相似三角形常用辅助线知识讲解

2
EF TC
∵BD=2DC，
∴BT 5 DC，
2
∴BE：EF=5：1.
B
A
nF Ey
?5y n
2k
D k Tk C
22
练习：
如图，D是△ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1，
E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F,
求AF：CF的值.
A
F
E
B
D
C
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
nF
E ?kk S
2k n 2 k
B
D
C
解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
?5y y
n E
y FS
k
2k n 2 k
B
D
C
解法4： 过点E作AC的平行线交BC于点T，
A nF E
n
B
2k
D ?kk T?kk C
22
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
则DTCT1DC，BE BT ；
AB BD AC DN
同 理 E C F D N F ，
E C E F ， 而 B D E C （ 已 知 ） D ND F
B D E C （ E C 为 中 间 比 ） ， D ND N D N
A BE F， A B D FA C E F A CD F
• 1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB 延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
• 求证：EF×BC=AC×DF
1、证明： 过D作DG∥BC交AB于G， 则△DFG和△EFB相似，∴
DG DF BE EF
∵BE＝AD,∴
DG DF ① AD EF
由①②得，
①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，
A
B
D
F
E C
利用前两题的 思想方 法，借助中点构造中 位线，利用平行与2 倍关系的 结论，证明 所得结论
找到后以比例式所 在三角形与哪个三 角形相似
1、如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是
AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.
求证：AE：EC=AF：BF
A
注意观察图形的 特殊性，
有些像全等中，旋转的
A
2x nF
PE
3x
2k 2x n k
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
2x
nF
E
2k
n
2x Q
kx
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法3：
过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
4y
4h
n E n
Fy h
S
5y
2h
B
D
C
AF：CBaidu Nhomakorabea=2：3.
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
（EM为 中 间 比 ） ， BD
AB AC
EF ， DF
A B D F A C E F
• 方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N
则 有 ， B D N B A C ，
B D D N ， 即 B D A C A B D N （ 比 例 的 基 本 性 质 ） A BA C
基本图形，因此可以没
有相互关系的 成比例的
E B
CD
四条线段转化为成比例 的四条线段（通过全等 找相等的 线段）
关键是要把成比例线段
放在两个三角形中
F
2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中
本题的 重点在于如何
解决“2”倍的 问题；
让它归属一条线段，
A
找到这一线段2倍是哪
一线段。
D
B
C
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是 高，求证：BC2=2AC·CD
已知：从直角三角形ABC的 直角顶点A向斜 边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直 线ED与边AB的延长线交于F，
求证：AB:AC=DF:AF
段相等的方法：相似、成比例。
A
EC
F
• 例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、 AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线 相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角 形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形 相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加 平行线。
②
∴
DG AD
DG BC
DF BC EF AC
BC AC
AD AC
∴
∴EF×BC＝AC×DF
1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC
于E,交BA的延长线于F,求证：AF AE
F
BF EC
A E
B
D
C
利用比例式够造平行线，通 过中间比得结论
利用中点”倍长中线”的思 想平移线段EC,使得所得四条 线段分别构成两个三角形
A
n
4y F
4h
E n
6y 5y hh
B
D TC
AF：CF=2：3.
作平行线
• 例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和
E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线
相交于F，求证：BF
B
CF

BD CE
G
D
证明：过点C作CG//FD交AB于G
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎
样使用。由这道题还可以增加一种证明线
F y
2k
n ?2y k Q
B
D
C
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
则 DQ DA2， BF BC 3,
EF EA
DQ DC
∴ BE BF EF
3DQ EF 6EF EF 5E， FA
∴BE：EF=5：1.
B
n E
F y
?5y 2k
n
2y k Q
D
C
解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S，
淮北市开渠中学
王毅
• 相似三角形中的辅助线
• 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能 够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为 证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。主要的辅助线有以下几种：
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
P
n E y
F ?y y
n
2k
k
B
D
C
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
则 PE DE 1， BP BD2,
FE AE
PF DC
∴PE=EF BP=2PF=4EF， A
所以BE=5EF
∴BE：EF=5：1.
P
n E
F y
4?y 2k y n k
B
D
C
解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
n E
• 方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则 △EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角 形相似）。
E M E C 即 E M A C A B E C ， A B A C
AB EM AC EC
同 理 可 得 E M F D B F
EF EM， DF BD
又 BD E， C EM EM ECBD