【附加15套高考模拟】【全国百强校】上海市延安中学2020届高三第二学期适应性考试(三模)数学(文)试题含

【全国百强校】上海市延安中学2020届高三第二学期适应性考试（三模）数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:b y x C =+，若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PA ,PB ,切点为A ,B 使得，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．3B ．23[ C ．2[D ．)1,21[2．设双曲线C ：221(0)8x y m m-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 交于M ，N两点，其中M 在左支上，N 在右支上.若22F MN F NM ∠=∠，则MN =（ ）A ．82B ．8C ．42D ．43．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=- D ．14nn a a b b -=-4．若方程2121x kx x -=--有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞- B ．()1,0- C ．()0,4D ．()()0,11,4U5．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则113x y+的最小值是（ ） A ．2 B ．2C ．4 D ．36．已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,4)B ．(4,5)C ．(4,3)--D ．(5,4)--7．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，经过原点O 的直线与椭圆C 相交于点,A B ，若2,4AF BF ==，椭圆C 的离心率为73，则AFB ∆的面积是（ ）A ．5B ．25C ．23D ．3 8．下列说法正确的是 （ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题。

9．过圆()()22111C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足,S S S S ⅥⅡⅢI +=+则直线AB 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 10．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2- C ．2D ．311．如图正方体1111ABCD A B C D -，点M 为线段1BB 的中点，现用一个过点,,M C D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A ．B ．C ．D ．12．已知A B C ，，三点都在表面积为100π的球O 的表面上，若4360AB ACB =∠=︒，.则球内的三棱锥O ABC -的体积的最大值为（ ）A ．83B ．103C ．123D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(2,0)F -，存在直线y=t 与椭圆C 交于A,B 两点，使得ABF n 为顶角是150︒的等腰三角形，则其长轴长为______．14．过点1(,1)2P 的直线与圆22:(1)4C x y -+=交于A 、B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线的方程为___．15．设P 为曲线224x y =+上一点，(5,0)A -，(5,0)B ，若2PB =，则PA =__________．16．已知函数()232ln xf x x x a =-+（0a >），若函数()f x 在[]1,2上为单调函数，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，()*1212,n n a a n n N -=+≥∈．记()2log 1n n b a =+，判断{}n b 是否为等差数列，并说明理由；在（1）的条件下，设1nn n b c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（12分）曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率3[,3]3k ∈时，求1OA OB+的最小值.19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；过点作直线的垂线交曲线于两点，求.20．（12分）正三角形ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起（其中P 在边AB 上，Q 在AC 边上），使平面APQ ⊥平面BPQC .D ，E 分别是PQ ，BC 的中点.证明：PQ ⊥平面ADE ；若折叠后，A ，B 两点间的距离为d ，求d 最小时，四棱锥A PBCQ -的体积.21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．证明：平面PAB ⊥平面PCD ；若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆24:C cos ρθ=的圆心为2C ．说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；过原点且与直线2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）平行的直线3C 与2C 的交点为M ，N ，且2C MN△的面积为2，求α的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．D 9．B 10．D 11．B 12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．262+- 14．15．416．2(0,][1,)5+∞U三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)见解析；(2) 222n nnT +=- 【解析】 【分析】（1）根据题意，由于()2log 1n n b a =+，分析可得当1n =时，计算可得1b 的值，当2n ≥时，分析1n n b b --的值，综合即可得答案；（2）由（1）的结论求出{}n b 的通项公式，进而可得2n nnc =，由错位相减法求和可得答案． 【详解】解：（1）根据题意()2log 1n n b a =+， 当1n =时，有()1212log 1log 21b a =+==；当2n ≥时，()()1221211log 1log 1log 1n n n n n n a b b a a a ---+-=+-+=+ 122122log log 211n n a a --+===+； 所以数列{}n b 是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{}n b 是以1为首项、公差为1的等差数列，则()21n b n n =+-=，则12nn a +=，于是2n n nc =， ()23111111123...122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()2311111112...122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①﹣②可得：231111111...222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111221122212n n n n n n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=-- ⎪⎝⎭-，所以222n n nT +=-． 【点睛】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，考查了数列性质的证明，关键是求出数列{bn}的通项公式，属于综合题．18．（1）1C 的极坐标方程为sin ρθ=；曲线2C 的直角坐标方程23x y =.（2）3【解析】 【分析】(1)消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程220x y y +-=，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解. (2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程，求得2OA t =，再把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程，得2OB t =，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，利用基本不等式，即可求解；解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=，分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程，得sin OA α=，23sin cos OB αα=，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，即可基本不等式，即可求解. 【详解】(1) 由题曲线的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=， 则曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=，又因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解曲线2C 的直角坐标方程23x y =.(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为cos x t y tsin αα=⎧⎨=⎩（α为参数，63ππα≤≤），把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程得：2sin 0t t α-=， 解得10t =，2sin t α=，2sin OA t α∴==，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程得：22cos 3sin t t αα=， 解得10t =，223sin cos t αα=，223sin cos OB t αα∴==， 21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，3[,3]3k ∈Q ，即3tan [,3]3α∈，63ππα≤≤Q ，13sin 22α∴≤≤， 112sin 22sin 22sin sin αααα∴+≥⋅=， 当且仅当12sin sin αα=，即2sin 2α=时取等号， 故1OA OB +的最小值为223. 解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=(63ππα≤≤），代入曲线1C 的极坐标方程，得sin ρα=，sin OA ρα∴==， 把直线l 的参数方程代入曲线2C 的极坐标方程得：2cos 3sin ρθα=，23sin cos αρα∴=，即23sin cos OB αρα==，21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+， 曲线1C 的参3[,3]k ∈Q ，即3tan [,3]α∈， 63ππα≤≤Q，13sin 2α∴≤≤，112sin 22sin 22sin sin αααα∴+≥⋅=， 当且仅当12sin sin αα=，即2sin 2α=时取等号， 故1OA OB +的最小值为223. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19．（1），； （2）16.【解析】 【分析】（1）对直线的参数方程消参得，利用即可将化为，问题得解。