2019秋八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形的性质
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为大家整理了人教版八年级数学上册目录，欢迎大家阅读!人教版八年级数学上册教材目录第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和数学活动小结复习题11第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.2 乘法公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解数学活动小结复习题14第十五章分式15.1 分式15.2 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吧15.3 分式方程数学活动小结复习题15部分中英文词汇索引八年级数学整式知识总结式子是数或字母的积的式子叫做单项式(monomial)。
单独的一个数或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient)。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(degree)。
几个单项式的和叫做多项式(polynomial)。
每个单项式叫多项式的项(term)，其中，不含字母的叫做常数项(constant term)。
多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式(integral expression_r)。
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项。
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接;然后去括号，合并同类项。
2022秋八年级数学上册第13章全等三角形13.3等腰三角形13.3.2等腰三角形的判定习题课件新版
C．5 条
D．6 条
4. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，CD 平分∠ACB
交 AB 于点 D，过点 A 作 AE∥CD 交 BC 的延长线于点 E，
若∠BAC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( D )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
第 4 题图
5. 如图，在△ ABC 中，∠B＝∠C＝40°，D、E 是 BC 上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，判断并写出图中 所有的等腰三角形 △ ABC、)
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
第 2 题图
3. (2017·海南)已知△ ABC 的三边长分别为 4，4，6，
在△ ABC 所在平面内画一条直线，将△ ABC 分割成两个
三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最
多可画( B )
A．3 条
B．4 条
知识点 等腰三角形的判定 1. 下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是 (D) A．有两个内角是 85°与 10°的三角形 B．有一个角为 45°的直角三角形 C．有外角为 130°，与它不相邻的一个内角为 50° 的三角形 D．有两个内角为 65°与 55°的三角形
2. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、
第 5 题图
6. 如图，D 是 AB 边上的中点，将△ ABC 沿过 D 的 直线折叠，使点 A 落在 BC 上 F 处，若∠B＝50°，则∠BDF ＝ 80 度．
第 6 题图
7.如图，在△ ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°， 将△ ABC 沿射线 BC 的方向平移 2 个单位后，得到 △ A′B′C′，连结 A′C，则△ A′B′C 的周长为 12 ．
八年级数学上第13章全等三角形13.3全等三角形的判定3角边角和角角边课冀教
【答案】B
8．(中考·四川凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝ AF.下列结论： ①EM＝FN；②CD＝DN； ③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM. 其中正确的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．(2018·浙江金华)如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是___A_C_＝__B__C_(_答__案__不__唯__一__)______．
【思路点拨】延长 AE 交 DF 的延长线于点 G，由“AAS”说明 △AEB≌△GEC，可得 AB＝CG，再利用平行线的性质与角平分 线的定义易证得 AF＝GF，即可得结论． 解：AB＝CF＋AF. 如图，延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. 因为 E 是 BC 的中点，所以 CE＝BE. 因为 AB∥DC，所以∠BAE＝∠G.
【思路点拨】由“AAS”说明△AEB≌△FEC，可得 AB＝FC，即 可得结论；
【答案】AD＝AB＋DC
(2)问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAF 的平分 线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并说明你的结论．
∠ACB＝∠D， 因为∠CAB＝∠E，所以△ABC≌△EAD(AAS)．
AB＝EA，
13．(2019·贵州安顺)(1)如图①，在四边形 ABCD 中，AB∥CD， 点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAD 的平分线，试判断 AB， AD，DC 之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的 延长线于点 F，易证△AEB≌△FEC，得到 AB＝ FC，从而把 AB，AD，DC 转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC 之间的等量关系是____________；
8．(中考·四川凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝ AF.下列结论： ①EM＝FN；②CD＝DN； ③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM. 其中正确的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．(2018·浙江金华)如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是___A_C_＝__B__C_(_答__案__不__唯__一__)______．
【思路点拨】延长 AE 交 DF 的延长线于点 G，由“AAS”说明 △AEB≌△GEC，可得 AB＝CG，再利用平行线的性质与角平分 线的定义易证得 AF＝GF，即可得结论． 解：AB＝CF＋AF. 如图，延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. 因为 E 是 BC 的中点，所以 CE＝BE. 因为 AB∥DC，所以∠BAE＝∠G.
【思路点拨】由“AAS”说明△AEB≌△FEC，可得 AB＝FC，即 可得结论；
【答案】AD＝AB＋DC
(2)问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAF 的平分 线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并说明你的结论．
∠ACB＝∠D， 因为∠CAB＝∠E，所以△ABC≌△EAD(AAS)．
AB＝EA，
13．(2019·贵州安顺)(1)如图①，在四边形 ABCD 中，AB∥CD， 点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAD 的平分线，试判断 AB， AD，DC 之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的 延长线于点 F，易证△AEB≌△FEC，得到 AB＝ FC，从而把 AB，AD，DC 转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC 之间的等量关系是____________；
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
八年级数学上第13章全等三角形13.3全等三角形的判定2边角边课冀教
精彩一题 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
所以∠DEC＝∠AFB，即∠GEF＝∠GFE.
10．(2018·山东菏泽)如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF.请写 出 DF 与 AE 的数量关系，并证明你的结论．
解：DF＝AE.证明如下： 因为 AB∥CD，所以∠C＝∠B. 因为 CE＝BF，所以 CE－EF＝BF－EF，即 CF＝BE. 又因为 CD＝BA，所以△DCF≌△ABE(SAS)． 所以 DF＝AE.
11．(2019·山东淄博)已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝ AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC. 求证：∠E＝∠C.
证明：因为∠BAE＝∠DAC， 所以∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE. 所以∠CAB＝∠EAD. 又因为 AB＝AD，AC＝AE，所以△ABC≌△ADE(SAS)． 所以∠C＝∠E.
A．甲和乙
B．乙和丙
C．丙
D．乙
5．(2019·湖南邵阳)如图，已知 AD＝AE，请你添加一个条件， 使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_A__B_＝__A_C___．(不添加 任何字母和辅助线) (答案不唯一)
第13章 13.3 13.3. 1 等腰三角形的性质
第 7 题图
8. 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，求证： ∠C＝2∠D.
证明：证∠C＝∠ABC＝∠CBD＋∠D，又由 AD∥BC 得∠CBD＝∠D，
∴∠C＝2∠D.
9. 如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，CE、BF 交于点 P.
(1)求证：CE＝BF； (2)求∠BPC 的度数．
为( B )
A．6
B．8
C．10
D．12
第 4 题图
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在
AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
第 5 题图
6. 如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， 延长 BC 至点 E，使 CE＝CD，则∠BDE＝ 120°．
则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
第 3 题图
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 2:12:57 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
8. 如图，已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，求证： ∠C＝2∠D.
证明：证∠C＝∠ABC＝∠CBD＋∠D，又由 AD∥BC 得∠CBD＝∠D，
∴∠C＝2∠D.
9. 如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，CE、BF 交于点 P.
(1)求证：CE＝BF； (2)求∠BPC 的度数．
为( B )
A．6
B．8
C．10
D．12
第 4 题图
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在
AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
第 5 题图
6. 如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， 延长 BC 至点 E，使 CE＝CD，则∠BDE＝ 120°．
则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
第 3 题图
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 2:12:57 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
03-第十三章13.3.1等腰三角形
例3 如图13-3-1-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接 AD.若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形.
图13-3-1-2 证明 ∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+ ∠BAD=75°,∴∠ADC=∠CAD,∴AC=CD, 即△ACD为等腰三角形.
∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCD, ∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴BE=OE,CF=OF, ∴EF=OE-OF=BE-CF. 点拨 本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的关系,进 而运用等腰三角形的判定定理(等角对等边)得出线段之间的关系,这是 证几何题中常用的方法.
9.(2018广西桂林中考)如图13-3-1-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平
分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是
.
答案 3
图13-3-1-8
解析 因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形;因为∠A=36°,所以∠ABC =∠C=72°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=36°,因为∠DBA=∠A =36°,所以△ABD为等腰三角形;又因为∠BDC=∠A+∠ABD=72°,所以 ∠BDC=∠C,所以△BDC为等腰三角形,故答案为3.
题型三 等腰三角形判定与性质的综合应用 例3 如图13-3-1-5所示,已知△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线,且相交于O点.
图13-3-1-5 (1)试说明△OBC是等腰三角形; (2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
人教版八年级数学上册第十三章 1 13. 第1课时 等腰三角形的性质
1
2
2.等腰三角形的性质及其应用 【例2如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB于点 E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.
分析:利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质进行证 明.
1
2
证明:连接AD(图略). ∵D为BC的中点,AB=AC, ∴AD平分∠BAC. 又DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 点拨:此题解法灵活,也可以直接利用等腰三角形的性质证明 △BDE≌△CDF.另外,作底边上的中线(或顶角的平分线、底边上的 高)是解决与等腰三角形有关问题时常用的辅助线.
相等
(简写成“等边对等角”);
性质2:等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线 、底边
上的高相互重合(简写成“三线合一”).
2.等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上
的高)所在的 直线 就是它的对称轴.
知识梳理 预习自测
1.下列说法正确的是( ). A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍 D.等腰三角形的两个底角相等
.
66°
关闭
答案
1
2
1.等腰三角形的边、角的计算 【例1】 已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这 个等腰三角形各角的度数. 分析:应考虑3种情况,即(2x-2)°作顶角或(3x-5)°作顶角或(2x-2)° 和(3x-5)°均不是顶角. 解:若2x-2=3x-5,得x=3. 故三角形的三个内角分别为4°,4°,172°; 若2(2x-2)=180-(3x-5),得x=27. 故三角形的三个内角分别为52°,52°,76°; 若2(3x-5)=180-(2x-2),得x=24. 故三角形的三个内角分别为46°,67°,67°.
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14
5. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ ABC 的外角∠BCD＝ 110°．
第 5 题图
15
6. 边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆 1
放，则△ ABC 的面积为 4 ．
第 6 题图
16
7. 如图，将 Rt△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°，得到 Rt△ AB′C′，点 C′恰好落在斜边 AB 上，连结 BB′，则∠BB′C′ ＝ 20 度．
22
1. 如图所示，△ DAC 和△ EBC 均是等边三角形， AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN. 其中正确 结论的个数是( C )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
23
【解析】∵△ACD 和△ EBC 均为等边三角形，∴∠ACD ＝ ∠BCE ＝ 60°， ∴∠DCE ＝ 180°－ ∠ACD － ∠BCE ＝ 60°，∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE＝120°，即∠ACE ＝∠BCD，在△ ACE 和△ DCB 中，AC＝CD，∠ACE＝ ∠BCD，CE＝BC，∴△ACE≌△DCB(S. A. S. )，∴∠CAE ＝∠BDC，在△ AMC 和△ DNC 中，∠CAE＝∠BDC， AC＝CD，∠ACM＝∠DCN，
第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形的性质
1
1. 有两条边相等 的三角形是等腰三角形； 三条边都相等 的三角形是等边三角形，等边三角形是 特殊的等腰三角形．
2. 等腰三角形的性质： 性质 1：等腰三角形的 两个底角 相等，简称为 “ 等边对等角 ”；
2
性质 2：等腰三角形的 底边上的高、中线及顶角平 分线 互相重合，简称“ 已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，求证： ∠C＝2∠D.
18
证明：证∠C＝∠ABC＝∠CBD＋∠D，又由 AD∥BC 得∠CBD＝∠D，
∴∠C＝2∠D.
19
9. 如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，CE、BF 交于点 P.
4
2. (2017·资阳改编)如图，BE 平分∠DBC，点 A 是
BD 上一点，且 AB＝AE，∠DAE＝56°，则∠E 的度数为
(D) A．56°
B．36°
C．26°
D．28°
第 2 题图
5
3. (2017·台州)如图，已知等腰三角形 ABC，AB＝AC，
若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，
BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点
D，则∠D 的度数为( A )
A．15°
B．17. 5°
C．20°
D．22. 5°
第 2 题图
11
3. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边
BC、AB 上，且 BD＝AE，AD 与 CE 相交于点 F，则∠DFC
的度数为( D )
3. 等 边 三 角 形 的 性 质 ： 等 边 三 角 形 的 三 个 角 都 相等 ，且每个角都等于 60 度．
3
知识点 等腰三角形的性质
1. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 中点，∠BAD
＝35°，则∠C 的度数为( C )
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
第 1 题图
(1)求证：CE＝BF； (2)求∠BPC 的度数．
20
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC， AB＝BC，
∠A＝∠EBC. 在△ ABF 和△ BCE 中，∵∠A＝∠EBC， AF＝BE，
∴△ABF≌△BCE(S. A. S. )， ∴BF＝CE.
21
(2)由(1)知△ BCE≌△ABF， ∴∠PCB ＝ ∠ABF ， ∴∠PCB ＋ ∠PBC ＝ ∠ABF ＋ ∠PBC ＝ ∠EBC ＝ 60°， ∵∠CPB ＋ ∠PCB ＋ ∠PBC ＝ 180°，∴∠BPC＝180°－(∠PCB＋∠PBC)＝180°－60° ＝120°.
第 6 题图
9
1. (2017·吉林)如图，在△ ABC 中，以点 B 为圆心，
以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连结 AD，若∠B
＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的度数是( C )
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
第 1 题图
10
2. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，E 为
则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
第 3 题图
6
知识点 等边三角形的性质
4. 如图，将边长为 2 个单位的等边△ ABC 沿 BC 边
向右平移 1 个单位得到△ DEF，则四边形 ABFD 的周长
为( B )
A．6
B．8
C．10
24
∴△AMC≌△DNC(A. S. A. )，∴CM＝CN；AM＝ DN，∵∠AMC＞∠ADM，又∠ADM＝∠ACM，∴∠AMC ＞∠ACM，∴AC＞AM，即 AC＞DN，由上述证明可知 ①②正确，③错误．
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
第 3 题图
12
4. 等腰三角形的一腰上的中线把这个等腰三角形
的周长分成 36 和 63 两部分，则其腰长为( D )
A．21
B．24
C．24 或 42
D．42
13
【解析】如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，中线 为 BD，设 AB＝2x，则 AD＝DC＝x，底边 BC 为 y，依题 意得：(1)2x＋x＋y＝x＝633；6，或(2)x2＋x＋y＝x＝366，3，由(1)得xy＝＝1521，， 此时三边长为 24，24，51， 不能构成三角形，由(2)得xy＝＝2115，，此 时三角形三边长为 42，42，15，能构成三角形，故三角 形的腰长为 42.
D．12
第 4 题图 7
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在
AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
第 5 题图
8
6. 如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， 延长 BC 至点 E，使 CE＝CD，则∠BDE＝ 120°．
5. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ ABC 的外角∠BCD＝ 110°．
第 5 题图
15
6. 边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆 1
放，则△ ABC 的面积为 4 ．
第 6 题图
16
7. 如图，将 Rt△ ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°，得到 Rt△ AB′C′，点 C′恰好落在斜边 AB 上，连结 BB′，则∠BB′C′ ＝ 20 度．
22
1. 如图所示，△ DAC 和△ EBC 均是等边三角形， AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN. 其中正确 结论的个数是( C )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
23
【解析】∵△ACD 和△ EBC 均为等边三角形，∴∠ACD ＝ ∠BCE ＝ 60°， ∴∠DCE ＝ 180°－ ∠ACD － ∠BCE ＝ 60°，∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE＝120°，即∠ACE ＝∠BCD，在△ ACE 和△ DCB 中，AC＝CD，∠ACE＝ ∠BCD，CE＝BC，∴△ACE≌△DCB(S. A. S. )，∴∠CAE ＝∠BDC，在△ AMC 和△ DNC 中，∠CAE＝∠BDC， AC＝CD，∠ACM＝∠DCN，
第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形的性质
1
1. 有两条边相等 的三角形是等腰三角形； 三条边都相等 的三角形是等边三角形，等边三角形是 特殊的等腰三角形．
2. 等腰三角形的性质： 性质 1：等腰三角形的 两个底角 相等，简称为 “ 等边对等角 ”；
2
性质 2：等腰三角形的 底边上的高、中线及顶角平 分线 互相重合，简称“ 已知 AB＝AC＝AD，且 AD∥BC，求证： ∠C＝2∠D.
18
证明：证∠C＝∠ABC＝∠CBD＋∠D，又由 AD∥BC 得∠CBD＝∠D，
∴∠C＝2∠D.
19
9. 如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，CE、BF 交于点 P.
4
2. (2017·资阳改编)如图，BE 平分∠DBC，点 A 是
BD 上一点，且 AB＝AE，∠DAE＝56°，则∠E 的度数为
(D) A．56°
B．36°
C．26°
D．28°
第 2 题图
5
3. (2017·台州)如图，已知等腰三角形 ABC，AB＝AC，
若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，
BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点
D，则∠D 的度数为( A )
A．15°
B．17. 5°
C．20°
D．22. 5°
第 2 题图
11
3. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边
BC、AB 上，且 BD＝AE，AD 与 CE 相交于点 F，则∠DFC
的度数为( D )
3. 等 边 三 角 形 的 性 质 ： 等 边 三 角 形 的 三 个 角 都 相等 ，且每个角都等于 60 度．
3
知识点 等腰三角形的性质
1. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 中点，∠BAD
＝35°，则∠C 的度数为( C )
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
第 1 题图
(1)求证：CE＝BF； (2)求∠BPC 的度数．
20
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC， AB＝BC，
∠A＝∠EBC. 在△ ABF 和△ BCE 中，∵∠A＝∠EBC， AF＝BE，
∴△ABF≌△BCE(S. A. S. )， ∴BF＝CE.
21
(2)由(1)知△ BCE≌△ABF， ∴∠PCB ＝ ∠ABF ， ∴∠PCB ＋ ∠PBC ＝ ∠ABF ＋ ∠PBC ＝ ∠EBC ＝ 60°， ∵∠CPB ＋ ∠PCB ＋ ∠PBC ＝ 180°，∴∠BPC＝180°－(∠PCB＋∠PBC)＝180°－60° ＝120°.
第 6 题图
9
1. (2017·吉林)如图，在△ ABC 中，以点 B 为圆心，
以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连结 AD，若∠B
＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的度数是( C )
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
第 1 题图
10
2. 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，E 为
则下列结论一定正确的是( C )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
第 3 题图
6
知识点 等边三角形的性质
4. 如图，将边长为 2 个单位的等边△ ABC 沿 BC 边
向右平移 1 个单位得到△ DEF，则四边形 ABFD 的周长
为( B )
A．6
B．8
C．10
24
∴△AMC≌△DNC(A. S. A. )，∴CM＝CN；AM＝ DN，∵∠AMC＞∠ADM，又∠ADM＝∠ACM，∴∠AMC ＞∠ACM，∴AC＞AM，即 AC＞DN，由上述证明可知 ①②正确，③错误．
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
第 3 题图
12
4. 等腰三角形的一腰上的中线把这个等腰三角形
的周长分成 36 和 63 两部分，则其腰长为( D )
A．21
B．24
C．24 或 42
D．42
13
【解析】如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，中线 为 BD，设 AB＝2x，则 AD＝DC＝x，底边 BC 为 y，依题 意得：(1)2x＋x＋y＝x＝633；6，或(2)x2＋x＋y＝x＝366，3，由(1)得xy＝＝1521，， 此时三边长为 24，24，51， 不能构成三角形，由(2)得xy＝＝2115，，此 时三角形三边长为 42，42，15，能构成三角形，故三角 形的腰长为 42.
D．12
第 4 题图 7
5. 如图，△ ABC 是等边三角形，AD⊥BC，点 E 在
AC 上，且 AE＝AD，则∠EDC＝( B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
第 5 题图
8
6. 如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点， 延长 BC 至点 E，使 CE＝CD，则∠BDE＝ 120°．