初中数学数学专题专练：几何探究专题

初中数学几何探究专题压轴题专题练习1.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC ∽△PAM ，延长BP 交AD 于点N ，连接CM.(1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP ⊥BN ；AM ＝AN.(2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC ∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)?②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝？请说明理由．122.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．3.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)．(2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝2，CD ＝BC ，214请求出GE 的长．4.(1)阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD 的取值范围是________；(2)问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF.求证：BE ＋CF ＞EF ；5.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．备用图6.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②7.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．1sin α(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S 1，其变形后的平行四边形面积为S 2，试猜想S 1，S 2，之间的数量关系，并说明理1sin α由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，且AB 2＝AE·AD ，这个矩形发生变形后为平行四边形A 1B 1C 1D 1，E 1为E 的对应点，连接B 1E 1，B 1D 1，若矩形ABCD 的面积为4(m>0)，平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积m 为2(m>0)，试求∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1的度数．m8.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE ＝90°.(1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE ∽△CBF ；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且＝＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；AB BC EF FC(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．参考答案1. (1)证明：∵△PBC ∽△PAM ，∴∠PBC ＝∠PAM.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PBC ＋∠PBA ＝∠CBA ＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA ＝90°，∴∠APN ＝90°，即AP ⊥BN ，∴∠BPA ＝∠BAN ＝90°.∵∠ABP ＝∠NBA ，∴△ABP ∽△NBA ，＝，∴＝.又∵△PAM ∽△PBC ，∴＝，故＝.又∵AB ＝BC ，PB AB PA AN AN AB PA PB PA PB AM BC AN AB AM BC∴AM ＝AN ； (2)解：①点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 仍然成立；②不存在，理由如下：选择图②，以AB 为直径，作半圆O ，连接OC ，OP ，∵BC ＝1，OB ＝，∴OC ＝.∵由①知，AP ⊥BN ，∴点P 1252一定在以点O 为圆心、半径长为的半圆上(A ，B 两点除外)．如果存在点P ，那么OP ＋PC≥OC ，则PC≥.∵125－12>，故不存在满足条件的点P ，使得PC ＝.5－1212122. 解：(1)分三种情况：①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5，∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ，又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形，∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t.又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝.③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝时，△AOP 是等腰三角258258形． (2)如图，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N.则OM ＝AB ＝3，ON ＝BC ＝4，∴S △OEC ＝·CE ·OM ＝·t ·3＝t ，S △OCD ＝·CD ·ON ＝·6·4＝12.∵12121212321212QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴＝()2，即＝()2，∴S △DFQ ＝t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－t 2，∴S 五S △DFQ S △DOC DQ DC S △DFQ 12t 61313边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－t 2＋t ，即S ＝－t 2＋t ＋12(0＜t ＜6)． (3)存在．理由如下：要使S 五边形13321332OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－t 2＋t ＋12)∶(×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，133212∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如图，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝·OC ·DJ ＝·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝.∵OD 平分∠POC ，1212245DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ，∴DI ＝DJ ＝＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG.∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI 245＝∠AGB ，∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ，∴＝，∴＝，∴IP ＝(8－AB DI BG IP 64.88－2t IP452t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得()2＋[(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝.(t ＝0不合题意，舍去)24545112393. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF.【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ；②∵△ABD ≌△ACF ，∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CF. (2)解：结论①仍然成立，②不成立．①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ；②结论为：BC ＝CD －CF.证明：∵△ABD ≌△ACF ，∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF. (3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H.∵AB ＝AC ＝2，2∴BC ＝4，AH ＝BC ＝2，∵CD ＝BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，1214AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ，∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°，∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ，∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3，∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1，∴EG ＝＝.EM 2＋GM 2104. (1)解：如图①中，∵AB ＝10，AC ＝6，AD 是BC 边上中线，由旋转性质知，BE ＝AC ＝6，AD ＝DE.∴ 在△ABE 中，10－6<AE<10＋6，即 4<2AD<16，∴2<AD<8; (2)证明：延长FD 至M ，使FD ＝MD ，连接ME ，MB.如图所示．∵ED ⊥FM ，FD ＝DM ，∴ME ＝EF.∵CD ＝BD ，∠CDF ＝∠BDM ，∴△CDF ≌△BDM(SAS)，∴CF ＝BM.∵BM ＋BE>ME ，∴BE ＋CF>EF.5. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，又∵AC ＝BC ，∴EA ＝ED ，∴点B ，E 在AD 的中垂线上，∴BE 是AD 的中垂线，∵点F 在BE 的延长线上，∴BF ⊥AD ，AF ＝DF ；③解：BE 的长为3－4；3(2)解：BE ＋CE 的值为13；6. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°，∴∠DAP ＝∠CPO ，∴△OCP ∽△PDA ，∴＝()2，即＝()2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB S △OCP S △PDA CP DA 14CP 8＝CD ＝x ，∵AP 2－DP 2＝AD 2，∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10. (2)线段EF 的长度始终不发生变化，为2.57. 解：(1).【解法提示】sin120°＝，故这个平行四边形的变形度是. (2)＝，理由如下：233322331sin αS 1S 2如图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝，∴＝＝，又∵＝，∴＝. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B ＝h b S 1S 2ab ah b h 1sin αb h 1sin αS 1S 221A 1E 1·A 1D 1，即＝.又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1，∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1，∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1，A 1B 1A 1D 1A 1E 1A 1B1∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1.由(2)结论＝1sin α，可得＝＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°.(10分)S 1S 21sin ∠A 1B 1C 14m 2m 128. (1)①证明：∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形，∴＝＝，∴△CAE ∽△CBF. ②解：∵＝＝，AE ＝2，∴BF ＝＝，AC BC CE CF 2AE BF AC BC 2AE 22由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ，又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，解得CE ＝. (2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝690°，＝，由＝＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶，∴＝＝，＝AC BC AE BF AB BC EF FC k 2＋1k 2＋1CE EF AC AB k 2＋1kAE BF ＝，∴EF ＝，EF 2＝，BF ＝，BF 2＝，∴CE 2＝×EF 2＝(BE 2＋BF 2)，∴AC BC k 2＋1kCE k 2＋1k 2CE 2k 2＋1AE k 2＋1AE 2k 2＋1k 2＋1k 2k 2＋1k 232＝(12＋)，解得k ＝. (3)解：p 2－n 2＝(2＋)m 2.k 2＋1k 222k 2＋11042。