《命题与量词》集合与常用逻辑用语
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命题与量词集合与常用逻辑用语课件新教材
(2)表示
存在量词命题“存在集合M中的元素x,p(x)”可用符号简记为
“∃x∈M,p(x)”,读作“存在集合M中的元素x,使p(x)成立”.
(3)存在量词命题真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素
x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.
课前篇
自主预习
例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.
(5)x∈R,x2+4x+4≥0.
例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得p(x0)
0
0
不成立即可.
(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.
将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M
表示.那么,全称量词命题“对集合M中所有元素x,p(x)”可用符号简记
为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于集合M,有p(x)成立”.
(3)全称量词命题的真假判定
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)
一
二
三
(3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若∀a∈A,都有a∈B成立,求实数a的取值范围.
(2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.
(2)下列命题中,真命题共有(
)
例3判断下列命题的真假.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
(2)命题为存在量词命题.
解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.
存在量词命题“存在集合M中的元素x,p(x)”可用符号简记为
“∃x∈M,p(x)”,读作“存在集合M中的元素x,使p(x)成立”.
(3)存在量词命题真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素
x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.
课前篇
自主预习
例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.
(5)x∈R,x2+4x+4≥0.
例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得p(x0)
0
0
不成立即可.
(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.
将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M
表示.那么,全称量词命题“对集合M中所有元素x,p(x)”可用符号简记
为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于集合M,有p(x)成立”.
(3)全称量词命题的真假判定
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)
一
二
三
(3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若∀a∈A,都有a∈B成立,求实数a的取值范围.
(2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.
(2)下列命题中,真命题共有(
)
例3判断下列命题的真假.
上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?
(2)命题为存在量词命题.
解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.
人教B版高中数学必修一课件 《常用逻辑用语》集合与常用逻辑用语PPT(第1课时命题与量词)
23
3．下列不是全称量词命题的是 ( ) A．任何一个实数乘零都得零 B．自然数都是整数 C．高一(1)班绝大多数同学是团员 D．每一个四边形的内角和都是 180° C [“高一(1)班绝大多数同学是团 员”，即“高一(1)班有的同 学不是团员”，不是全称量词命题．]
24
存在量词和存在量词命题
【例 4】 下列命题中存在量词命题的个数是( ) ①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四 边形是菱形．
D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题 的定义知选D.]
42
3．下列命题： ①所有合数都是偶数； ②x∈R，(x－1)2＋1≥1； ③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命 题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命 题；命题③既是存在量词命题， 又是真命题，故选B.]
4
2．全称量词和全称量词命题 (1)一般地，“ 任意 ”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事 物的全体，称为全称量词，并用符号“ ∀”表示． (2)含有 全称量词 的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量 x 的语句用 p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示， 那么全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”可用符号简记为
40
1．下列语句不是命题的有( ) ①若 a>b，b>c，则 a>c；②x>2；③3<7. A．0 个 B．1 个 C．2 个
D．3 个
B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真 假，不是命题．]
41
2．下列命题是存在量词命题的是( ) A．对顶角相等 B．正方形都是四边形 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于 1
3．下列不是全称量词命题的是 ( ) A．任何一个实数乘零都得零 B．自然数都是整数 C．高一(1)班绝大多数同学是团员 D．每一个四边形的内角和都是 180° C [“高一(1)班绝大多数同学是团 员”，即“高一(1)班有的同 学不是团员”，不是全称量词命题．]
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存在量词和存在量词命题
【例 4】 下列命题中存在量词命题的个数是( ) ①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四 边形是菱形．
D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题 的定义知选D.]
42
3．下列命题： ①所有合数都是偶数； ②x∈R，(x－1)2＋1≥1； ③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命 题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命 题；命题③既是存在量词命题， 又是真命题，故选B.]
4
2．全称量词和全称量词命题 (1)一般地，“ 任意 ”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事 物的全体，称为全称量词，并用符号“ ∀”表示． (2)含有 全称量词 的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量 x 的语句用 p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示， 那么全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p(x)成立”可用符号简记为
40
1．下列语句不是命题的有( ) ①若 a>b，b>c，则 a>c；②x>2；③3<7. A．0 个 B．1 个 C．2 个
D．3 个
B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真 假，不是命题．]
41
2．下列命题是存在量词命题的是( ) A．对顶角相等 B．正方形都是四边形 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于 1
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词bb高一第一册数学
词．( )
(4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )
(5)“四边形的内角和是 360°”是全称量词命题．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
12/10/2021
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试 第十四页，共四十六页。
课后课时精练
答案
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1) 命 题 “ 有 些 长 方 形 是 正 方 形 ” 含 有 的 量 词 是 ________ ， 该 量 词 是 ________量词(填“全称”或“存在”)． (2)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量 词”)． (3)若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则 a 的取值范围是________．
称为□01 全称量词 ，用符号“ □02 ∀ ”表示．
(2)全称量词命题就是形如“对集合 M 中的所有元素 x，r(x)”的命题，
可简记为∀x∈M，r(x)．
12/10/2021
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知识点三 存在量词和存在量词命题 (1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部
12/10/2021
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第二十七页，共四十六页。
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答案
金版点睛
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合 M
中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能
举出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出 一个反例”)．
《全称量词与存在量词》集合与常用逻辑用语
04
集合之间的关系
Chapter
子集与真子集
子集
如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，那么我们称A是B的子集，记为 A⊆B。
真子集
如果A是B的子集，但A≠B，那么我们称A是B的真子集，记为A⊈B。
集合的交集与并集
交集
两个集合A和B的交集，记作A∩B，是指同时属于A和B的所有 元素的集合。
并集
两个集合A和B的并集，记作A∪B，是指属于A或属于B的所 有元素的集合。
集合的补集
补集：对于一个集合A，在全集中不属于A的所有元素的集合称为A的补集，记作 ∁UA。
以上是《全称量词与存在量词》中集合与常用逻辑用语的一些基本概念，理解这 些概念对于后续的学习非常重要。
05
常用逻辑用语
Chapter
通过使用全称量词，我们可以更方便 地进行逻辑推理和证明，并减少需要 考虑的情况数量。
03
存在量词
Chapter
存在量词的定义
存在量词
在逻辑学中，存在量词用于表达"存在至少一个"的 概念。
符号表示
存在量词通常用符号"∃"表示。
例子
∃x (x是整数且x大于0)。
使用存在量词的注意事项
避免混淆
在使用存在量词时，要明确所讨 论的集合或类别，避免与全称量 词混淆。
逻辑工具
集合论中的集合运算和关系为数学 逻辑提供了有力的工具，有助于研 究数学基础和形式化方法。
集合论在数学中的具体应用场景
数学分析
代数
集合论在数学分析中用于研究点集、实数 、连续性等概念，例如在测度论、微分学 和积分学中都有应用。
集合论在代数中用于研究群、环、域等代 数结构，例如在抽象代数中，集合运算被 用来定义和证明代数结构的基本性质。
《命题与量词》集合与常用逻辑用语
05
命题逻辑与集合论的进一步学习 建议
学习更高级的逻辑课程
形式化逻辑课程
形式化逻辑是数理逻辑的一个分支，它研究符号逻辑和推理规则。学习这门课程可以帮助你更深入地 理解命题逻辑和集合论的基础知识，并学习到更多的形式化语言和推理技术。
高级逻辑课程
高级逻辑课程通常涵盖了更广泛的逻辑话题，例如模态逻辑、时态逻辑和多值逻辑等。这些话题可以 帮助你更深入地理解命题逻辑和集合论中的一些问题，并开拓你的视野，了解更多逻辑的应用领域。
学习数理逻辑和集合论的相关书籍
数理逻辑教材
学习数理逻辑可以帮助你更深入地理解 命题逻辑和集合论中的一些概念和技术 。例如，通过学习一阶逻辑（即谓词逻 辑），你可以更好地理解量词的作用和 意义，并学习到更多的推理规则和技术 。
VS
集合论教材
集合论是研究集合及其性质的数学分支。 通过学习集合论，你可以更深入地理解集 合的概念、性质和运算，并学习到更多的 数学基础知识和技术。
通过将问题符号化，命题逻辑可以简化复杂问题的分析过程，提高推理的准确性。
集合论在数学中的应用
集合论是数学中的一个分支， 用于研究集合及其运算、函数 等概念。
在数学中，集合论可以帮助我 们理解抽象概念和空间关系， 例如拓扑学中的拓扑空间。
集合论中的一些基本概念，如 并集、交集、补集等，在数学 分析、概率论等领域都有广泛 的应用。
量词
量词是用来修饰名词或名词短语 的词，常用的有“所有”、“有 些”、“每一个”等。
命题的分类
简单命题
简单命题是一个不包含其他命题作为 其组成部分的命题。
复合命题
复合命题是由简单命题通过逻辑联结 词组合而成的命题。
量词的分类
全称量词
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定
[归纳提升] 1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以 相互转化．
2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问 题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题．
对点练习❸ 已知“∃x∈R，使得不等式x2－4x－a－1<0”不
成立，则下列a的取值范围( A )
A．{a|a≤－5}
(B) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [解析] 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”
否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
全称量词命题的否定
想一想：一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定相同吗？
提示：一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得
到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定
结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在
量词改为全称量的平方是有理数”的否定是
[解析] 因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为 真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－ (x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为 {m|m>－4}．(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在 x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题)
②该命题的否定：∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．当a＝0 时，方程x2＋2＝0没有实数根，所以这是一个真命题．
人教高中数学B版必修一 第一章 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
q
¬q
结论
全称量词命题 ∀x∈M，q(x)
∃x∈M，¬q(x)
全称量词命题的否定 是____存__在__量__词__命__题____
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
__∀_x_∈__M__，__¬_p_(x_)___
存在量词命题的否定 是___全__称__量__词__命__题____
[注意] 全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存 在量词一般不能省略．
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
1．给出下列命题： ①存在实数 x＞1，使 x2＞1； ②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a，使 ax2－ax＋1＝0 的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
考点
学习目标
核心素养
理解全称量词、全称量词命 全称量词命题与存在
题的定义，理解存在量词、 数学抽象 量词命题的定义
存在量词命题的定义
全称量词命题与存在 掌握判断全称量词命题与 量词命题的真假判断 存在量词命题真假的方法
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在 M 中找到一
个 x，使得 q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对 M 中的
每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成
第一章 集合与常用逻辑用语
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
q
¬q
结论
全称量词命题 ∀x∈M，q(x)
∃x∈M，¬q(x)
全称量词命题的否定 是____存__在__量__词__命__题____
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
__∀_x_∈__M__，__¬_p_(x_)___
存在量词命题的否定 是___全__称__量__词__命__题____
[注意] 全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存 在量词一般不能省略．
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
1．给出下列命题： ①存在实数 x＞1，使 x2＞1； ②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a，使 ax2－ax＋1＝0 的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
考点
学习目标
核心素养
理解全称量词、全称量词命 全称量词命题与存在
题的定义，理解存在量词、 数学抽象 量词命题的定义
存在量词命题的定义
全称量词命题与存在 掌握判断全称量词命题与 量词命题的真假判断 存在量词命题真假的方法
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在 M 中找到一
个 x，使得 q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对 M 中的
每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成
专题01 集合与常用逻辑用语(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理）一、集合1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A 、B 、C 、…来表示。
2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a 、b 、c 、…来表示。
注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合，应注意区别。
3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。
4、元素与集合的关系：之间只能用“∈”或“∉”符号连接。
(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；(2)不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉。
5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。
集合中的元素互不相同。
例：集合},1{a A =，则a 不能等于1。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。
例：}2,1,0{有}1,2,0{、}2,0,1{、}0,2,1{、}1,0,2{、}0,1,2{等六种表示方法。
6、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合。
(2)无限集：含有无限个元素的集合。
(3)空集：不含任何元素的集合。
7、常见的特殊集合：(1)正整数集*N 或+N ；(2)非负整数集N (即自然数集，包括零)；(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)；(4)有理数集Q (包括整数集Z 和分数集→正负有限小数或无限循环小数)；(5)实数集R (包括所有的有理数和无理数)；注意：①}{整数=Z (√)；}{全体整数=Z (×)；②},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈=⋅表示坐标轴上的点集；③},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈>⋅表示第一、三象限的点集；④},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈<⋅表示第二、四象限的点集；⑤对方程组解的集合应是点集，例：⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合)}1,2{(； 例1-1．判断下列说法是否正确，并说明理由。