在Rt A ABC中，Q为斜边AB的中点，P是斜边AB上一动点（不与点A,Q, B重合），分别过点A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E, F.若QE=3, 则QF的长为________ .【参考答案】1. 112. 423. 3三角形中的中点（习题）例题示范例1:如图，已知AB=12, AB丄BC于点B, AB丄AD于点A, AD=5, BC=10, E 是CD的中点，连接AE, BE,则BE的长为 ________ .思路分析：1. 平行夹中点，考虑延长AE得全等，则FC=AD=5.2. 在Rt A ABF 中，AB=12, BF=5，由勾股定理得，AF=13.1 133. 由直角+中点，得BE=丄AF=^-.2 2巩固练习1. 如图，在△ ABC中，AB=AC=9cm, AD丄BC, M为AD的中点，直线CM交AB于点E, F为CE的中点，连接DF，贝U DF的长为__________ .第1题图第2题图2. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E, F分别是AB, CD的中点.若AD=BC=8, EF=7.6,则厶PEF的周长为 ______________ .3. 如图，在△ ABC中，/ ACB=52° D, E分别是AB, AC的中点.若点F在线段DE 上，且/ AFC=90°,则/ FAE= _______ .第3题图第4题图4. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90° D , E分别是AC, AB的中点.若DE=3, CE=5，贝U AC 的长为__________ .5. 如图，在△ ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF丄AE于点F，若AB=5, AC=3，贝U DF 的长为 _______ .6.如图，MN为过Rt△ ABC的直角顶点A的直线，且BD丄MN于点D , CE丄MN于点E, AB=AC, F为BC的中点，连接DF , EF.求证：DF=EF.7.如图，已知AD ABC的角平分线，ABvAC,在AC上截取CE=AB, M,N分别为BC, AE的中点.求证：/ DAN=Z MNC .思考小结我们已经学过一些常见的组合搭配及其对应的思考角度，请根据特征补全图形.直角相关的搭配和用法：（1）边：勾股定理（2）角：直角三角形两锐角互余（3）面积：直角边看成高（等面积结构）（4）固定结构和用法：①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）④弦图结构中点相关的搭配和用法:(2)直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边中线等于斜边的一半(3) 三角形一边上的中点，考虑倍长中线(4) 平行夹中点，考虑延长证全等(5) 多个中点，考虑(或构造)中位线【参考答案】巩固练习1. 3cm2. 15.63. 64°4. 85. 16. 证明略7. 证明略1.1.2.2.3.3.几何最值问题（讲义）知识点睛解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）解决几何最值问题的主要方法是__________ 通过变化过程中_______________ 的分析，利用_________ 、_______________ 手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的_____________ 而解决问题.几何最值问题基本结构分析①利用几何变换进行转化②利用图形性质进行转化精讲精练1. 如图，在Rt A ABC 中，/ C=90° / ABC=60° 点D在BC边上，且CD=1,将厶ABC沿直线AD翻折，点C恰好落在AB边上的点E处•若P是直线AD 上的动点，则△ PEB周长的最小值是_____________ .第1题图第2题图2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A. （0，0）B. （0，1）C. （0，2）D. （0，3）3. 如图，/ AOB=60°点P在/ AOB的平分线上，OP=10cm, E，F分别是/ AOB的两边OA, OB上的动点，当△ PEF的周长最小时，点P到EF的距离是（）A. 10cmB. 5cmC. 10 3 cmD. 5、3 cm4. 如图1甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建 一座过街天桥(注意：天桥必须与街道垂直)•请按下面的要求作图.(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？在图 1中完成.(2) 桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？在图2中完成.5. 如图，已知直线a // b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2, 点B 到直线b 的距离为3, AB=2 30 .在直线a 上找一点M ，在直线b 上找点N ,满足 MN 丄a 且AM+MN+NB 的值最小，则此时 AM+NB=()第6题图 AB=4, BC=8, E 为CD 边的中点，若P , Q 为BC 边上的两个动点，且PQ=2，则当BP= ________ 时，四边形APQE 的周长 最小.C . 10D . 12 第5题图6.如图，在长方形 ABCD 中, 甲ab7.如图，两点A, B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8, B到MN的距离BD=4, CD=4,点P在直线MN上运动，则PA — PB的最大值为8. 点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示•若P是x轴上使得PA—PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，贝U OP OQ=9. 如图，/ MON=90°长方形ABCD的顶点A，B分别在0M， ON上，当点B 在ON上运动时，点A随之在0M上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变•若AB=2，BC=1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为( )A. 、2+1B. .5第9题图10. 如图，点P在第一象限，△ ABP是边长为2的等边三角形，当点A 在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，则在运动过程中，点P到原点的最大距离是_______ •【参考答案】知识点睛2. 转化，不变特征，几何变换、图形性质，基本结构精讲精练1. 1 、32. D3. B4. 略5. B6. 47. 4.28. 39. A10. V .3几何最值问题（随堂测试）2. 如图，在厶ABC 中，/ ACB=90° AC=2, BC=1,点A , C 分别在x 轴、y 轴上.当 点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点 B 到原 点0的最大距离为 _____________ .【参考答案】1. (1, 0)，(-3, 0)2. 1x2 如图，在平面直角坐标系中，长方形 OACB 的顶点0在坐标原点，顶点A ，B分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3, OB=4. D 是OB 边的中点，E 是x 轴上的一个动点，当厶CDE 的周长最小时，点E 的坐标为 ;当| DC | 的值最大时，点 W E 的坐标为 1. B DCOE A ‘yi 第1题图几何最值问题（习题）例题示范例1:如图，已知/ AOB的大小为a, P是/ AOB内部的一个定点，且0P=2, E, F分别是OA, 0B边上的动点•若△ PEF周长的最小值为2,则a=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°思路分析：1. 分析定点、动点.定点：P动点（定直线）：E （射线OA）, F （射线0B）和最小（周长最小）对称到异侧2. 根据不变特征分析判断属于轴对称最值问题，可调用轴对称最值问题的处理方式：作点P关于OA的对称点P',点P关于OB的对称点P','连接P'P','交OA于点E,交OB于点F，此时△ PEF的周长取得最小值.3. 设计算法.如图，由题意得OP=OP，=P P，=2，所以△ OP'P'是等边三角形，故a=30°.巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt A OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，.. 3），P为斜边OB上一动点•若点C的坐标为1（才，0），则PA+PC的最小值为（）A. B.』C . 3 19D. 2 72 2 22.如图，已知A，B两点在直线I的异侧，A到直线I的距离AM=4, B到直线l的距离BN=1,且MN=4.若点P在直线I上运动，则PA- PB的最大值为3 41B. 4153. 已知点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，若P是x轴上使得PA+PB的值最小的点，Q是y 轴上使得|QA- QB|的值最大的点，贝U OP OQ= ___________ .4. 如图1, A , B 两个单位位于一条封闭街道的两旁(直线 l i , I 2分别是街道的两边)，现准备合作修建一座过街人行天桥.A■ l i 丨2 車B图图2(1) 天桥建在何处才能使由 A 经过天桥走到B 的路程最短？在图2中作出 此时桥PQ 的位置.(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)(2) 根据图1中提供的数据计算由A 经过天桥走到B 的最短路程.(单位： 米)5. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2,当点A 在x 轴上运动时，点D 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点 B 到原点0的最大距离为 ______________ .【参考答案】巩固练习1. B2. A3. 34. (1)略(2)由A 经过天桥走到B 的最短路程是85米5. 1 +、・ 51112。
立体几何第三讲 空间几何体得最值问题
分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于 平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ， 又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的 射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则 在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点 是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面
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8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 边上，则以 AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小 值为_____________．
3
9. 如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 OM， ON 上，当点 B 在 ON 上运动时，点 A 随之在 OM 上运动， 且矩形 ABCD 的形状和大小保持不变．若 AB=2，BC=1，则 在运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_____________．
的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则 OP·OQ= _________．
7. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为 BC 边上一 动点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F．若 M 为 EF 的中点， 则 AM 长度的最小值为____________．
12. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=8，AD=CD=4， 点 E，F 分别在线段 AB，AD 上，将△AEF 沿 EF 翻折，点 A 的对应点记为 P．当点 P 落在线段 CD 上时，PD 的取值范围 是________________．
4
【参考答案】
知识点睛 1. ①两点之间，线段最短
2. 轴对称最值模型
求 PA+PB 的最小值，使点在线异侧，转化为求 PA+PB′的最小值．
固定长度线段 MN 在直线 l 上滑动，求 AM+MN+BN 的最小值， 需平移 BN（或 AM），转化为求 AM MB 的最小值．
求|PA-PB|的最大值，使点在线同侧，转化为求|PA-PB′|的最大值．
几何最值问题（讲义）
知识点睛
1. 解决几何最值问题的通常思路： ①分析定点、动点，寻找不变特征． ②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助 基本定理解决问题． 转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢． 理论依据： ①___________________________（已知两个定点） ②___________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________（已知两边长固定或其和、差固定）
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精讲精练
1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 3，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最 小，则这个最小值为_________．
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，M 是 AB 边的中点，P
是对角线 AC 上的一动点，若 PM+PB 的最小值为 3，则 AB
的长为__________．
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12，AD=3，E，F 分别为 AB， CD 上的动点，则 AF+FE+EC 的最小值为________．
4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点， 若 P，Q 为 BC 边上的两个动点，且 PQ=2，则当 BP=______ 时，四边形 APQE 的周长最小．
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5. 如图，两点 A，B 在直线 MN 的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8， B 到 MN 的距离 BD=4，CD=4，点 P 在直线 MN 上运动，则 PA PB 的最大值为_________．
第 5 题图
第 6 题图
6. 点 A，B 均在由面积为 1 的相同小长方形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标系如图所示．若 P 是 x 轴上使得 PA PB
②垂线段最短 ③三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 精讲精练 1．3 2． 2 3 3．15 4．4 5． 4 2 6．3 7． 12 5 8．3 9．1 2 10．1 3 11．2 12． 题图
10. 如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，
当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴
上运动，则在运动过程中，点 P 到原点的最大距离是_______．
11. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5．如图所示， 折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A′处，折痕为 PQ，当点 A′ 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动．若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 A′在 BC 边上可移动的 最大距离为________________．