四边形辅助线专题训练
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)含辅助线证明题训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形含辅助线证明题训练1.已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．2.在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC=120°，连接BG，CG，DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=90°，AB=8，AD=14，M是EF的中点，求DM的长．6.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．(1)求证：DP＝BF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求DP的长；(3)求证：CP＝BM＋2FN．7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM=AE；（2）连接CM，DF=2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC=2∠MCF，求ME的长．8.在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；（2）如图2．若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE＝EF．AC，将菱形ABCD绕着点B （3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE＝12顺时针旋转α°（0≤α≤360），请直接写出在旋转过程中DE的最大值．9.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN=1.（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值.10.如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC的中点．求证：AF=BC+CF．11.已知：如图（1），点E、F分别为正方形ABCD的边BC、DC上的点，线段AE和AF分别交BD于点M和点N，连接MF，MF⊥AE于点M．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）如图（2），连接EF，当AD＝5，DF＝1时，求线段EF的长度；BD．（3）如图（3），作FR⊥BD于R．求证：RM=12BC，CE⊥AB于点E，F是AD的中点，连接12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12EF，CF．求证：（1）EF=CF；（2）∠EFD=3∠AEF．13.如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．14.已知：如图，G为平行四边形ABCD中BC边的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2．（1）求证：E是AD的中点；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，得∠3＝∠2，求证：CD＝BF+DF．15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED=EF：(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形．并证明你的结论(请先补全图形，再解答)：(3)若ED=EF，则ED与EF垂直吗?若垂直给出证明，若不垂直说明理由．16.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
四边形中添加辅助线的题目练习
四边形中添加辅助线的题目练习1.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC 的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．402.（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．13.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点．求证：MN∥AD．4.已知：如图，AB=AC=BD，E为AB中点，求证：CD=2CE．5.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．（1）求证：PB =3PF ；（2）如果AC 的长为13，求AF 的长．6.如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，点P 和点Q 同时分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为4cm/s 、1cm/s ，则最快 s 后，四边形ABPQ 成为矩形。
7.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y =-21x +b 交折线OAB 于点E ．记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式．8.（2006•杭州）如图，在△ABC 中，AB=12，AC=5，∠BAC=90°．若点P是BC 的中点，则线段AP 的长等于 ；若点P 在直线BC 上运动，设点B 、C 关于直线AP 的对称点分别为B ′、C ′，则线段B ′C ′的长等于 ．9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A= °．10.己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG ⊥DE．。
中考数学 考点系统复习 第五章 四边形 方法技巧突破(五) 四边形中常见辅助线的作法
证明：(1)∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝CD，且∠BAE＝∠DCF， 又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)连接 BD 交 AC 于点 O，如解图． ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，且 O 为 AC，BD 中点， 又∵ AE＝CF，∴EO＝FO， ∴BD 与 EF 互相垂直且平分， 故四边形 BEDF 是菱形．
在 Rt△BCE 中，由勾股定理可得 BC＝8，
由矩形性质易知 OB＝OD，∴OF 为△BCD 的中位线，∴OF＝12BC＝4.
1
1
∴△ODE 的面积为2DE·OF＝2××4＝24.
4．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若 E 为 AB 的中点，若梯形 ABCD 的 面积为 34 个平方单位，则△ECD(阴影部分)的面积为 1 177 个平方单位．
5．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过 点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：BD＝BE； (2)若 BE＝10，CE＝6，连接 OE，求△ODE 的面积．
2．(2021 春·靖江期末)如图，在▱ABCD 中，BE 垂直平分 CD 于点 E，∠
BAD＝45°，AD＝6，则▱ABCD 的对角线 AC 的长为
( A)
A．6 5 B．4 5 C．10 3 D．10 2
3．(2021·随州)如图，在菱形 ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)证明四边形 BEDF 是菱形．
方法技巧突破(五) 四边形中常见 辅助线的作法
1．(2021 春·铜官区期末)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝
6，点 P 为斜边 AB 上一动点，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥BC 于点 F，
相似四边形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)
相似四边形中几种常见的辅助线作法(有
辅助线)
相似四边形中常见的辅助线作法（有辅助线）
相似四边形是指具有相同比例关系的四边形。
在研究相似四边形时，可以利用一些常见的辅助线作法来简化问题的分析和解决。
以下是几种常见的辅助线作法：
1. 完全相似定理：如果两个四边形的所有对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个四边形是相似的。
根据这个定理，我们可以直接判断两个四边形是否相似，而无需计算其边长和角度。
2. 高度定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的高度之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的高度，我们可以推导出它们的边长比例。
3. 中线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的中线之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的中线，我们可以推导出它们的边长比例。
4. 角平分线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的角平分线之比等于对应边的比例。
通过测量两个四边形的角平分线，我们可以推导出它们的边长比例。
这些辅助线作法可以帮助我们在研究相似四边形时更加简化问题，减少计算量，并且提供了直接判断相似性的方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的需求选择合适的辅助线作法。
希望以上内容对您有帮助！如有其他问题，请随时提问。
专题4——四边形中常见的辅助线的作法
A FED CBEDCBA F D CBA 专题四：四边形中常见的辅助线的作法-------------有关梯形问题解决梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答．常用辅助线又如下几种：一、如图，从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，所得的两个直角三角形是全等的，BE+FC=B C －AD.）例1：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝4cm ，BC ＝10cm ，∠B ＝45°.利用图中的提示求出梯形ABCD 的面积.例2：如图1，在梯形 中， 。
求证： 。
例3 ：如图，梯形中，， 、 为对角线，求证：二、 如图，平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如果是等腰梯形，平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和一个等腰三角形。
图1中：BE=BC －AD.图2中：DF=BC －AD ）图1 图2F E D C B AF EDCBA例1：已知：如图2，在梯形ABCD 中，。
求证：例2：已知，如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=12cm ，EF 是中位线，EF 与BD 交于G ，EG=4cm,GF=10cm 。
求梯形各角度数。
例3： 如图，梯形中，，为腰的中点，求证：。
分析： 与梯形ABCD 的面积关系不明显，如果利用梯形助三、 如图，延长的两腰交于一点E ，得到两个三角形。
（如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形）。
例1：已知：如图8，在梯形中，、N 分别是、AB 的中点。
求证：。
A BCD EGFE DCB A例2：如图，在梯形 中， ， ，梯形 的面积与梯形的面积相等．求证：.四、如图，移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线， 可以借助所得的平行四边形和三角形来研究。
BF=BC+AD.例1：已知：等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，AD+BC=10，DE ⊥BC 于点E ，求DE 的长。
苏科版八年级数学下册有关四边形添加辅助线的综合练习试题
有关四边形添加辅助线的综合练习题1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD＋BC ＝AB．5.已知：如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点．证：MN ∥BC ，MN ＝12（BC－AD ）．6.已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ＋BC ＝AB ，E 是CD 的中点．求证：AE ⊥BE ．7.已知：如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求证：MN ＝12（AB －CD ）．8.已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，求下底的长。
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长.10.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1各边中点，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n,求证下列结论：①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A5B5C5D5的周长是；③四边形A n B n C n D n的面积是。
11.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，且作AE=AC又CF∥AE，求证∠BCF=1∠AEB212.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分参考答案1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．证明：分别过D、C作AB的垂线，垂足分别为E、F．∵AB∥CD，∴DE＝CF．又AD＝BC，∴Rt△ADE全等于Rt△BCF．∴∠A＝∠B．2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．求证：AB＝2CD．证明：过D作DE∥CB，交AB于E．∵AB平行于CD，且BC＝DC，∴四边形DEBC是菱形．∴DE＝BC＝AD．又∠A＝60°，∴△DAE为等边三角形．∴AE＝DE，又DE＝EB＝CD，∴AE＝EB＝CD，∴AB＝2CD．3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．证明：过D作DE∥CA，交BA延长线于E．则四边形DEAC是平行四边形．∴DE＝AC＝DB，∴∠E＝∠DBA．又∠CAB＝∠E，∴∠DBA＝∠CAB．于是，可得△DAB≌△CBA，∴AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD ＋BC＝AB．证明：取AB的中点F，连结FE．则AD＋BC＝2EF，∵∠AEB＝90°，∴AB＝2EF．∴AD＋BC＝AB.5.已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点．求证：MN∥BC，MN＝12（BC－AD）．证明：连结并延长AM，交BC于E．则△AMD≌△EMB．∴AM＝ME，AD＝BE，又N是AC的中点，∴MN＝12 EC，故MN∥BC, MN＝12（BC－AD）．6.已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD＋BC＝AB，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．证明：延长AE、BC相交于点F．易证△AED≌△FEC．∴AD＝CF，AE＝EF，∵AD＋BC＝AB，∴CF＋BC＝AB，即BF＝BA．∴BE是等腰△BAF底边上的高．∴AE⊥BE．7.已知：如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点．求证：MN＝12（AB－CD）．证明：过M作ME∥DA、MF∥CB，分别交AB于E、F．则∠MEF＝∠A，∠MFE＝∠B.而∠A＋∠B＝90°，∴∠MEF＋∠MFE＝90°，∴∠EMF＝90°，又AE＝DM＝MC＝FB，AN＝NB,∴EN＝NF，MN＝12 EF，即MN＝12（AB－CD）8.如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=AB=2 cm。
平行四边形几何辅助线专题详解
平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。
例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。
二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。
（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。
因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。
因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。
例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。
例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。
专题25 四边形中作辅助线造全等-中考数学二轮难点突破+几何证明问题
专题25 四边形中作辅助线造全等1、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．（1）如图1，求证：BE∥DF；（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，作BG⊥AC于G，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．2、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD 于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．3、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证DG＝BE；（2）连接FC，求tan∠FCN的值；（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE＝∠GAD，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，同理可证∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．4、【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．【实践探究】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的边长是6；故答案为：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ 于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，设DM＝x，则MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的长是2．5、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．6、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A 的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：∵△ABC为等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，∴点B的坐标为（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+2，当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE∴四边形OECD是正方形∴∠DCE＝90°，OD＝OE，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），∴OB＝b，OA＝a，∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，即a+DA＝b﹣DA，∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝a+＝，∴S＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，四边形AOBC故答案为：．7．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD 上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；（3）求线段CF的长度的最小值．解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，∴∠AEF＝α，AE＝EF，在Rt△DAK中，∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，∴AK＝5，∴DK＝＝＝12，∴S＝AB×DK＝25×12＝300；平行四边形ABCD（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，∵∠AHD＝∠ADH＝α，∴AH＝AD＝13，过点A作AM⊥DH于点M，由（1）知AM＝12，∴DM＝＝5，∴DH＝10，∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，∴∠DEA＝∠F，在△AEH和△EFC中，，∴△AEH≌△EFC（AAS），∴EH＝CF，CE＝AH＝13，∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，∵BG∥CE，∴△FBG∽△FCE，∴，即，∴BG＝；（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，由（2）可知∠AEP＝∠EFM，在△EAP和△FEM中．，∴△EAP≌△FEM（AAS），∴EM＝AP＝13，FM＝EP，设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，∴FN＝FM•sinα＝（10+x），MN＝FM•cosα＝（10+x），∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836），对称轴x＝﹣＝1，∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为．8、如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，∠FDM的大小为度．【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM≌△ADM1．【拓展】如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDM＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；故答案为：45；（2）∵DF⊥AC1，∴∠DFM＝90°，∵AM1∥DF∴∠MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAM1＝∠BAM，由（1）可知：∠FDM＝45°∵∠DFM＝90°∴∠AMD＝45°，∴∠M1＝45°，∴AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，∵，∴△ABM≌△ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，∴C'G＝C1D﹣OD＝2﹣，∴＝AC•C1G＝×2（2﹣）＝2﹣，故答案为：2﹣．9、如图，已知▱ABCD，E是CA延长线上一点，且∠EAB＝90°，AB＝AE，点F是BC下方一点，且FE＝FD，∠EFD＝90°，（1）求证：∠FEA＝∠FDC；（2）若AF＝3，求AC的长．（1）证明：设AC与DF交于点O，如图1所示：∵∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠FDC+∠COD＝90°，∵∠EFD＝90°，∴∠FEA+∠FOE＝90°，又∵∠FOE＝∠COD，∴∠FEA＝∠FDC；（2）解：连接CF，如图2所示：∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠AFE＝∠CFD，∴∠AFC＝∠EFD＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝AF＝3．10、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．（1）如图①，求点B的坐标：（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．解：（1）∵点A（5，0），OB＝OA，∴OA＝OB＝5，∵S▱OABC＝OA×OD＝5OD＝20，∴OD＝4，∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥AO，BC＝AO＝5，∴∠BDO＝90°，∴DB＝＝＝3，∴点B（3，4）；（2）∵点P的纵坐标为t，∴OP＝t，∴DP＝4﹣t，∴S＝×（3+5）×4﹣×3×（4﹣t）﹣×5×t＝﹣t+10；（3）如图，由（1）知，B（3，4），OA＝5，BC∥OA，∴C（﹣2，4），∴CD＝2取OD的中点E，则DE＝OD＝2，∴DE＝CD，∴∠DCE＝45°，∴∠OCB﹣∠OCE＝45°，∵∠OCB﹣∠CBP＝45°，∴∠OCE＝∠CBP，过点E作EF⊥OC于F，∴∠CFE＝90°＝∠BDP，∴△CFE∽△BDP，∴，在Rt△CDE中，CD＝DE＝2，∴CE＝2，在Rt△ODC中，CD＝2，OD＝4，∴OC＝2，∵CE是△OCD的中线，∴S△OCE＝S△CDO＝××2×4＝2∵S△OCE＝OC•EF＝×EF＝2，∴EF＝，在Rt△CFE中，根据勾股定理得，CF＝，∴，∴DP＝1，∴OP＝OD﹣DP＝3，∴t＝3，∴P（0，3），设Q（m，0），∵B（3，4），∴PQ2＝m2+9，BQ2＝（m﹣3）2+16，∵四边形PQBR为菱形，∴PQ＝BQ，∴m2+9＝（m﹣3）2+16，∴m＝，即Q（，0）．11、知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，∴∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，∵四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ，PD＝CQ，∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH，在△ADP和△HCQ中，，∴△ADP≌△HCQ（AAS）；（2）存在最小值，最小值为10，如图1，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，∴△DPG∽△CQG，∴＝＝，由（1）可知，∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△QCH，∴＝＝，∴CH＝2AD＝4，∴BH＝BC+CH＝6+4＝10，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为10；（3）存在最小值，最小值为（n+4），如图2，作QH∥DC，交CB的延长线于H，作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴＝＝，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠DCH＝90°，∵CD∥QK，∴∠QHC+∠DCH＝180°，∴∠QHC＝∠ADQ，∵∠PAD+∠PAG＝∠QBH+∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，∴∠PAD＝∠QBH，∴△ADP∽△BHQ，∴＝＝，∴BH＝2n+2，∴CH＝BC+BH＝6+2n+2＝2n+8，过点D作DM⊥BC于M，又∠DAB＝∠ABM＝90°，∴四边形ABMD是矩形，∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2＝4＝DM，∴∠DCM＝45°，∴∠HCK＝45°，∴CK＝CH•cos45°＝（2n+8）＝（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．。
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一、和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3 图4说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.类题1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形. 例2．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.类题2．已知：ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.三、有中点时，可连结中位线．例3．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MNCCM交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.类题4．如图，ABC ∆中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2.四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC上一A D P BCQ EM NAD FE BC点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法例5．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.类题6．已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，AD EF ⊥于F.求证：F （1）B （2）G B（3）AAD EF S ABCD ⋅=梯形.【作业】1、 已知△ABC 和△DBE 为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，A 、B 、D 在同一直线上，M 、N 、P 分别是AD 、AC 、DE 边上的中点，试说明MP 与MN 的关系并证明。
2、如果上题中A 、B 、D 不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结论。
3、平行四边形ABCD ，对角线相交于点O ，P 、E 、F 分别是AD 、OB 、OC 的中点，AC=2AB 。
求证：PE=EF4、等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠AOB=60°，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
N M P EDC B A N M P ED C B A A BCD OE P FA BCD E M N 求证：△EFM 是等边三角形。
5、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P 、Q 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点。
求证：MN 与PQ 互相垂直平分。
6、如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为点D ，求证：2DE=BC-AC7、BD 、CE 分别为△ABC 外角平分线，AM ⊥BD 于M ，AN ⊥CE 于N ，探究MN 与AB 、BC 、AC 的关系。
附加题：A B C D EF M O AB C D M NPQ（1）若将上题中BD 改为∠ABC 的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。
（2）若BD 、CE 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立？(画图、证明)8、△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，在AB 、AC 上截取AD 、AE ，且AD=AE ，连结DE 。
如图1所示，则易证BD=CE ，如图2所示，将△ADE 逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD 、CE 。
（1）判断BD 与CE 的数量关系及BD 、CE 延长线所夹锐角的度数。
（2）点G 、F 分别是等腰△ABC 、等腰△ADE 底边的中点，∠BAC=∠DAE=α，点P 是线段CD 的中点，试探索∠GPF 与α的关系，并加以证明。
9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：A B CD EB C D E A BC D E A C AC B A B CDE A P G F（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（3）如图2，若点D在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．1、在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。
（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。
2、如图,在四边形ABC 中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证:四边形MNPQ 是矩形.小结：中点四边形：对角线 的四边形的中点四边形是菱形对角线 的四边形的中点四边形是矩形对角线 的四边形的中点四边形是正方形对角线 的四边形的中点四边形是平行四边形(1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 . (2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 .(3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 .(4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 .(5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是练习题：1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A ．矩形B ．直角梯形C ．菱形D ．正方形2、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A 、等腰梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形3、.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④4、顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形5．如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD=BC ，点E,F,G,H 分别是AB,BC ，CD ，DA 的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. ∠HGF = ∠GHEB. ∠GHE = ∠HEFC. ∠HEF = ∠EFGD. ∠HGF = ∠HEFP D A C Q M N6、如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。
7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形ABCD 的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD 可以是．8、如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足 条件时，四边形EFGH 是菱形．9、如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n . （1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.10．如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．AB C D E FG H ……… A 1 AA 2 A 3B B 1 B 2B 3C C 2 C 1 C 3D D 2 D 1 D 3 第9题图。