最新相似三角形常用辅助线
相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。
专题一、添加平行线构造“A”“X”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC
变式练习：
已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想）
GFEDCBAGFEDCBACDBDACAB例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若DCBD＝FAFC=2,求BE:EA的比值.
变式练习：如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若BDDC ＝ FEED =2,求BE:EA的比值.
例3、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF
变式1、如图，△ABC中，AB ACFEBDACFEBDEDCBA例4、已知：如图，在△ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB、AC的长. 变式：如图，21DEAECDBD，求BFAF。（试用多种方法解） 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结： （1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F 专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形 例1、理由？（用多种解法） v 变式练习：平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2 例2、如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG2=CF•BF ABCDA B D E F C ABCDEF【练习】 1．如图，一直线与△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于D，E，F。求证：若CFBFECAE，则D是AB的中点。 2．如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=3CE，DE交BC于F，求DF：FE的值。 3.已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，求AE：EC。 4、 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： A B C D E F B E A D C F ABCDMEB D A C F E
初中数学三角形辅助线技巧
初中数学三角形辅助线技巧
在解决初中数学中的三角形问题时，添加辅助线是一种常见的策略。以下是一些常见的三角形辅助线添加技巧：
1. 中点连线：如果已知三角形的一个中点，可以通过连接这个中点到其他顶点来找到新的等腰三角形或平行四边形，从而简化问题。
2. 平行线：通过作平行线，可以构造新的平行四边形或相似三角形，从而利用这些图形的性质来解决问题。
3. 延长线：在某些情况下，延长线可以帮助我们找到新的角或线段，从而利用这些信息解决问题。
4. 作高：在直角三角形中，可以通过作高来找到新的线段或角，从而找到解决问题的线索。
5. 作角平分线：角平分线可以将一个角分为两个相等的角，从而帮助我们找到新的等腰三角形或平行线。
6. 构造全等三角形：通过添加辅助线，可以构造两个或多个全等的三角形，从而利用全等三角形的性质解决问题。
7. 倍长中线：在已知中点的情况下，可以通过倍长中线来找到新的等腰三角形或平行四边形。
8. 构造相似三角形：通过添加辅助线，可以构造两个相似的三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。
以上技巧并非一成不变，需要根据具体的问题和条件灵活运用。在解决三角形问题时，多思考、多实践是提高解题能力的关键。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常有的协助线的作法 (有答案)
总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角
之间的相等
【三角形协助线做法】
图中有角均分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。 角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。 要证线段倍与半，延伸缩短可试验。
三角形中两中点，连结则成中位线。 三角形中有中线，延伸中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法： 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线
合一”的性质解题
2.倍长中线： 倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形
3.角均分线在三种添协助线
4.垂直均分线联络线段两头
5.用“截长法”或“补短法” ： 碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.图形补全法： 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后组成等边三角形
7.角度数为 30、60 度的作垂线法： 碰到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可
以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成 30-60-90 的特别直角三角形，而后计
算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等
三角形创建边、角之间的相等条件。
8.计算数值法： 碰到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特别直角三角形，或
40-60-80 的特别直角三角形 ,常计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二
条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。
常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变
换中的“对折”法 结构全等三角形 ．
2) 碰到三角形的中线， 倍长中线， 使延伸线段与原中线长相等， 结构全等三角形，利用的
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类
第1页/共11页 思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．
作辅助线的方法主要有以下几种：
(1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．
图11－S－1
类型一 作平行线构造“A”型或“X”型相似
1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．
图11－S－2
2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F.
求证：AEDE＝2AFBF.
图11－S－3
3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S－4，在△ABC中，D是BA延长线上一动点，点F在BC上，且CFBF＝12，连接DF交AC于点E.
(1)如图△，当E恰为DF的中点时，请求出ADAB的值；
(2)如图△，当DEEF＝a(a＞0)时，请求出ADAB的值(用含a的代数式表示)．
思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：
甲：过点F作FG△AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；
乙：过点F作FG△AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；
丙：过点D作DG△BC交CA的延长线于点G，构造相似三角形解决问题．
老师说：“这三位同学的想法都可以”． 第2页/共11页 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中ADAB的值．
图11－S－4
类型二 作平行线转换线段的比
4．如图11－S－5，B为AC的中点，E为BD的中点，求AFAE的值．
图11－S－5
5．如图11－S－6，已知等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CD＝nDA，连接BD，M为线段BD上一点，∠AMD＝60°，连接AM并延长交BC于点E.
构造全等三角形的常用辅助线
构造全等三角形的常用辅助线
构造全等三角形的常用辅助线，这话题一提起来，大家可能就会有点小困惑，嘿嘿，别担心，咱们今天就轻松聊聊这个问题。全等三角形可不是个冷冰冰的数学名词，它们就像是兄弟姐妹，形状和大小都一模一样，简直就是双胞胎嘛。想象一下，两个三角形像在进行一场比赛，谁更帅、谁更精致，结果一看，哎呀，居然一模一样，真是让人捧腹大笑。不过，咱们在构造这些全等三角形的时候，总得有点小技巧，这时候，辅助线就派上用场了。
说到辅助线，真是妙不可言！它们就像是你在厨房做菜时的调味品，有了它们，事情就变得容易多了。比如说，咱们常用的第一条辅助线就是平行线，哦，这个家伙可厉害了！当你需要构造一个全等三角形，先画一条平行线，保证这条线与某一边平行，简直就是三角形的好搭档。有时候你可能会觉得，平行线有点简单，但你要知道，简单就是美嘛。它能帮你轻松搞定角度和边长的问题。
咱们再聊聊中线。中线就像是三角形里的神秘使者，把顶点和对边的中点连接起来，真是个不可思议的角色！你只需要一笔，就能把整个三角形的秘密传递出来。想象一下，两个全等三角形，通过中线一连接，简直就是传递信息的高手，瞬间让你明白了它们之间的关系，真是让人拍案叫绝啊。
还有哦，别忘了角平分线！这个角色可是很受欢迎的，尤其是在对称的情况下。它就像是将三角形分成两个小部分的小刀，让两个部分显得一模一样。这条线不仅可以帮助你找到角的对称点，还能让你在构造全等三角形时得心应手。想象一下，画出这条线，结果一看，哇，真是神奇！两个三角形的角度完全吻合，仿佛在对你微笑，心里那个美滋滋呀。
当然了，辅助线不仅限于这些，咱们还有高线、外角平分线等等，个个都是高手，齐上阵，把构造全等三角形的难题轻松化解。每条线都有自己的风格，就像咱们生活中的每个人，虽然有差异，但都能为这个世界添砖加瓦。构造全等三角形，就像是一场精彩的表演，辅助线就是那些默默无闻的幕后英雄，少了它们，演出可就不那么精彩了。
初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练
初中数学：19种有关三角形的辅助线方法归纳，结合例题实战演练
初中数学：有关三角形的辅助线方法归纳，共是19种类型，结合例题实战演练，适合想要提升自己解题能力的同学。
辅助线的使用对大部分初中同学来说是难以逾越的一条鸿沟，难度大，无从下手已经成为常态，今天唐老师带大家一起搞定三角形有关的辅助线使用方法。
第一类型：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可以连接两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证明。
第二类型：在利用三角形的外角大于任何不相邻的内角证明角的不等关系时，如果证不出来，就连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处于内角的位置上，再利用外角定理证明。
第三类型：有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。
第四种类型：有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。
第五类型：在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。
第六种类型：截长补短作辅助线的方法。
其实这个很好理解的，截长表示在较长的线段上截取与较短线段相等长度的线段，反之补短则是通过延长较短线段与已知较长线段相等的方法。
总之截长补短的方法的使用还是要看具体的情况而定，唐老师在这只是给大家提出解决问题的具体方法，大家可以顺着这个思路看看下面的例题，然后找相同类型的题进行练习。只有熟练运用这个方法，才能在考试的做题中自由发挥。
反之，没有深刻的理解和熟练的运用，遇到题目时，总感觉自己很乏力，没有做题的思路，甚至都找不到突破口。对于大部分的同学来说，解难题已经很困难了，要是遇到需要做辅助线才能完成的题目，那将更是雪上加霜了。
第七类型：条件不足时，延长已知边构造三角形。
第八类型：连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。
解题的方法并不是唯一的，但适时地打开思维，找到解题的突破口那将是变化多端。
常见三角形辅助线口诀
1 / 6 初二几何常见辅助线口诀
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为三角或平四。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
由角平分线想到的辅助线
一、截取构全等
如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
2 / 6 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等
如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形
如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。
四、角平分线+平行线
如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。
由线段和差想到的辅助线
五、截长补短法
AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。
常见三角形辅助线口诀修订版
常见三角形辅助线口诀修订版
IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
初二几何常见辅助线口诀
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为三角或平四。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
由角平分线想到的辅助线
一、截取构全等
如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等
如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形
如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。
四、角平分线+平行线
如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
相似三角形添加辅助线的方法举例
相似三角形添加辅助线的方法举例
1.垂直角辅助线：
当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。
2.中位线辅助线：
在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。这些中位线的交点被称为三角形的重心。通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。
3.等角辅助线：
当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。
4.比例辅助线：
当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。
5.平行辅助线： 当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。
以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。
相似三角形之常用辅助线
时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 相似三角形之经常使用辅助线之巴公井开创作
时间：二O二一年七月二十九日
在与相似有关的几何证明、计算的过程中,经常需要通过相似三角形,研究两条线段之间的比例关系,或者转移线段或角.而有些时候,这样的相似三角形在问题中,其实不是十分明显.因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需的结论.
专题一、添加平行线构造“A”“X”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
例1、平行四边形ABCD中,E为AB中点,AF：FD＝1：2,求AG：GC
变式练习：
已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线．求证：． （本题有多种解法,多想想）
例2、如图,直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若＝=2,求BE:EA的比值.
变式练习：如图,直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若BDDC ＝FEED =2,求BE:EA的比值.
例3、BE＝AD,求证：EF·BC＝AC·DF
变式1、如图,△ABC中,AB
时间：二O二一年七月二十九日 例4、已知：如图,在△ABC中,AD为中线,E在AB上,AE=AC,CE交AD于F,EF∶FC=3∶5,EB=8cm,
求AB、AC的长.
变式：如图,,求.（试用多种方法解）
说明：此题充沛展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活,思路要开阔．
总结：
（1）遇燕尾,作平行,构造字一般行.
（2）引平行线应注意以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项,在同一直线的线段的端点作为引平行线的点.
2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例.
专题二、作垂线构造相似直角三角形
一、基本图形
例1、理由？（用多种解法）
v
变式练习：平行四边形ABCD中,CE⊥AE,CF⊥AF,求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2
相似三角形之常用辅助线 2
时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 相似三角形之经常运用关心线之马矢奏春创作
时间：二O二一年七月二十九日
在与相似有关的几何证实、计算的过程中,经常需要经由过程相似三角形,研究两条线段之间的比例关系,或者转移线段或角.而有些时刻,这样的相似三角形在问题中,其实不是十清晰显.是以,我们需要经由过程添加关心线,机关相似三角形,进而证实所需的结论.
专题一、添加平行线机关“A”“X”型
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)订交,所构成的三角形与原三角形相似．
定理的底子图形：
例1、平行四边形ABCD中,E为AB中点,AF：FD＝1：2,求AG：GC
变式演习：
已知在△ABC中,AD是∠BAC的等分线．求证：． （本题有多种解法,多想想）
例2、如图,直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若＝=2,求BE:EA的比值.
变式演习：如图,直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若BDDC ＝FEED =2,求BE:EA的比值.
例3、BE＝AD,求证：EF·BC＝AC·DF
变式1、如图,△ABC中,AB
时间：二O二一年七月二十九日 例4、已知：如图,在△ABC中,AD为中线,E在AB上,AE=AC,CE交AD于F,EF∶FC=3∶5,EB=8cm,
求AB、AC的长.
变式：如图,,求.（试用多种方法解）
说明：此题充分展示了添加关心线,机关相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活,思路要坦荡．
总结：
（1）遇燕尾,作平行,机关字一般行.
（2）引平行线应留心以下几点：
1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项,在同一贯线的线段的端点作为引平行线的点.
2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例.
专题二、作垂线机关相似直角三角形
一、底子图形
例1、情由？（用多种解法）
v