2016届高考数学二轮专题复习第二部分讲重点小题专练专题5概率、统计及统计案例作业15理
专题16 概率与统计(讲学案)-2016年高考理数二轮复习精品资料(解析版)
【2016考纲解读】1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算． 4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型． 【重点知识梳理】 一、统计与统计案例 1.抽样方法三种抽样方法的比较2.统计图表(1)在频率分布直方图中：①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率组距；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值． (2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 3．样本的数字特征 (1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． (2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数与方差样本数据的平均数x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定． 4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系． (2)用最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1n x i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2a ^＝y －－b ^x－.注意：回归直线一定经过样本的中心点(x －，y －)，据此性质可以解决有关的计算问题． 5．回归分析r＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2，叫做相关系数．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度；|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越高，|r |越接近于0，相关程度越低． 6．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为则K 2＝a ＋b ＋c ＋d ad －bc a ＋b c ＋da ＋cb ＋d，若K 2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关； 若K 2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n ；②求事件A 包含的基本事件的个数m ；③利用公式P (A )＝mn 计算．9．一般地，如果事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A 和A －不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A －)＝1－P (A )．11．互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥，互斥未必对立． 12．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.【高频考点突破】 考点一 事件与概率例1．(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．1 B.1121 C.1021 D.521答案 C【变式探究】(2014·新课标全国Ⅰ，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.58C.38D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78，故选D. 答案 D考点二 古典概型例2．(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15B.25C.35D.45解析 从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.故选C.答案 C【变式探究】甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136 B.19C.536D.16答案 D考点三 随机数与几何概型例3．(2015·陕西，11)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.14－12πC.12－1π D .12＋1π解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π. 答案 B【变式探究】(2014·湖北，7)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78答案 D考点四 条件概率与相互独立事件的概率例4．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36D ．0.312解析 该同学通过测试的概率为p ＝0.6×0.6＋C 12×0.4×0.62＝0.648. 答案 A【变式探究】(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析 由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.答案 A考点五 正态分布例5．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772答案 C【变式探究】(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.(ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E (X )． 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.考点六离散型随机变量的分布列例6．(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．【变式探究】(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，考点七 均值与方差例7．(2014·浙江，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)解析 法一 (特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可．法二 (标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P (ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E （ξ1）2＝2m ＋n2（m ＋n ）；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0，1，2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1m C 2m ＋n ＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2mC 2m ＋n＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1·P (ξ2＝1)＋2P (ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2mm ＋n ＋1，所以p 2＝E （ξ2）3＝3m ＋n 3（m ＋n ），所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.答案 A【变式探究】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75考点八 抽样方法例8．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．167B ．137C ．123D ．93解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B. 答案 B【变式探究】(2014·湖南，2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2<p 3 B ．p 2＝p 3<p 1 C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D. 答案 D考点九 频率分布直方图与茎叶图例9．(2015·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．32答案 C【变式探究】(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()0 1 2 2 8 92 5 80 0 0 3 3 81 2A．19 B．20 C．21.5 D．23解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案 B考点十变量间的相关关系及统计案例例10．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D【变式探究】(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝0.76，a ∧＝y －b∧x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元D ．12.2万元解析 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b ∧＝0.76，∴a ∧＝0.4，由y ∧＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y∧＝11.8万元．故选B.答案 B【经典考题精析】1．(2015·北京，16)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)2．(2015·福建，13)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析 由几何概型的概率公式：P ＝1－⎠⎛12x 2d x 4＝512. 答案5123．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%解析 由题意，知P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.答案 B4．(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．5．(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020， P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.6．(2015·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18wi .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝1121()(),()nii nii u u v v a v u u u β==--=--∑∑.1. 【2014高考湖北卷理第7题】由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，易求得)2,0(A ，)0,2(-B ，)1,0(C ，)23,21(D ，由几何概型公式知，该点落在2Ω内的概率为872221211212221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=P ，故选D.【考点定位】几何概型2. 【2014高考湖南卷第2题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（ ） A.321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p == 【答案】D【考点定位】抽样调查3. 【2014高考福建卷第14题】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.【答案】22e 【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同.11002()2()2x x S e e dx ex e =-=-=⎰.所以落到阴影部分的概率为22P e =. 【考点定位】几何概型4. 【2014高考广东卷理第11题】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 【答案】1/6【考点定位】排列组合5. 【2014高考江苏卷第4题】 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 . 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型．6. 【2014江西高考理第13题】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【答案】12【解析】从10件产品中任取4件，共有410C 种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有1337C C ，因此所求概率为13374101.2C C C =【考点定位】古典概型概率7. 【2014辽宁高考理第14题】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x=-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .【答案】23【考点定位】几何概型8. 【2014全国1高考理第5题】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 【答案】D【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有12428C A =种不同的结果；（2）周六、日各2人，有246C =种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ． 【考点定位】排列和组合、古典概型的概率9. 【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则()0.6(|)0.8()0.75P A B P B A P A ⋂===，故选A.【考点定位】概率10. 【2014浙江高考理第9题】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 【答案】Ｃ【考点定位】独立事件的概率11. 【2014陕西高考理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D【答案】C【考点定位】古典概型及其概率计算公式.12.【2014高考安徽卷第17题】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 【答案】（1）5681；（2）22481. 【解析】用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”.则2()3k P A =，1(),1,2,3,4,53k P B k ==. 121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++121231234()()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.X 的可能取值为2,3,4,5.121212125(2)()()()()()()9P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=.1231231231232(3)()()()()()()()()9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==. 故X 的分布列为所以52108224234599818181EX=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点定位】概率的求解、期望的求解.13. 【2014高考北京理第16题】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小（只需写出结论） 【答案】（1）0.5；（2）2513；（3）x EX =.【考点定位】概率的计算、数学期望、平均数、互斥事件的概率. 13. 【2014高考大纲理第20题】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 【答案】（1）0.31；（2）2．【解析】记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=， ()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()()220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望为2【考点定位】相互独立事件的概率计算；2．离散型随机变量的数学期望的计算．14. 【2014高考福建理第18题】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,见解析;(2) 见解析【考点定位】概率、统计、数学期望、方差.15. 【2014高考广东理第17题】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30、42、41、36、44、40、37、37、25、45、29、43、31、36、49、34、33、43、38、42、32、34、46、39、36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中1n 、2n 、1f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率. 【答案】（1）17n =，22n =，10.28f = ，20.08f =；（2）详见解析；（3）0.5904.【考点定位】频率分布直方图、独立性重复试验、频率分布直方图的绘制与应用、概率16. 【2014高考湖北理第20题】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系:若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元） ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000=Y ，500015000=⨯=EY . ②安装2台发电机.当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=-=Y ， 因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ，当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ，因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P .由此得Y 的分布列如下：当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ， 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ， 由此得Y 的分布列如下：所以86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY . 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【考点定位】随机变量的均值.17. 【2014高考湖南理第17题】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为新产品,A B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35,则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的概率公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315.所以ξ的分布列如下:则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088140=++=. 【考点定位】分布列、数学期望、概率18. 【2014高考江苏第22题】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】（1）由题意22243229518C C C P C ++==；（2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===，313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值19. 【2014高考江西理第21题】随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=-=- （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计 PPT课件 图文
目目 录录
CCOONNTTEENNTTSS
1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
2016届高考数学(文)二轮复习专题整合突破概率、统计与统计案例(选择、填空题型)(含答案)
一、选择题1．[2015·郑州质量预测(二)]已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值mn＝( )A ．1 B.13C.29D.38 答案 D解析 由茎叶图可知甲的数据为27、30＋m 、39，乙的数据为20＋n 、32、34、38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有20＋n ＋32＋34＋384＝33，所以n ＝8，所以m n ＝38，所以选D.2．[2015·兰州诊断]从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.16B.13 C.12 D.23 答案 B解析 用数字1、2、3中两个不同数字构成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6个，其中大于30的有2个，故所求概率为26＝13，故选B.3．[2015·长春质监(二)]在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sinx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( )A.1πB.2πC.13D.23 答案 C解析 在区间[0，π]上，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sinx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，由几何概型的概率计算公式知，符合条件的概率为13.故选C.4．[2015·陕西质检(二)]若足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则一个队打了14场比赛共得19分的情况种数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 A解析 设胜的场数为x ，平的场数为y ，负的场数为z ，则{ x ＋y ＋z ＝＋y ＝19，两式相减得2x －z ＝5.当z ＝1时，x ＝3，y ＝10；当z ＝3时，x ＝4，y ＝7；当z ＝5时，x ＝5，y ＝4；当z ＝7时，x ＝6，y ＝1.故选A.5．[2015·长春质监(三)]已知a ∈{－2,0,1,3,4}，b ∈{1,2}，则函数f(x)＝(a 2－2)x ＋b 为增函数的概率是( )A.25B.35C.12D.310 答案 B解析 ∵f(x)＝(a 2－2)x ＋b 为增函数，∴a 2－2>0，又a ∈{－2,0,1,3,4}，∴a ∈{－2,3,4}，又b ∈{1,2}，∴函数f(x)为增函数的概率是35，故选B.6．[2015·陕西质检一]周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48 答案 B解析 设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8·P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.7．设不等式组{ x ＋y≤2x －y≥－2所表示的区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16 答案 B解析 区域M 的面积为2，区域N 的面积为π2，由几何概型知所求概率为P ＝π4.8．[2015·太原一模]某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536 答案 C解析 记(a ，b)为甲、乙摸球的编号，由题意得，所有的基本事件共有36个，满足a≠b 的基本事件共有30个，∴所求概率为3036＝56.故选C.9．[2015·大连双基测试]已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，则b ^的值为( )A ．－12 B.12C ．－110 D.110答案 A解析 将x ＝3，y ＝5代入到y ^＝b ^x ＋132中，得b ^＝－12.故选A.10．[2015·陕西质检(二)]一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )A ．15B ．16C ．17D ．19答案 A解析 由题，估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15，故选A.11．[2015·潍坊一模]某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( ) A．90% B．95%C．99% D．99.9%附：参考公式和临界值表χ2＝11n22－n12n 212n1＋n2＋n＋1n＋2答案 C解析χ2＝－2×3020×10×18×12＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，故选C.12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )A．300 B．400C．500 D．600答案 D解析依题意得，题中的1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600，选D.13．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为( )A.12B.14C.34D.23答案 C解析 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>14，∴所求概率为34，故选C.14．[2015·石家庄一模]已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.12 B.22C ．1－32 D ．1－22答案 D解析 在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB|＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22，故选D.15．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a>b ，b<c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16 B.524 C.13 D.724答案 C解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个； 同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个； 由2,3,4组成的三位自然数也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”． 当b ＝2，有324,423，共2个“凹数”． ∴三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.二、填空题16．[2015·南昌一模]若1,2,3,4，m 这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．答案 2解析 由1＋2＋3＋4＋m 5＝3得m ＝5，所以这五个数的方差为15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.17．某校高三年级共有师生800人，若用分层抽样的方法，从高三年级所有师生中抽取120名师生组成合唱团参加学校艺术节的师生大合唱比赛，现已知从学生中抽取的人数为114，那么高三年级的教师人数是________．答案 40解析 由题意可知高三年级的教师人数为120－114120×800＝40.18．[2015·长春质检(三)]将高一9班参加社会实践编号为：1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．答案 17解析 根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17. 19．[2015·邢台一模]有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．答案 59解析 依题意，所求的概率等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3×13÷(π×12×3)＝59. 20．[2015·唐山一模]一枚质地均匀的正方体玩具，四个面标有数字1，其余两个面标有数字2，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是________．答案 59解析 由题意可知抛掷两次向上的数字情况为：16个(1,1)，8个(1,2)，8个(2,1)，4个(2,2)，所求概率P ＝16＋416＋8＋8＋4＝59.。
2016版高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习配套课件专题六 概率、统计、复数、算法、推理与
解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共有 43 种，甲工厂没 有班级去的分配方案共有 33 种，因此满足条件的不同的分配方 案共有 43－33＝ 37(种)．
2.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域 必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多
180 种． 次使用，则不同的涂色方法共有________
[思路点拨 ]
(1)分两类，一类四名学生全分到企业，另一类有一
名学生未分到企业． (2)分两类进行分析： 第一类是万位数字为 4， 个位数字分别为 0， 2；第二类是万位数字为 5，个位数字分别为 0，2，4.
[解析 ] (1)每家企业至少录用一名大学生的情况有两种： 一种是
3 一家企业录用一名，有 C3 A 4 3＝ 24 种；一种是其中有一家企业录 3 用 2 名大学生，有 C2 A 4 3＝36 种，所以一共有 24＋ 36＝ 60 种．
－
2．辨明易错易混点 (1)解决排列组合问题时， 不要忽视问题与顺序是否有关这一条件． (2)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混，一定 要区分开来．
考点一
两个计数原理
[命题角度] 1．两个计数原理的应用问题．
2．同时利用两个计数原理解决综合问题．
3．几何图形中的涂色问题．
(2015· 抚顺质检 )如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2，则称这样的三位数为凸数 (如 120，343，275)，那么所 有凸数的个数为 ( A ) A． 240 C． 729 B．204 D． 920
专题六
概率、统计、复数、算法、推理与证明
第1讲 排列、组合、复数、算法、推理与证明
2016考向导航——适用于全国卷Ⅱ 本讲内容在高考中占有特殊的位置．高考试题中主要以选择 题或填空题的形式呈现，考查排列、组合的实际应用，二项 式系数、常数项、二项式指定项的求解．在近几年的高考
高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第1讲 直线与圆(小题)
(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－
2 3
，
则直线l的方程是
A.－3x＋2y＋1＝0
√C.2x＋3y－5＝0
B.3x－2y＋1＝0 D.2x－3y＋1＝0
解析 解方程组2x＋x－y＝y＝21，， 得yx＝＝11，，
所以两直线的交点为(1,1). 因为直线 l 的斜率为－23， 所以直线 l 的方程为 y－1＝－23(x－1)，即 2x＋3y－5＝0.
(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C： xm2－y22 ＝1的 左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为_x_2_＋__(_y－__3_)_2_＝__1_0_.
解析 ∵P(3,4)为 C 上一点，m9 －126＝1， 解得 m＝1，则 B(1,0)，∴kPB＝42＝2， PB 的中垂线方程为 y＝－12(x－2)＋2， 令x＝0，则y＝3， 设外接圆圆心为M(0，t)，
△FPM为等边三角形⇒△FPM外接圆圆心与重心重合，
∴外接圆圆心坐标为－2
3－2 3
3＋0，3－13＋1，即－4
3
3，1，
外接圆半径为 r＝
பைடு நூலகம்
－4
3
3＋2
32＋1＋12＝4
3
3，
同理可得当 x＝2
3时，圆心坐标为4
3
3，1，半径为4
3
3，
∴外接圆方程为x±4
3
32＋(y－1)2＝136.
跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则
的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的
「精品」高考数学二轮复习概率2统计和概率课件理-精品资料
5．理解古典概型及其概率计算公式，了解随机数的意义，能运用模 拟方法估计概率。
二、高考真题再现
甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随
机取出一球放入乙罐，分别以 A1, A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙
高考数学第二轮专题复习 概率
【复习目标】
1． 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系 统抽样方法。
2．om 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标 准差；能 从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的 解释。
3． 会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量 间的相关关系。
课堂小结
1.我们学习的目标和主要内容 2.本节课优秀小组及个人 3.本节课后的建议
快乐多一点，合作多一点，自信多一点，我们就 进步大一点！
例 3、随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，
42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，
36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数 频率
[25，30]
罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出
所有正确结论的编号）。
① PB 2 ；
5
②
P
B
|
A1
5 11
高考数学第二轮专题复习----概论统计专题
《计数原理与概率》高考复习指导一、考试说明：1．考试内容（1）分类计数原理与分步计数原理，排列与组合．（2）等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率．2．考试要求（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率．（4）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．（5）了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．二、高考试题分析排列与组合、概率与统计是高中数学的重要内容．一方面，这部分内容占用教学时数多达36课时，另一方面，这部分内容是进一步学习高等数学的基础知识，因此，它是高考数学命题的重要内容．从近三年全国高考数学（新材）试题来看，主要是考查排列与组合、概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力．试题特点是基础和全面．题目类型有选择题、填空题、解答题，一般是两小（9分～10分）一大（12分），解答题通常是概率问题．试题难度多为低中档．为了支持高中数学课程的改革，高考数学命题对这部分将进一步重视，但题目数量、难度、题型将会保持稳定．例1．（1999年全国）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_______种（用数字作答）．[解析]A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有一种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2(3＋2＋1)=12种不同的选垄方法．∴应填12.例2．（2003年新教材）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每一块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______种（以数字作答）．[解析]将5块试验田从左到右依次看作甲、乙、丙、丁、戊，3种作物依次看作A、B、C，则3种作物都可以种植在甲试验田里，由于相邻的试验田不能种植同一种作物，从而可知在乙试验田里只能有两种作物．同理，在丙、丁、戊试验田里也只能有两种作物可以种植．由分步计数原理，不同的种植方法共有3×2×2×2=48种．∴应填：48例3．（2003年全国高考题）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．例4．（2003年春季考试题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为A 、42B 、30C 、20D 、12[解析]将两个新节目插入5个固定顺序节目单有两种情况：（1）两个新节目相邻的插法种数为226A ；（2）两个节目不相邻的插法种数为26A ；由分类计数原理共有2226642A A +=种方法，选A.例5．（2004重庆）（本小题满分12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。
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【高考调研】（新课标）2016届高考数学二轮专题复习 第二部分 讲重点小题专练 专题5 概率、统计及统计案例作业15 理一、选择题1．(2015·石家庄模拟)已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A ，B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘员能够得到准确数据的概率是( )A.12 B.22C ．1－32D ．1－22答案 D解析 在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22，故选D.2.(2015·西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( )A ．2,4B ．4,4C ．5,6D ．6,4答案 D解析 x －甲＝75＋82＋84＋＋x ＋90＋936＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D.3．(2015·江西联考)以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程y ∧＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中真命题为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③答案 D解析 ①为系统抽样；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．4．(2015·湖北武汉月考)袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红色小球的条件下，第二次摸出红色小球的概率是( )A.310B.35C.12D.14答案 C解析 设红色小球为A ，B ，C ，黄色小球为D ，E ，所以第一次摸出红色小球的情况有：AB ，AC ，AD ，AE ，BA ，BC ，BD ，BE ，CA ，CB ，CD ，CE ，共12种．第一次和第二次都摸到红色小球的情况有：AB ，AC ，BC ，BA ，CA ，CB ，共6种．故所求概率为612＝12.5．(2015·海口一模)假设要考察某企业产品的袋装牛奶质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表(下面摘取了随机数表第7行至第9行)第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，则依次写出最先检测的5袋牛奶的编号分别为( )84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．163,198,175,128,395B ．163,199,175,128,395C ．163,199,175,128,396D ．163,199,175,129,395 答案 B解析 随机数表第8行第4列的数是1，从1开始读取：163 785 916 955 567 199 810 507 175 128 673 580 744 395.标折线的5个即是所取编号．6．(2015·陕西质检二)一个频数分布表(样本容量为30)不小心损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( )A ．15B ．16C ．17D ．19 答案 A解析 由题意，估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15，故选A.7．(2015·孝感一模)已知随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ( ) A.16 B.13 C.12 D.56答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.8．(2015·南宁模拟)已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则D (X )＝( )A.8B.8C.1716D.1116答案 D解析 由题意可知，12＋1－32q ＋q 2＝1，解得q ＝12(q ＝1舍去)，故P (X ＝0)＝1－32×12＝14，P (X ＝1)＝14，E (X )＝－1×12＋0×14＋1×14＝－14，所以D (X )＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.9．(2015·贵州联考)已知随机变量X ～B (n ，13)，若D (X )＝43，则P (X ＝2)＝( )A.1316 B.281 C.13243D.80243答案 D解析 由题意可知，n ×13×(1－13)＝43，解得n ＝6，所以P (X ＝2)＝C 26(13)2(1－13)4＝80243，故选D.10．(2015·福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元答案 B解析 由已知得x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10(万元)，y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8(万元)，故a ∧＝8－0.76×10＝0.4，所以回归直线方程为y ∧＝0.76x ＋0.4，当社区一户收入为15万元家庭年支出为y ∧＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.11．(2015·广州模拟)被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已被拆除．某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到如下的列联表：K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参照附表，则由此可知( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“是否认为拆除太可惜了与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别无关” 答案 C解析 因为K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝3.030，因为K 2>2.706，P (K 2≥2.706)＝0.10，所以说有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”．12．(2015·黑龙江调研)已知非负实数a ，b 满足a ＋b ≤1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是( )A.13 B.12 C.16D.23答案 A解析 关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根，Δ＝a 2－4b 2≥0，即(a ＋2b )(a －2b )≥0.又a ，b 为非负实数，所以a ＋2b ≥0，且a －2b ≥0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a －2b ≥0，a ≥0，b ≥0，作出平面区域如图所示．由图知，△AOB 表示非负实数a ，b 满足a ＋b ≤1的平面区域；△AOC 表示其中Δ＝a2－4b 2≥0的平面区域．因为S △AOC ＝12×1×13＝16，S △AOB ＝12×1×1＝12，所以所求概率为S △AOC S △AOB ＝13. 13．(2015·衡水调研)已知球的内接三棱锥D －ABC ，且△ABC 中，AB ⊥AC 且AB ＝AC ＝22，且DB ＝DC ＝4，二面角A －BC －D 的大小为3π4，若球内一飞行物(忽略其大小)可以在球内任意飞行，则落在三棱锥D －ABC 内的概率为( )A.3π13B.8227πC.885πD.910200π答案 D解析 取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则∠AED ＝3π4，过E 作直线OE 垂直于平面ABC ，则球心O 落在直线OE 上，连接OA ，OD .设球的半径为R ，可得OE ＝R 2－4，所以在△OED 中，∠OED ＝π4，又BC ＝4，则DE ＝23，由余弦定理可得R 2＝R 2－4＋12－2R 2－4×23×cos π4，解得R ＝2153，所以球的体积为V 球＝43πR 3＝43π(2153)3.过点D 向平面ABC 作垂线，垂足为H ，可得DH ＝23×sin π4＝6，所以V 三棱锥D －ABC ＝13×6×12×(22)2＝463，所求的概率为P ＝V 三棱锥D －ABC V 球＝46343π21533＝910200π.二、填空题14．(2015·南昌模拟)a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 四个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a 没有放入A 中的概率是________．答案 34解析 方法一 a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 四个不同的信封里共有A 44种放法，而a 放入A 中共有A 33种放法，所以a 没有放入A 中共有(A 44－A 33)种放法，而每一种放法都是等可能的，所以a 没有放入A 中的概率是A 44－A 33A 44＝1－A 33A 44＝1－14＝34.方法二 只考虑a 这封信，共有C 14＝4种放法，不放入A 信封中共有C 13＝3种放法，故a 没有放入A 中的概率是34.15．(2015·唐山模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为y ∧＝0.85x －0.25.由以上信息，得到下表中c 的值为________.解析 x －＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y －＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c 5，代入回归直线方程中，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.16．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．答案 4解析 由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为20×735＝4人．17．(2015·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．答案 78解析 因为成绩ξ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．。