专题五：力学平衡中的极值临界问题
力学 临界与极值问题
1 /2 临界与极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。
此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。
在解决临办极值问题注意以下几点：1.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。
2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。
3.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
4.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。
典例1如图所示，一轻绳上端系在车的左上角的A 点，另一轻绳一端系在车左端B 点，B 点在A 点正下方，A 、B 距离为b ，两绳另一端在C 点相结并系一质量为m 的小球，绳AC 长度为2b ，绳BC 长度为b 。
两绳能够承受的最大拉力均为2mg 。
求：(1)绳BC 刚好被拉直时，车的加速度是多大?(2)为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大?（要求画出受力图）【精析】对物体受力分析，从而确定在各个临界点的情况，是解决本题的关键。
（1）绳BC 刚好被拉直时，小球受力如图所示因为AB=BC=b ，AC=2bABmgC2 / 2 故 绳BC 方向与AB 垂直，22cos =θ θ=450 由牛顿第二定律，得 mgtanθ=ma可得 a=g（2）小车向左加速度增大，AB 、BC 绳方向不变，所以AC 绳拉力不变，BC 绳拉力变大，BC 绳拉力最大时，小车向左加速度最大，小球受力如图由牛顿第二定律，得 T m + mgtanθ=ma m因这时 T m =2mg ，所以最大加速度为 a m =3g.典例2如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。
平衡中的临界与极值
一. 教学内容：平衡问题中的临界与极值问题归纳二. 学习目标：1、掌握共点力作用下的物体平衡条件的应用问题的分析方法。
2、掌握平衡问题中临界与极值问题的特征。
3、熟练掌握典型的临界与极值问题的常用处理方法和技巧。
考点地位：共点力作用下的物体平衡问题中的极值与临界问题是处理平衡问题的难点所在，这部分内容重点体现与数学知识的融合，体现了高考大纲中所要求的运用数学方法分析物理问题的能力，同时这部分内容在高考中常与库仑力、安培力等相互结合，难度较大。
三. 重难点解析：1. 共点力作用下物体平衡的条件在共点力作用下物体平衡的条件是：物体所受的合力为零。
即（矢量式）。
用正交分解法解决有关在共点力作用下的物体平衡问题时，平衡条件可叙述为：用平衡条件的正交表达形式解题具有三大优点：其一，将矢量运算转变为代数运算，使难度降低。
其二，将求合力的复杂的解斜三角形问题，转变为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行。
其三，当所求平衡问题中需求两个未知力时，这种表达形式可列出两个方程，使得求解十分方便。
2. 力的平衡作用在物体上所有力的合力为零，这种情形叫做力的平衡。
（1）当物体只受两个力作用而平衡时，这两个力大小一定相等，方向一定相反，且作用在同一直线上。
这两个力叫做一对平衡力。
（2）当物体受到三个力的作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且三个力的作用线或作用线的延长线相交于一点，这就是三力汇交原理。
3. 一对平衡力与一对作用力和反作用力的区别（1）平衡力作用于同一物体上。
作用力和反作用力分别作用在两个物体上。
（2）作用力与反作用力性质相同。
平衡力的性质不一定相同。
例如静止在水平桌面上的物体，重力与桌面的支持力是一对平衡力；支持力是弹力，与重力的性质不同。
（3）作用力与反作用力同时产生、同时变化、同时消失，平衡力中的某一力变化或消失时，其他力不一定变化或消失。
例如抽去桌面时，物体所受的支持力消失，但物体的重力仍然保持不变。
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
2025届高考物理复习：经典好题专项(平衡中的临界极值问题)练习(附答案)
2025届高考物理复习：经典好题专项（平衡中的临界极值问题）练习1. 如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的。
往两人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是()A．甲中绳子先断B．甲、乙中绳子同时断C．乙中绳子先断D．不确定2．(多选)如图所示，一个重为5 N的大砝码用细线悬挂在O点，在力F作用下处于静止状态，现不断调整力F的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是()A．调整力F的方向的过程中，力F最小值为2.5 NB．力F在竖直方向时，力F最小C．力F在竖直方向时，细线上的张力最小D．当力F处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F大小相等3. (多选)如图所示，物块的质量m＝6 kg，用与水平方向成α＝37°角的推力F作用在物块上，物块与地面间的动摩擦因数为μ＝0.75(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)，下列判断正确的是()A．如果F＝50 N，不能把物块推动B．如果F＝50 N，可以把物块推动C．如果α＝60°，只要不断增大F，物块一定会推动D．如果α＝60°，则无论F为多大，该物块均无法被推动4. 如图所示，两质量均为M＝10 kg的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量m ＝1 kg，现用一竖直向上的力F拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是()A ．力F 的大小为80 NB ．力F 的大小为90 NC ．轻绳对甲物体的拉力大小为60 ND ．轻绳对甲物体的拉力大小为80 N5. 固定斜面上的物体A 用跨过滑轮的细线与小沙桶相连，连接A 的细线与斜面平行，不计细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A 在斜面上保持静止，沙桶中的沙质量有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为m 1和m 2(m 2＞0)，重力加速度为g ，由此可求出( )A ．物体A 的质量B ．斜面的倾角C ．物体A 与斜面间的动摩擦因数D ．物体A 与斜面间的最大静摩擦力6. (多选)(2023ꞏ河北张家口市期末)如图所示，光滑斜面倾角为θ，底端固定有一挡板，轻弹簧两端分别与挡板及物块a 拴接，物块b 叠放在a 上但不粘连。
处于平衡状态中的极值问题和临界问题
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
牛顿运动定律：专题五：临界与极值
高一物理《专题五：临界与极值问题》1．临界问题和极值问题涉及临界状态的问题叫临界问题。
临界状态常指某种物理现象由量变到质变过渡到另一种物理现象的连接状态，常伴有极值问题出现。
临界问题常伴有特征字眼出现，如“恰好”、“刚刚”等，找准临界条件与极值条件，是解决临界问题与极值问题的关键。
能处理力学中常见的三类临界问题的临界条件：（1）相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零（2）绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零（3）存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值临界情况临界条件速度达到最大物体所受合外力为零刚好不相撞两物体最终速度相等或者接触时速度相等刚好不分离两物体仍然接触、弹力为零原来一起运动的两物体分离时不只弹力为零且速度和加速度相等运动到某一极端位置物体滑到小车一端时与小车的速度刚好相等物体刚好滑出（滑不出）小车刚好运动到某一点（“最高点”）到达该点时速度为零两个物体距离最近（远）速度相等动与静的分界点刚好不上（下）滑；保持物体静止在斜面上的最小水平推力；拉动物体的最小力静摩擦力为最大静摩擦力，物体平衡关于绳的临界问题绳刚好被拉直绳上拉力为零绳刚好被拉断绳上的张力等于绳能承受的最大拉力3．掌握临界问题的基本思路：①仔细审题，认真分析研究对象所经历的物理过程，找到临界状态②找到重要物理量的变化规律，找出临界条件③根据临界条件列方程求解典例分析：例1：有一质量M=4kg的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=6kg的物块，动摩擦因素µ=0.2,现对物块施加F=25N的水平拉力,如图所示，求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g取10m/s2)例1例2．托盘A 托着质量为m 的重物B ，B 挂在劲度系数为k 的弹簧下端，弹簧的上端悬挂于O 点，开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A 竖直向下做初速为零的匀加速运动，其加速度为a ，求经过多长时间，A 与B 开始分离（a <g ）．例3．如图，光滑斜面质量为M=8 kg ，小球m=2kg ，用细绳悬挂相对静止在斜面上，求： (1)用多大的水平力F 推斜面时，绳中的张力为零?(2)用多大的水平力F 推斜面时，小球对斜面的压力为零?例4：如图所示， m =4kg 的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。
平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值
【原创版】
目录
1.临界平衡状态的定义
2.压杆的临界力
3.提高压杆稳定性的方法
4.总结
正文
一、临界平衡状态的定义
临界平衡状态是指杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在这个状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
这种状态在物理学中被称为临界状态，对应的力称为临界力或临界载荷，用 Fcr 表示。
二、压杆的临界力
压杆是指在轴向压力作用下，两端固定且杆件截面呈圆形的杆。
当压杆所承受的轴向压力达到临界力时，压杆将处于临界平衡状态。
此时，压杆的稳定性已经非常差，任何微小的扰动都可能导致压杆失去平衡。
三、提高压杆稳定性的方法
为了提高压杆的稳定性，可以采取以下几种方法：
1.增加压杆的截面面积：通过增加压杆的截面面积，可以增大压杆的抗弯能力，从而提高其稳定性。
2.改变压杆的材料：选用高强度、高刚度的材料可以提高压杆的稳定性。
3.调整压杆的长度：缩短压杆的长度可以减小其弯曲变形，从而提高
稳定性。
4.添加支撑：在压杆的适当位置添加支撑，可以减小压杆的弯曲变形，提高稳定性。
四、总结
临界平衡状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在临界状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
5.相互作用点点清专题之平衡中的临界与极值问题
4.相互作用点点清专题之平衡中的临界与极值问题一知能掌握1.平衡中的临界问题某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
2.平衡物体中的极值问题极值是指研究的平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值。
中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。
若受附加条件限制，则为条件极值。
3．平衡中的临界极值问题四种方法临界问题往往是和极值问题联系在一起的．解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件．要特别注意可能出现的多种情况．解决临界极值问题的四种方法(1)假设推理法。
假设推理法是解决临界问题的有效方法，即先假设达到临界条件，然后再结合平衡条件及有关知识列方程求解。
(2)解析法:根据物体的平衡条件列出平衡方程,在解方程时采用数学方法求极值.通常用到的数学知识有二次函数求极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值，以及几何法求极值等。
(3)图解法:此种方法通常适用于物体只在三个力作用下的平衡问题.首先根据平衡条件作出力的矢量三角形,如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量三角形进行动态分析,确定其最大值或最小值.此法简便、直观。
例如：在三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b时最小，且c＝asinθ，如下图所示。
（4）极限法:极限法是一种处理极值问题的有效方法,它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(如“极大”“极小”等),从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来,快速求解.4.解决临界极值问题的基本步骤是：（1）选对象：明确研究对象；（2）析受力：对对象进行受力分析，画出物体的受力示意图；（3）列方程：结合临界条件、极限条件、平衡方程、几何条件列方程；（4）求结果：根据数学方法计算结果并讨论。
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专题五：力学平衡中的极值和临界问题
典例：如图所示，在绳下端挂一质量为m 的物体，用力F 拉绳使悬绳偏离
竖直方向α角，且方向，当拉力F 与水平方向的夹角θ多大时F 有最小值？最
小值是多少？
解法一、常规解析法：以结点O 为研究对象，画出受力图，建立坐标轴，
如图所示：根据平衡条件有：
Fcos θ－Tsin α＝0
Fsin θ＋Tcos α－mg ＝0
由两式消去Ｔ可得
F ＝mgsin α/cos (α－θ)
所以当（α－θ）=0，即θ＝α时Ｆ有最小值，且
F min ＝ mgsin α。
解法二：矢量图解法：结点Ｏ受三个力作用而平衡，将三个
力首尾相接应构成封闭的矢量三角形。
因重力mg 的大小和方向
都不变，拉力T 的方向不变，随着力F 方向的缓慢变化，可作出
多种情况下的矢量三角形，如图所示。
由图可知，当F 与T 垂直，
根据直角三角形的知识可得F min ＝ mgsin α。
1、如图2所示，细绳MO 与NO 所能承受的最大拉力相同，长度MO >NO ，则在不断啬重物G 重力的过程中（绳OC 不会断）
A 、 ON 绳先被拉断
B OM 绳先被拉断
C ON 绳和OM 绳同时被拉断
D 因无具体数据，故无法判断哪条绳先被拉断
2 如图所示，斜绳（与水平方向夹450）与水平绳最大承受拉力分别为20N 和10N ，竖直绳抗拉能力足够强，三绳系于O 点，问各绳均不断时，最多可悬吊多重的物体？
1题 2题 3题
3．如图所示，质量为5.5kg 的木块，与竖直墙壁间的动摩擦因数μ=0.5，木块在与竖直方向成θ=37o 向上的推力F 作用下，紧贴墙壁以大小为2m/s 的速度滑行，则推力F 的大小为多少？
4 如图所示，用一根长为L 的细绳一端固定在O 点，另一端悬挂质量为M 的小球A,为使细绳与竖直方向成30度角且绷紧，小球A 处于静止，对小球施加的最小的力等于多少？。