平行四边形有关的常用辅助线

PART A 知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF ⑵DE BF =
⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE =
∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =
图2图1
E C
A
A
B
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）
A 111<<m
B 222<<m
C 1210<<m
D 65<<m
解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==
∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形
求证：2
22222DA CD BC AB BD AC +++=+
证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F
∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =
∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB
∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE =
∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+
图4图3K
C F B B
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =
证明：延长CF 交BA 的延长线于点K
∵四边形ABCD 为正方形
∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD
∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF = ∴CDF ∆≌KAF ∆ ∴AB CD AK == ∵AD DF CD CE 21,21==
∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆ ∴21∠=∠
∵09031=∠+∠ ∴09032=∠+∠ ∴090=∠CPB ,则0
90=∠KPB ∴AB AP =
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5，在平行四边形ABCD 中，点E 为边CD 上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE 与BC 的延长线相交于F ，则有
AED ∆∽FEC ∆,FAB ∆∽FEC ∆,AED ∆∽FAB ∆
图6图5D B B F
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD 中，BN AN =,BC BE 31=,NE 交BD 于F ，求BD BF :
解：连结AC 交BD 于点O ,连结ON ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴2
,BD OD OB OC OA =
== ∵BN AN = ∴ON ∥BC 21且BC ON 21= ∴FO
BF ON BE = ∵BC BE 31= ∴3:2:=ON BE ∴3
2=FO BF ∴52=BO BF ∴5:1:=BD BF 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

PART B 综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？
3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：
（1）当AP=21AD 时（如图②）： ∵AP=21AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴ABD ABP S S ∆∆=2
1。

∵PD=AD －AP=21AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴CDA CDP S S ∆∆=2
1。

∴CDP ABP ABCD PBC S S S S ∆∆∆--=四边形
＝CDA ABD ABCD S S S ∆∆--
2
121四边形 ＝()()ABC ABCD DBC ABCD ABCD S S S S S ∆∆----四边形四边形四边形2
121 ＝ABC DBC S S ∆∆+2
121 （2）当AP=3
1AD 时，探求DBC ABC PBC S S S ∆∆∆与与之间的关系，写出求解过程； （3）当AP=6
1AD 时，DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系式为______________________； （4）一般地，当AP=n 1AD （n 表示正整数）时，探求DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP=
n m AD ⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤10n m 时，DBC ABC PBC S S S ∆∆∆和与之间的关系为____________________。

① ②
二、多边形
1、如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°，那么∠BCD 的度数等于（ ）
A 、40°
B 、50°
C 、60°
D 、70°
2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于 90，∠B 、∠C 应分别为 21和
32，检验工人量得∠BDC= 148，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm 的正方形板子，另一块是上底为30cm ，下底为120cm ，高为60cm 的直角梯形板子（如图①），王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE 围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点。

（1）求BC 的长。

（2）利用图②求出矩形顶点B 所对的顶点到BC 边的距离x （cm ）为多少时，矩形的面积y
（2
cm ）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

① ②
三、平行四边形 （矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF 。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC ，求四边形ABEF 的面积。

2、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=2
1DC 。

若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为____________。

3、如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 对角线BD 所在直线上两点，DE=BF ，请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等。

（只需研究一组线段相等即可）。

（1）连结_________；（2）猜想：_____________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。

4、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，连结DE 、BF 、BD 。

（1）求证：△ADE ≌△CBF 。

（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论。