经典平行四边形有关的常用辅助线-(1)

六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF ⑵DE BF =
⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE =
∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =
图2图1
E C
A
A
B
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）
A 111<<m
B 222<<m
C 1210<<m
D 65<<m
解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==
∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形
求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+
证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F
∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+222
22222
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD = ∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB
∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE =
∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+
图4图3K
C F B B
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =
证明：延长CF 交BA 的延长线于点K
∵四边形ABCD 为正方形
∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD
∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF = ∴CDF ∆≌KAF ∆ ∴AB CD AK == ∵AD DF CD CE 21,21==
∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆ ∴21∠=∠
∵09031=∠+∠ ∴09032=∠+∠ ∴090=∠CPB ,则0
90=∠KPB ∴AB AP =
第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5如左下图5，在平行四边形ABCD 中，点E 为边CD 上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE 与BC 的延长线相交于F ，则有
AED ∆∽FEC ∆,FAB ∆∽FEC ∆,AED ∆∽FAB ∆
图6图5D B B F
第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD 中，BN AN =,BC BE 3
1=
,NE 交BD 于F ，求BD BF :
解：连结AC 交BD 于点O ,连结ON ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴2
,BD OD OB OC OA =
== ∵BN AN = ∴ON ∥BC 21且BC ON 21= ∴FO
BF ON BE = ∵BC BE 31= ∴3:2:=ON BE ∴3
2=FO BF ∴52=BO BF ∴5:1:=BD BF 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。