2012届高考数学解题的思维策略1

一、《高中数学解题的思维策略》
导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性
根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性
提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。

三、数学思维的严密性
考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。

四、数学思维的开拓性
对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。

什么”转变，从而培养他们的思维能力。

《策略》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。

数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。

根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。

观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。

要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。

例如，求和
)
1(14
313
212
11++
+⋅+
⋅+
⋅n n .
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且
1
11)
1(1+-
=+n n n n ，因此，原式等于1
111
113
12
12
11+-
=+-
+
+-
+
-
n n n
问题很
快就解决了。

（2）善于联想
联想是问题转化的桥梁。

稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。

因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。

例如，解方程组⎩
⎨⎧-==+32
xy y x .
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。

由此联想到韦达定理，
x 2
把：
( 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。

所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。

例1 已知d c b a ,,,都是实数，求证.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++ 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1所示， 则.)()(2
2d b c a AB -+-=
,,2
22
2
d c OB b a OA +=
+=
在OAB ∆中，由三角形三边之间的关系知：
AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。

由 x y x 62322=+得 ,32
32
2x x y +-
= ,2
9)3(2
132
32
2
2
2
2
+
--
=+-
=+∴
x x x x y
x
∴
当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为2
9
这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误。

因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，
又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。

有些问题的观察要从相应的图像着手。

例3 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系
)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。

思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点
解 C ∠ 为钝角，0<∴tgC .在ABC ∆中)(B A C C B A +-=∴=++ππ 且均为锐角，、B A
[].
1.01,0,0.
01)()(<⋅>⋅-∴>><⋅-+-
=+-=+-=∴tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB
tgA tgB tgA B A tg B A tg tgC 即 π
故应选择（B ）
思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数
的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。

例5 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。

但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。

于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。

证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z
2
z . 3的
思维阻碍 由于这是一个关于自然数n 的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。

（3） 问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。

在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。

恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。

○
1 转化成容易解决的明显题目 例11 已知,1111=++=
++c
b a
c b a 求证a
、b 、c 中至少有一个等于1。

思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。

首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。

a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说111---c b a 、、中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。

证明 .,
1111abc ab ac bc c b a =++∴
=++。

)，
.024
)47(2
2
=++-+p p
x p x
（3）
确定p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧<->+>+--0
470
24
)24
(
4)47(2
2
2
p p p
p p
p
在0>p 的条件下，得.130<<p
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的
-177 。

○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。

通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。

例14 已知复数z 的模为2，求i z -的最大值。

解法一（代数法）设，、)(R y x yi x z ∈+=
.25)
1(.42
22
2y y x i z y x -=
-+=
-+＝则
.32,2max
=--=∴≤i
z y y 时，当
解法二（三角法）设),sin (cos 2θθi z += 则 .sin 45)
1sin 2cos 42
2
θθθ-=
-=
-＋（i z。