三年级几何一笔画教师版

知识要点一笔画问题是一种有名的数学游戏．所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．1、判断图形能否一笔画的规律：⑴ 能一笔画出的图形必须是连通的图形．⑵ 凡是只由偶点组成的连通图形，一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点为起点．最后仍回到这点．⑶ 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点为起点．另一个奇点为终点．⑷ 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．2、我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，奇点个数必为偶数，如果有2n 个奇点(n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式是：奇点数2÷=笔画数，即22n n ÷=．一笔画【课前引入】老师可在黑板上画一些简单的一笔画的动物图形做引入，例如下面的蝴蝶、蜗牛、鹅以及金鱼都是用一笔画成的。

由此引出关于一笔画的由来：18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。

这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有两座美丽的小岛。

河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。

（如下图所示）每到傍晚，许多人都来此散步。

人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。

”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。

这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。

七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。

欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。

他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。

（如右上图所示）这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：这显然并没有改变问题的本质特征。

于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。

这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了。

接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。

除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点。

欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”。

如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不能实现，这样的点又叫做“奇点”。

见下图：欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。

由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的。

有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。

下面我们就根据欧拉提出的结论来学习一下一笔画问题。

一笔画【例1】判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。

【分析】图(1)有8个奇点，图(6)有10个奇点不能一笔画出，其余均可以一笔画出。

【例2】判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。

(6)(5)(4)(3)(2)(1)【分析】⑴有8个奇点，不能一笔画。

⑵有8个奇点，不能一笔画。

⑶有4个奇点，不能一笔画。

⑷⑸⑹都是偶点，可以一笔画。

多笔画【例3】下面各图至少需要几笔才能画成？（3）（2）（1）【分析】图(1)有4个奇点，因此需要2笔画出；图(2)有8个奇点，需要4笔画出；图(3)有8个奇点，需要4笔画出。

【例4】判断图中的三个图形各需要几笔才能画出？请把能一笔画的图形的画法用字母和箭头表示出来。

【分析】图()a能一笔画，因为该图中所有的点全是偶点。

它的一个画法是：A B C D E F→→→→→→→→G E B G A→→→→。

图()b能一笔画，因为该图中只有两个奇点。

它的一个画法是：C D→→→→→→→→→。

图()c有4个奇点，需2笔画出。

图()d有6个奇E F G H A B G C B F点，需要3笔画出。

【例5】观察下面的图形，判断其需要几笔才能画出？【分析】图1都是偶点，可一笔画出；图2有2个奇点，也可以一笔画出。

图3有12个奇点，需要6笔画出。

多笔画改一笔画【例6】下图中的两个图形均不能一笔画出，你能将原图形中的某一线段取消使之能够一笔画成吗？【分析】两个图形均能将某一条线段取消使之一笔画成。

图()a中的奇点有点,,,A D E F四个，因此取消AD AE AF DE EF DF六条线段中的任意一条均可以消除两个奇点，使得图形可以一笔画出；,,,,,图()b中的奇点有,,,C E B G四个，取消,,,BG CG BC EG四条线段中的任意一条均可以消除两个奇点使得图形可以一笔画出。

【例7】下图能一笔画成吗？如果不能，请你添上或减去一根线段使它能一笔画出来。

【分析】图中奇点有,,,AC FH四个，因此不能一笔画出。

想要一笔画出需要至少消除两个奇点，那么可添加线段,,,,AC AH FC FH CH中的任意一条线段，将此图形改为可一笔画；或者减去这四点间任意两点的连线（图中只有AF），将图形变化为一笔画。

【例8】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请说明需要几笔才能画出，并请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．FIHEBA G图aDC图bJIHGDCLKFEBA图cHGCFEBA【分析】图a：原图有四个奇点，需两笔画出。

在,B D两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d所示(答案不唯一)．画法：H A B C D E F I D B I H G F→→→→→→→→→→→→→．图b：原图有四个奇点，需要两笔画出。

去掉K L、两点之间的连线，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图e所示(答案不唯一)．画法：B C D E F J H G I A B K I J L E→→→→→→→→→→→→→→→．图c：原图有四个奇点，需要两笔画出。

在B C、两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图f所示(答案不唯一)．画法：A E D H A B F C G B C D→→→→→→→→→→→【例9】将下图改为一笔画．【分析】图⑴中有6个奇点，因此可添上两条(或3条)边后改为一笔画．又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，也可去掉两条边后改为一笔画，举例如图⑶～⑹；图⑵中有4个奇点，因此，可添上两条(或1条)边后改为一笔画，又因为把奇点按A与BC、与D(或A与D B，与C )分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条(或1条)边后改为一笔画．举例如图⑺～⑻．注意：图⑹运用了两种方法，去掉边BC，添上边AE与DF．生活中的一笔画【例10】（第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题（小学组））同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻的旗帜色彩不同，则贝贝至少需要＿＿＿种颜色的旗子。

如果贝贝从某营地出发，不走重复的路就______（填“能”或“不能”）完成这项任务。

【分析】由图中可以看到这九个营地形成基本图形为三角形的网格，那么根据题意需保证三角形的每个顶点颜色都不相同，至少需要3种颜色的旗子。

由于图中共有6个奇点，可以确定贝贝从某营地出发不走重复的路不能完成这项任务。

【例11】下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？HIFEDCBA【分析】依据题意可知，此题实际是一笔画问题．由于要设出口和入口，所以首先应确定有没有奇点，若有，有几个．因为图中只有E、I两个奇点，所以该道路图可以一笔画，只要将出、入口分别设在这两个点，游客就可以从入口处进入公园，不重复地走遍所有道路，而且从出口处离开公园．【例12】下图中每个小正方形的边长都是100米。

小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？【分析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。

首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，,A B 两点必须是奇点，现在,A B都是偶点，必须在与,A B连接的线段中各去掉1条线段，使,A B成为奇点。

所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下图：【例13】小明假日去看画展，展览分四个展区，展览馆内外一共有六扇门，平面图如下，请问小明能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。

如果能，应从哪开始走？【分析】我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右上图。

能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右上图是否可以一笔画问题。

图中只有,A D两个奇点，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。

【例14】下图是某博物馆的平面图，共有五个主题展馆，相邻两馆之间有门相通，并且设有入口．博物馆的入口以及展馆门口挂了颜色各异的彩旗，请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门采集到所有颜色的彩旗吗？如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到？【分析】可以将图中的五个展馆以及馆外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号得到左下图．这时，连通馆与馆之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中博物馆的平面图就抽象成为一个连通的图形，求穿行路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即①、④、③和博物馆入口外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭B或A门，把③、④或①、④变为偶点，就可以办到，可行路线如下图（答案不唯一）：【例15】在一条河的中间有两个小岛，周围有六座桥与两岸相通．问能否找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸？【分析】用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如右上图，由于此图中有A和C 两个奇点，虽然可以一笔画出此图形，但起点和终点必须为A和C，所以要想以C和D分别为起始点和终点，是无法一笔画出此图形的，所以不能找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸.【例16】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？【分析】用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图171--，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥，走法如图172--．关闭B门关闭A门图1-7-1图1-7-2【例17】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个岛连接起来(如下图所示)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考虑如下两个问题：⑴若再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥？若能，这座桥应架在何处？若不能，请说明理由．⑵架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地？【分析】⑴图a中，用,A D表示两个小岛，点,B C表示河的左右两岸，若用连接两点的线表示桥，从而得到一个由四个点和七条线组成的图形．在图a中，点A B C D、、、四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B D、，之间连一条线(架、，在B D一座桥)，如图b．在图b中只有点A和C两个奇点，那么我们可以以A为起点，C为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A C A B A D B D C→→→→→→→→．所以，如果在河岸B 与小岛D之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．⑵在⑴的基础上，再在另外两个奇点A与C之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图c．那么A B C D、、、四个点均为偶点，所以图c可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后仍回到这个点．其中一种画法为：A C A C D A B D B A→→→→→→→→→．这表明：在河岸B与半岛D之间架一座桥后，再在小岛A与河岸C之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．【例18】下图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径，若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门？【分析】我们把展厅A B C D E，，，，及馆外F看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F与A B C D E，，，，各展厅相通，这样将点F与点、、相通，将点A与点B C D、、用线连接，展厅B 、、、、用线连接，展厅A与展厅B C DA B C D E除与A相通外，它还与D E，相通，展厅D E，，连接，除此之外，展厅C D，展厅相通，将B与D E相通，将点C D，连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a ，连接，再将点D E一笔画的问题．可以看出：图a中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C D E F，，，，由一笔画的规律可知，图a不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a中有四个奇点C D E F，，，，为了把图a改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E与F间的连线，相应的图a就变成了图b．在图b中，除了原来的C和D是奇点外，其余点全部是偶点，故图b可以一笔画．其中一种画法为：C F D E B F A B D A C D→→→→→→→→→→→．上面的分析表明，如果关闭连接E F、两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门．本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．【例19】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）有一个城市的街道图是由一些矩形所构成，如下图。