江苏省怀仁中学2014高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人教A版必修4
江苏省怀仁中学高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人教A版必修4
江苏省怀仁中学2014高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人教A 版必修4学习目标：1.能借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性；2．能熟练写出形如sin(2)6y x π=+、cos(2)3y x π=-等的单调区间.学习重点:正、余弦函数的性质.学习过程:一．问题情境：我们已经作出了正、余弦函数的图象；那么，利用图象可以得到正、余弦函数的哪些性质呢？二．建构数学：如图：正弦函数、余弦函数的主要性质：（1）定义域：__________.（2）值域：__________.当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最大值为______；当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最小值为______；当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最大值为______；当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最小值为______；（3）周期性：____.T =（4）奇偶性：正弦函数是___函数，其图象关于____对称；余弦函数是___函数，其图象关于____对称.(5) 单调性:当x ∈_____________________时,sin y x =单调递增;当x ∈_____________________时,sin y x =单调递减;当x ∈_____________________时cos y x =单调递增;当x ∈_____________________时cos y x =单调递减.三.数学运用:例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:(1)cos ;3xy = (2)2sin 2.y x =-例2 求函数sin(2)3y x π=+的单调增区间.四.课堂练习:1. 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:(1)1cos ;y x =+ (2)2cos .3xy =-2. 求下列函数的单调区间:(1) sin();4y x π=+ (2) 3cos .2xy =3.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:(1)0sin 250与0sin 260; (2)15cos 8π与14cos .9π4.五.课堂小结:六：课后反思。
江苏省怀仁中学2014高中数学《函数的图象》学案 新人教A版必修4
江苏省怀仁中学2014高中数学《函数的图象》学案 新人教A 版必修4学习目标：1.结合具体实例了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义,利用函数图象观察、研究参数对函数图象变化的影响；2．能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，并在这个过程中认识到函数sin y x =与函数sin()y A x ωϕ=+的图象之间的关系.学习重点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象与函数sin y x ω=的图象之间的关系.学习过程：一. 问题情境：在物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如sin()y A x ωϕ=+（其中,,0,0)A A ωϕω>>都是常数，且的函数，那么它的图象与sin y x =的图象有什么关系呢？二. 建构教学：1. 作函数sin()6y x π=+和sin y x =的图象.小结1：函数sin()6y x π=+的图象可看做是将sin y x =图象向上所有的点向___平移___个单位长度得到.思考1：函数sin(1)y x =+的图象与sin y x =的图象有什么关系？函数sin(1)y x =-呢?结论1：一般地，函数sin()y x ϕ=+的图象可看做是将函数sin y x =图象向上所有的点向___（当0ϕ>时）或___(0)ϕ<当时平移___个单位长度而得到. 2．作出函数3sin y x =和sin y x =的图象.小结2：函数3sin y x =的图象可以看做是函数sin y x =的图象向上的所有点的____坐标变为原来的____倍(____坐标不变)而得到..思考2：函数1sin 3y x =的图象与函数sin y x =的图象有什么关系？结论2：函数sin y A x =(0,1)A A >≠的图象，可以看作将函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标变为原来的___倍 (___坐标不变）而得到.3.作函数sin 2y x =和函数sin y x =的图象.小结3：函数sin 2y x =的图象可以看做函数sin y x =的图象上所有点的___坐标变为原来的___倍（___坐标不变）而得到.思考3：函数1sin2y x =的图象与函数sin y x =的图象有什么关系？结论3：函数sin y x ω=（0ω>且1ω≠）的图象，可以看做将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的___倍（___坐标不变）而得到.4.作出函数sin(2)3y x π=+和函数sin 2y x =的图象.小结4. sin(2)3y x π=+的图象可以看做将函数sin 2y x =的图象上所有的点向___平移___个单位长度而得到.思考4.函数sin(21)y x =+的图象与sin 2y x =的图象有什么关系? sin(21)y x =-呢?结论 4.函数sin()(0,0)y x ωϕωϕ=+>≠的图象,可以看做将函数sin y x ω=的图象上所有的点向___(0)ϕ>当时或向___(0)ϕ<当时平移___个单位长度而得到.思考：函数()sin (0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？三.课堂练习：1． 已知函数3sin()5y x π=+的图象为C .（1） 为了得到函数3sin()5y x π=-的图象，只需把C 上的所有点______________________________________.（2） 为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把C 上的所有点______________________________________.（3） 为了得到函数4sin()5y x π=+的图象，只需把C 上所有点______________________________________.2. 把函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，所得到的图象的函数解析式为________________,再将图象上的所有的点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为______________________.3. 要得到函数3sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象（ ）A .向左平移4π个单位 .B 向右平移4π个单位.C 向左平移8π个单位 .D 向右平移8π个单位.三. 课堂小结：第十二课时 函数sin()y A x ωϕ=+的图象(一)（学案）一.选择题1. 要得到函数sin3y x =的图象，只要将函数sin y x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的（ ）.A 3倍 .B 6倍 1.3C 1.6D 2．已知函数1sin()()43y x x R π=+∈的图象C ，为了得到函数1sin()()43y x x R π=-∈的图象，只需将C 上的所有点（ ）.A 向左平移3π个单位长度 .B 向右平移3π个单位长度 .C 向左平移23π个单位长度 .D 向右平移23π个单位长度. 3．函数sin 1y x =+可由sin y x =经过下列变换得到（ ）.A 向左平移1个单位长度 .B 向右平移1个单位长度.C 向上平移1个单位长度 .D 向下平移1个单位长度.4.由函数sin()6y x π=-经过下列变换，得到函数1sin()26y x π=-的图象（ ） .A 横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变.B 横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变 .C 图象向左平移6π个单位长度 .D 图象向右平移6π个单位长度 二．填空题5．函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，则可以得到函数____________的图象. 6.函数5sin()3y x π=+的图象，可由函数5cos y x =的图象_________________________________________得到.7．函数1cos(2)23y x π=+的图象上，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 ____________________.三．解答题`8．函数1sin 2y x =的图象向右平移3π个单位，所得到的是什么？这个函数的图象与111sin()26y x π=+的图象有什么关系？9．一个单摆如图所示，以OA 为始边，OB 为终边的角θ()πθπ-<<与时间()t s 的函数满足1sin(2).22t πθ=+ （1）0t =时，角θ是多少？ （2）单摆频率是多少？（3）单摆完成5次完整摆动共需多少时间？。
人教A版高中数学必修四人教三角函数的图象与性质教案(3)
三角函数的图象与性质（一）知识要点12sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像和性质（1）定义域 （2）值域（3）周期性 （4）奇偶性 （5）单调性 （二）学习要点 1会求三角函数的定义域 2会求三角函数的值域3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。
如x y sin =与x y cos =的周期是π. 4会判断三角函数奇偶性 5会求三角函数单调区间6对sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数的要求 （1）五点法作简图（2）会写sin y x =变为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的步骤 （3）会求sin()y A x ωϕ=+的解析式（4）知道cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+的简单性质 7知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8能解决以三角函数为模型的应用问题 （三）例题讲解例1求函数3tan(2)4y x π=--的定义域，周期和单调区间。
例2已知函数()2sin(2)4f x x π=-（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若3[0,]4x π∈，求()f x 的取值范围； （7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ。
例3．（1）将函数1sin(2)24y x π=-的图象向______平移_______个单位得到函数1sin 22y x =的 图象(只要求写出一个值)(2)要得到1cos(2)24y x π=-的图象,可以把函数sin()cos()66y x x ππ=--的图象向______平移_______个单位(只要求写出一个值). 例 4.设x R ∈,函数21()cos ()2f x x ωϕ=+-(0,)2o πωϕ><<,已知()f x 的最小正周期为π,且1()84f π=. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间.例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (1)求这段时间的最大温差(2)写出这段曲线的函数解析式（四）练习题 一、选择题1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称（D ）关于直线x =2π对称 4.已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于 A.32 B.23C.2D.35.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.2π D . 4π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( )（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±17为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(A)[]1,1- (B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)1,2⎡-⎢⎣⎦(D)1,2⎡--⎢⎣⎦9.函数1|sin(3)|2y x =+的最小正周期是（ ）Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π10.函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 13设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件14.函数y=21sin2+4sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 二、填空题 15.sin()4y x π=-+在[0,2]x π∈的增区间是16.2cos 0()x x R ≥∈的x 的集合是17.8sin()48x y π=-的振幅,初相,相位分别是 18.tan 1x ≤,且x 是直线的倾斜角,则x ∈19.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质学案新人教A版必修4
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标:1.掌握y ＝sin x ,y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．( 重点、难点 )2.掌握y ＝sin x ,y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．( 重点 )3.会求函数y ＝A sin( ωx ＋φ )及y ＝A cos( ωx ＋φ )的单调区间．( 重点、易混点 )[自 主 预 习·探 新 知]详细解析式y ＝sin x y ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调 性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，π2＋2k π,k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2k π，3π2＋2k π,k ∈Z 上递减在[－π＋2k π,2k π],k ∈Z 上递增,在[2k π,π＋2k π],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2k π,k ∈Z 时,y max ＝1;x ＝－π2＋2k π,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2k π,k ∈Z 时,y max ＝1;x ＝π＋2k π,k ∈Z 时,y min ＝－1确定m 、n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.[基础自测]1．思考辨析( 1 )y ＝sin x 在( 0,π )上是增函数．( ) ( 2 )cos 1＞cos 2＞cos 3.( )( 3 )函数y ＝－12sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )[详细解析] ( 1 )错误．y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．( 2 )正确．y ＝cos x 在( 0,π )上是减函数,且0＜1＜2＜3＜π,所以cos 1＞cos 2＞cos 3.( 3 )正确．函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数,故当x ＝0时,取最大值0.[正确答案] ( 1 )× ( 2 )√ ( 3 )√2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－( －1 )＝3,此时x ＝2k π－π2,k ∈Z .]3．若cos x ＝m －1有意义,则m 的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x ≤1, 要使cos x ＝m －1有意义, 须有－1≤m －1≤1,所以0≤m ≤2.][合 作 探 究·攻 重 难]正弦函数、余弦函数的单调性( 1 )函数y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数,则a 的取值范围是________．( 2 )已知函数f ( x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f ( x )的单调递增区间．[思路探究] 1.确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．2．确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u 的单调递增区间．( 1 )( －π,0] [( 1 )因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a ≤0时满足条件,故a ∈( －π,0]．]( 2 )令u ＝π4＋2x ,函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π,k ∈Z ,由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π,k ∈Z得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π,k ∈Z .所以函数f ( x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π,k ∈Z .[规律方法] 1.求形如y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b 或形如y ＝A cos( ωx ＋φ )＋b ( 其中A ≠0,ω>0,b 为常数 )的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点:①要把ωx ＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正;②在A >0,ω>0时,将“ωx ＋φ”代入正弦( 或余弦 )函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A <0,ω>0时同样方法可以求得与正弦( 余弦 )函数单调性相反的单调区间．提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]1．( 1 )函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． ( 2 )已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调减区间为________． ( 1 )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3( 2 )⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3( k ∈Z ) [( 1 )由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π( k ∈Z ), 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3( k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6, x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.( 2 )y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π≤2x －π3≤2k π＋π,k ∈Z ,得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z ,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3( k ∈Z )．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小．( 1 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10;( 2 )sin 196°与cos 156°;( 3 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【2095】[思路探究] 用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[详细解析] ( 1 )∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.( 2 )sin 196°＝sin( 180°＋16° )＝－sin 16°, cos 156°＝cos( 180°－24° )＝－cos 24°＝－si n 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. ( 3 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [规律方法] 三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.[跟踪训练]2．( 1 )已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β( 2 )比较下列各组数的大小: ①cos 15π8,cos 14π9;②cos 1,sin 1.( 1 )B [( 1 )α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.]( 2 )①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0,π]上最小值是多少？提示:因为x ∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ,x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示:不是．因为A >0时最大值为A ＋b ,若A <0时最大值应为－A ＋b .( 1 )函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．( 2 )已知函数f ( x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ( a ＞0 )．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f ( x )的最大值为3,最小值是－2,求a 和b 的值. 【2096】[思路探究] ( 1 )先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x ,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．( 2 )先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin2x⎭⎪⎫－π3的取值范围,最后求f ( x )min ,f ( x )max ,列方程组求解．( 1 )[－4,0] [( 1 )y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－( sin x －1 )2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y ≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] ( 2 )∵0≤x ≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f ( x )max ＝a ＋b ＝3,f ( x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.母题探究:1.求本例( 1 )中函数取得最小值时x 的取值集合．[详细解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－( sin x －1 )2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z. 2．将本例( 1 )中函数改为y ＝cos 2x ＋sin x ,x ∈R 结果又如何？ [详细解析] y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1,所以－1≤y ≤54,所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ,x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.[规律方法] 三角函数最值问题的常见类型及求解方法:( 1 )y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ( a ≠0 ),利用换元思想设t ＝sin x ,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．( 2 )y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b ,可先由定义域求得ωx ＋φ的范围,然后求得sin( ωx ＋φ )的范围,最后得最值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．y ＝2cos x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．RA [因为x ∈R ,所以x 2≥0, 所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]．]2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数C [因为y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先增后减,所以y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先减后增．]3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]4．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8( 填“＞”或“＜” ). ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8.]5．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[详细解析] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间,由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π,k ∈Z ,得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π,k ∈Z ,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π( k ∈Z )．。
新人教A版高中数学(必修4)1.4《三角函数的图象与性质》教案2课时
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。
教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。
2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状 基本上就确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。
注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。
（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。
（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。
（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
高中数学《三角函数的图象和性质》教案6 新人教A版必修4
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像----正弦函数的图象一、教学目标：1．知识目标：正弦函数的图象2．能力目标：(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象(2)会用五点法画出正弦函数的简图3．情感目标：发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系二、教学重点、难点：重点：用五点法画正弦曲线难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线三、教学方法：借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。
以讲授法为主。
四、教学过程：必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(2) 教学目标：1．知识与技能（1）理解正弦函数的性质（2）理解周期函数与最小正周期的意义2．过程与方法通过正弦函数的图像，进一步体会数形结合的思想方法。
3．情感、态度与价值观通过正弦函数性质的学习，培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。
教学重点：正弦函数的性质教学难点：正弦函数的周期性教学方法：引导学生正弦函数的图像，观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。
首先由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。
教学过程：必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(3)一、教学目标（一）、知识与技能：1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦型函数；2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。
例：、、、、、等；3、能够认识以上这些函数与正弦函数图象的关系，即它们是如何通过正弦函数图象平移、伸缩而得到；4、能够根据图象的特征写出正弦型函数的解析式，并能由解析式求出函数的周期、最值等；5、明确的物理意义，把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。
（二）、过程与方法：1、通过“五点作图”法，使得学生掌握作三角函数图象的一种一般方法；2、通过图象变换的学习，培养运用数行结合思想分析、研究问题的能力，以及探究、创新的能力；3、通过图象的对比，学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析、解决问题；4、培养逆向思维解决问题的能力；（三）、情感、态度与价值观：1、通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；2、事物之间总是有联系的，通过现象能够看到不同表象背后的共性，培养概括、归纳的思维习惯；3、培养动与静的辩证关系；4、渗透数形结合的思想方法。
人教A版高中数学必修四三角函数的图象与性质学案新(4)
三角函数性质与图像知识清单： 备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+； )tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 .2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．3．函数sin2xy =的最小正周期是 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是 6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移 个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .8． 函数sin y x x =+在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，典型例题例1、三角函数图像变换 将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相ϕ分别为 例3、三角函数性质求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是 变式2、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( ) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2变式3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域变式4、已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．例5、三角恒等变换 函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是 ．变式1：已知cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，求cos sin αα+的值． 变式2：已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最大值和最小值． 实战训练1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是____ 3．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于4．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则5．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a = 6．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 7．将π2cos 36xy ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 8．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为 的 函数 9．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 10．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =11．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-12．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数13．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 15．函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是16．已知函数)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。
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江苏省怀仁中学2014高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人
教A 版必修4
学习目标：
1.能借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性；
2．能熟练写出形如sin(2)6y x π=+、cos(2)3y x π
=-等的单调区间.
学习重点:正、余弦函数的性质.
学习过程: 一．问题情境：我们已经作出了正、余弦函数的图象；
那么，利用图象可以得到正、余弦函数的哪些性质呢？
二．建构数学：如图：
正弦函数、余弦函数的主要性质：
（1）定义域：__________.
（2）值域：__________.
当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最大值为______；
当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最小值为______；
当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最大值为______；
当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最小值为______；
（3）周期性：____.T =
（4）奇偶性：正弦函数是___函数，其图象关于____对称；
余弦函数是___函数，其图象关于____对称.
(5) 单调性:当x ∈_____________________时,sin y x =单调递增;
当x ∈_____________________时,sin y x =单调递减;
当x ∈_____________________时cos y x =单调递增;
当x ∈_____________________时cos y x =单调递减.
三.数学运用:
例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合: (1)cos ;3x
y = (2)2sin 2.y x =-
例2 求函数sin(2)3y x π
=+的单调增区间.
四.课堂练习:
1. 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:
(1)1cos ;y x =+ (2)2cos .3x
y =- 2. 求下列函数的单调区间:
(1) sin();4y x π=+ (2) 3cos .2x
y =
3.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(1)0sin 250与0sin 260; (2)15cos 8π与14cos .
9π
4.
五.课堂小结:
六：课后反思。