关于四边形辅助线问题试题(带答案)

1、如图，,AB CD 交于点O ，//,,,AC DB AO BO E F =分别为,OC OD 的中点， 连接,AF BE ，求证：//AF BE 。

【解析】连接,AE BF ，证明四边形AEBF 为平行四边形。

注：也可用“8字”全等。

2、等边ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD BE =，所以AD 为边作等边ADF ∆．求证：四边形CDFE 是平行四边形．
【解析】 连结FB ．
∵1602BAD ∠=-∠=∠ ，AF AD =，AB AC = ∴AFB ∆≌ADC ∆，∴60ABF ACD ∠=∠=
，FB DC =
∵CD BE =，∴FB BE =
∴BEF ∆是等边三角形，∴EF BE DC ==，60BEF ∠= ∵60ABC ∠= ，∴BEF ABC ∠=∠
∴EF ∥BC ，∴四边形CDFE 是平行四边形 注：注意控制难度，可以视学生情况选做。

E
C
D
F
B
A
2
1
E
C
D F
B A
3、如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
【解析】 连接BG 、BH 、BD ，设BD 与AC 相交与点O
∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EG ∥BH ，同理FH ∥BG ∴四边形BHDG 是平行四边形，∴OB OD =，OG OH = ∵AG HC =，∴OA OC = ∴四边形ABCD 是平行四边形
注：考察中位线定理，及平行四边形的判定。

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 【解析】连结AC ，取AC 中点P ，连结PN ，PM ，则PN 是△ACD 的中位线，∴ PN=1
2AD ，
∠PNM=∠DEN ，同理可证，PM=1
2BC ，∠PMN=∠F ，∴ PN=PM ，∴ ∠PNM=∠PMN ，∴ ∠DEN ＝∠F ．
O
F E H D
G C
B
A H G
E
C
D
F B
A
5、如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF 与AE 互相平分．
【解析】 连结AF 、DE ．
∵EF ∥AB ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形 ∴EF BD =
∵AD BD =，∴AD EF =
∵AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形 ∴DF 与AE 互相平分
6、如图，已知：在□ABCD 中，∠A ＝60°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AB ＝2AD ．求证：BF ∶BD ＝3∶3．
【解析】
提示：连接DE ，先证△ADE 是等边三角形，进而证明∠ADB ＝90°，∠ABD ＝30°．
E
C D
F
B
A
E C D
F
B A
7、（★★★★）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=12cm ，BC=28cm ，EF ∥AB 且EF 平分ABCD 的面积，求：BF 的长。

【答案】令BF=x,∴AE=BF=x
cm BF x x x h CF DE h x 1010)22812(21
)(2
1
=∴=⇒-+=
⋅+=⋅∴
8、（★★★）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠B=60°，•AD=•3cm ，•DC=5cm ，求梯形ABCD 的周长．
【答案】
（方法1）作DE ∥AB 交BC 于E ，可得△DCE 是等边三角形．
梯形的周长=三角形DCE 的周长+AD+BE=15+6=21．
（方法2）过A ，D 点做垂线
9、（★★★★）如图,等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC⊥BD 于O,若DC=4cm,AB=9cm ｡求梯形的高｡
O
D
C
B A
_ B
_ D
_ C
_ F
【答案】过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E,过C 作CF⊥AB 于F
AB∥CD, CE ∥BD ∴CE=BD , BE=CD=4 等腰梯形ABCD 中,AC=BD ∴CE=AC
AC⊥BD, CE ∥BD ∴ CE⊥AC∴△ACE 是等腰直角三角形∴CF=
12
AE=1
2
(AB+BE) ∵AB=9cm ∴CF=12(9+4)=132cm ，即梯形的高为13
2
cm ｡
10、如图2-49所示．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC ，BD ⊥CD ．求∠A 的度数．
解：AB=AD=DC ，知ABCD 是等腰梯形且∠ABD=∠ADB=∠BDC ，故∠C=∠ABC=2∠DBC ， 又∠BDC 是直角，所以∠C=60°, ∠A=120°
11、已知：等腰梯形中，∥，，，将线段绕点逆．
时针旋转，得到线段. 求△的面积；
【解析】
解：（1）作出线段 ………………………………… 1分 过点作于,过点作于
∵四边形是等腰梯形，∥
易证
过点作垂直于的延长线于点
ABCD AD BC 2=AD 6=BC DC D ︒90C D 'C AD 'C D 'D BC DF ⊥F A BC AH ⊥H ABCD AD BC ()22-62
1
===BH FC ︒=∠=∠90ADF EDF 'C E C 'AD E D
C
B
A 3
21E
F
C 'A
B
C
D
D
E
∴
∵线段绕点逆时针旋转90°，得到线段 ∴, ∴， ∴
∴≌ ………………………… 2分 ∴
∴…………………… 3分
12、（★★★★★）已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，AB=CD ，AD ：BC=5：6，∠A 、∠D 的平分线都与BC 相交于EF 两点，这两点把BC 三等分，若梯形周长为5.7CM,求上底和下底的长.
【答案】设为AD=5X BC=6X.
第一种情况,如图:AB=BE=EF=FC=CE=2X 15X=57 即X=
5
19
第二种情况,当AB=BE,CD=CF 时,则
BF=EF=CE=2X BE=4X,CF=4X ，5X+6X+4X+4X=57，X=3 AD=15CM,BC=18CM
说明：在解几何题时往往同一题运用了几种解思想，如本题既具有分类思想同时还用了方程思想。

13、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以AB 边为边以点B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直角三角形ABD ，以AC 边为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACE ，连结BE 、DC ，两条线段相交于F ，试求∠EFC 的度数．
︒=∠='∠90DFC C DE DC D C D '︒='∠90C CD C D DC '=︒=∠+∠9031︒=∠+∠903221∠=∠CFD ∆ED C '∆2=='FC C E =∆'ADC S 2222
1
21'=⨯⨯=⋅E C AD
B E F
C
A B
D
E F
【解析】
1．若O 是四边形ABCD 对角线的交点且OA=OB=OC=OD ，则四边形ABCD 是（）
（A ）平行四边形（B ）矩形（C ）正方形（D ）菱形
2．已知菱形的两条对角线长分别是4cm 和8cm ，则与此菱形同面积的正方形的边长是（）
（A ）8cm （B ）24cm （C ）22cm （D ）4cm
3．已知一组邻边的长，能作出确定的图形是（ ）
（A ）梯形 （B ）平行四边形 （C ）矩形 （D ）菱形
4．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角⑥等边三角形，一定可以拼成的是（）
（A ）①④⑤（B ）②⑤⑥（C ）①②③（D ）①②⑤
5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 、E 分别是AB 、BC 的 中点，F 在CA 延长线上，∠FDA=∠B ，AC=6，AB=8，则四 边形AEDF 的周长为（ ）
（A ）16 （B ）20 （C ）18 （D ）22
【解析】BDCDA。