2016数学联赛一试试卷含答案及评分标准

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2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至,开学的同时,每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了,同学们可知道高中联赛的前世今生吗?从1956年起,在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下,开始举办中学数学竞赛,在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛,并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。

1979年,我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。

1980年,在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上,确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作,每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。

竞赛分为一试和二试,在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。

各省的参赛名额由3人到8人不等,视该省当年的联赛考试成绩而定,且对于承办方省份有一定额外的优惠。

在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。

经过集训队的选拔,将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队,参加国际数学奥林匹克(IMO)。

为了促进拔尖人才的尽快成长,教育部规定:在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格,对于没有保送者在高考中加分,加分情况根据各省市政策而定,有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等,而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。

对二、三等奖获得者,各省、市、自治区又出台了不同的政策,其中包括自主招生资格等优惠录取政策。

为严格标准,中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右,并划分到各省、市、自治区。

各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时,还要交上他们的试卷,最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。

☆ 试题模式自2010年起,全国高中数学联赛试题新规则如下:联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”)。

2016年全国初中数学联赛试题+答案

2016年全国初中数学联赛试题+答案

2016年全国初中数学联赛试题+答案2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知123t =-,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则112b a-=( ).A 12 .B 32.C 1 .D32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ).A9种.B10种.C11种.D12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为().A6858.B6860.C9260.D92623(B).已知二次函数21(0)y ax bx a=++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b-为整数时,ab=().A0.B 14.C34-.D2-4.已知O e的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交O e于点E,若8,AB=2CD=,则BCE∆的面积为().A12.B15.C16.D185.如图,在四边形ABCD中,090BAC BDC∠=∠=,5AB AC==1CD=,对角线的交点为M,则DM=( ).A 32.B53.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B )】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=(x >)的图象上,090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分,3AD =,则AM = .2(A).在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 .3(B).若质数p、q满足:340,111,--=+<则pq的q p p q最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 —11:20)一、(本题满分20分)已知,a b为正整数,求22=---能取到的最小M a ab b324正整数值.二、(本题满分25分)(A).如图,点C在以AB为直径的O e上,CD AB⊥于点D,点E在BD上,,=四边形DEFM是正方形,AMAE AC的延长线与O e交于点N.证明:FN DE=.(B ).已知:5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.三、(本题满分25分)(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xyyz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图,在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x的小数部分.已知123t =-,a 是t 的小数部分,b 是t-的小数部分,则112b a-=( ).A 12 .B 32.C 1 .D3【答案】A . 【解析】123,132,23t ==+<<-Q 3234,∴<+< 即34,t <<33 1.a t ∴=-= 又23,231,t -=--<<-4233,∴-<-<-(4)23,b t ∴=---=1123311,22222(23)31b a ∴-==-=--故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ).A 9种.B 10种 .C 11种.D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩,解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩依题意得,,,x y z 为自然数(非负整数),故010,x ≤≤x 有11种可能的取值(分别为0,1,2,,9,10)L ,对于每一个x 值,y 和z 都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有11种,故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ).A 6858.B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B . 【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ (其中k 为非负整数),由22(121)2016k +≤得,9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ,即得所有不超过2016的“和谐数”,它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B .3(B ).已知二次函数21(0)y axbx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b -为整数时,ab =( ).A 0 .B 14.C 34-.D 2-【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2b a a b a <-<++= 故0,b < 且1b a =--,(1)21a b a a a -=---=+,于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数,210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =,故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为( ).A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中,222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =,即3OC =(第4题答案图) Q 为ABE ∆的中位线,2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径,90,∴∠=o114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图,在四边形ABCD中,090BAC BDC ∠=∠=,5AB AC ==,1CD =,对角线的交点为M ,则DM =( ).A 32.B 53.C 22 .D 12(第5题答案图)【答案】D .【解析】过点A作AH BD⊥于点,H 则AMH∆~,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAH CM∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中,2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+25,55x xxx =-+显然0x ≠,化简整理得2255100xx -+=解得5,2x =(25x =不符合题意,舍去),故5,2CM =在Rt CDM ∆中,2212DM CM CD =-=,故选D .6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 3【答案】C . 【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时,M 取等号,故max 34M =,故选C .二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B )】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=(x >)的图象上,090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】如图,过点C 作CD AB ⊥于点D .在Rt ACB ∆中,cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD∆中,33sin 2CD BC B =⋅=(第1题答案图)9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,,,C m A n m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=,于是3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得33m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,故点C 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分,3AD =则AM = .【答案】2. 【解析】(第1题答案图1 ) ( 第1题答案图2)依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时,如答案图1所示,ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中,即1cos ,2DAC ∠=060,DAC ∴∠= 从而090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中,tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠=⋅=o 1.DM =在Rt ADM ∆中,222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时,如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述,2AM =.2(A).在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=, BCQ ∥AD,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=,(第2题答案图)OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o2,2180,βααβ=+=o解得36,72αβ==oo,72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ,则10003x y xy +=,①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍,不妨设y tx =(t 为正整数),代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x Q是三位数,10001003tx t +∴=≥,解得 1000,299t ≤t Q 为正整数,t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知,只有2t =符合,此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340q p --=得,34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数,故pq 的值随着质数q 的增大而增大,当且仅当q 取得最大值时,pq 取得最大值. 又111p q +<,34111,q q ∴-+<3284q ∴<,因q 为质数,故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2,但23q =时,3465513p q =-==⨯不是质数,舍去. 当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .【答案】10. 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列,则5M =; (2)若5个1分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为3,故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾.综上所述,10.M ≤另一方面,如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.1 1 1 4 51 12 4 52 2 2 4 53 3 245 3 3 3 4 5第二试(3月20日上午9:50— 11:20)一、(本题满分20分) 已知,a b 为正整数,求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解:因,a b 为正整数,要使得22324M a ab b =---的值为正整数,则有2a ≥.当2a =时,b 只能为1,此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时,b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =,则7M =.当4a =时,b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑:22324M aab b =---的值能否为1?)(反证法)假设1M =,则223241aab b ---=,即22325a ab b -=+,2(3)25a ab b -=+ ①因b 为正整数,故25b +为奇数,从而a 为奇数,b为偶数,不妨设21,2a m b n =+=,其中,m n 均为正整数,则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a ab m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a ab -被4除所得余数为3,而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1,故①式不可能成立,故1M ≠.因此,M 能取到的最小正整数值为2. 二、(本题满分25分)(A ).如图,点C 在以AB 为直径的O e 上,CD AB⊥于点D ,点E 在BD 上,,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】:连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径,CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC ABAD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上,DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN ABAD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅,AE AC =Q 2AE AM AN∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线,直线AMP 是F e 的割线,故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合,点N 在F e 上,FN FE DE∴==.(注:上述最后一段得证明用了“同一法”) (B ).已知:5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.【解析】由已知得22221()()5ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得,4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a bc a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=-同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注:恒等式32)()()()t b t c t a b c t ab bc ca t abc--=-+++++-】三、(本题满分25分)(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(3) 求111xyyz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【解析】(1)解:由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=,去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z xy x y z y z x xyz--+--+--=,22222222222()()()3()0,y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=,∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=,1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ,()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++,∴原式= 1.x y zxyz++= (2)证明:由(1)得计算过程知xyz x y z ∴=++,又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【注:222222()()()2x y y z z x x y xyy z yz z x zx xyz+++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz=++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz=++++++】(B ).如图,在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.第3(B )题答案图)【解析】如图,连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q点C关于直线AD的对称点为点E,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)BAD BCF∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆,AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AFAD AB∴=()225 5.AD AF AB ∴⋅=== (注:若共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆,也可以说成:若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆)。

2016年全国高中数学联赛一试

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2016年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分1.设实数a 满足||1193a a a a <-<,则a 的取值范围是2.设复数w z ,满足3||=z ,i w z w z 47))((+=-+,其中i 是虚数单位,w z ,分别表示w z ,的共轭复数,则)2)(2(w z w z -+的模为3.正实数w v u ,,均不等于1,若5log log =+w vw v u ,3log log =+v u w v ,则u w log 的值为4.袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为5.设P 为一圆锥的顶点,A ,B ,C 是其底面圆周上的三点,满足ABC ∠=90°,M 为AP 的中点.若AB =1,AC =2,2=AP ,则二面角M —BC —A 的大小为 6.设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=,其中k 是一个正整数.若对任意实数a ,均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<,则k 的最小值为7.双曲线C 的方程为1322=-y x ,左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ,Q ,使得PQ F 1∠=90°,则PQ F 1∆的内切圆半径是8.设4321,,,a a a a 是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在ABC ∆中,已知CB CA BC BA AC AB ∙=∙+∙32.求C sin 的最大值.10.(本题满分20分)已知)(x f 是R 上的奇函数,1)1(=f ,且对任意0<x ,均有)()1(x xf x x f =-. 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值.11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点,O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点,Q 是x 轴负半轴上一点,使得PQ 为C 的切线,且|PQ |=2.圆21,C C 均与直线OP相切于点P ,且均与轴相切.求点F 的坐标,使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.。

2016年全国初中数学联赛试题及答案

2016年全国初中数学联赛试题及答案

2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试(A)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则112b a -= ( )A.12. . C.1. 【答】A.∵2t ==+324<+,∴31a t =-=.又∵2t -=-423-<-<-,∴(4)2b t =---=∴11122b a -===. 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案共有 ( )A .9种.B .10种.C .11种.D .12种.【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,a b c ,则30a b c ++=,101520500a b c ++=,易得202b a =-,10c a =+,于是a 有11种可能的取值(分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).对于每一个a 值,对应地可求出唯一的b 和c , 所以,不同的购书方案共有11种.3.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”。

如: 3321(1)=--,332631=-,2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( )A .6858.B .6860.C .9260.D .9262.【答】B.注意到332(21)(21)2(121)k k k +--=+,由22(121)2016k +≤得||10k <.取k =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,即得所有的不超过2016的“和谐数”,它们的和为 333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .4.已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交⊙O 于点E ,若AB =8,CD =2,则△BCE 的面积为 ( )A.12.B.15.C.16.D.18.【答】A.设OC x =,则OA =OD 2x =+,在Rt △OAC 中,由勾股定理得222OC AC OA +=,即2224(2)x x +=+,解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线,所以26BE OC ==. 所以直角△BCE 的面积为1122CB BE ⋅=. 5.如图,在四边形ABCD 中,90BAC BDC ∠=∠=︒,AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ,则DM = ( )... D.12. 【答】D.作AH BD ⊥于点H ,易知△AMH ∽△CMD ,所以AH AM CD CM=,又1CD =,所以 AM AH CM= ① 设AM x =,则CM x =.在Rt △ABM中,可得AB AM AH BM ⋅==.=,解得x =x =舍去).所以2CM =,12DM ==. 6.设实数,,x y z 满足1x y z ++=,则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ) A.12. B. 23. C.34. D. 1. 【答】C.23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++ 2211332()()2244y x x =-+---+≤, 所以23M xy yz xz =++的最大值为34. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)B C1.已知△ABC 的顶点A 、C在反比例函数0)y x x=>的图象上,90ACB ∠=︒,ABC ∠=30°,AB ⊥x 轴,点B 在点A 的上方,且AB =6,则点C 的坐标为_______.【答】2). 作CD AB ⊥于点D,易求得CD =,32AD =.设(C m,(A n ,结合题意可知0n m >>,(D n m,所以CD n m =-,AD m n =-,故2n m -=,32m n -=,联立解得2m =,n =所以,点C的坐标为(2)2. 2.在四边形ABCD 中,//BC AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,CD AO =,BC OD =,则ABC ∠= .【答】126︒.因为//BC AD ,CA 平分BCD ∠,所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠,所以DA DC =,又CD AO =,所以AD AO =,所以ADO AOD ∠=∠.记DAC ACB ACD ∠=∠=∠=α,ADO AOD β∠=∠=. 又//BC AD ,所以△ADO ∽△CBO ,结合AD AO =可得OC BC =,且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =,所以OC OD =,所以ODC OCD α∠=∠=.结合图形可得:2βα=且2180αβ+=︒,解得36α=︒,72β=︒.所以72DBC DCB ∠=∠=︒,所以BD CD AD ==,所以54DAB DBA ∠=∠=︒,于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.3.有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 .【答】167334.设两个三位数分别为x 和y ,由题设知10003x y xy += ①由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-,故y 是x 的整数倍,不妨设y tx =(t 为正整数),代入①式得10003t tx +=,所以10003t x t +=.因为x 是三位数,所以10001003t x t+=≥,从而可得1000299t ≤,又t 为正整数,故t 的可能的取值只能是1,2,3.验证可知:只有t =2符合题意.所以t =2,167x =,334y =,所求的六位数为167334.4.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .【答】10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值.若5个1分布在同一列,则M =5;若5个1分布在两列中,则由题设知这两列中出现的最大数至多为3,故2515320M ≤⨯+⨯=,所以10M ≤;若5个1分布在三列中,则由题设知这三列中出现的最大数至多为3,故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,所以10M ≤; 若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,与题设矛盾. 综上所述,10M ≤; 另一方面,右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第一试(B)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.题目和解答与(A )卷第1题相同.2.题目和解答与(A )卷第2题相同.3.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b -为整数时, ab = ( )A .0.B .14. C .34-. D .2-. 【答】B.由于二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0)和(0,1),故0a <,02b a-<,10a b ++=,所以0b <且1b a =--,于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时,因为1211a -<+<,所以210a +=,故12a =-,12b =-,所以14ab =. 4.题目和解答与(A )卷第4题相同.5.题目和解答与(A )卷第5题相同.6. 题目和解答与(A )卷第6题相同.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分,AD =则AM =_______.【答】2.显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠,则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ,所以BD =DM 12CM =.又因为AM 平分DAC ∠,所以,由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==,即1cos 2DAC ∠=,所以DAC ∠=60︒,进而可得90BAC ∠=︒,30ACD ∠=︒.在Rt △ADC中,AD =30ACD ∠=︒,可求得3CD =,所以1DM =.在Rt △ADM中,由勾股定理得2AM ==.若ABC ACB ∠<∠,同理可求得2AM =.2.题目和解答与(A )卷第1题相同.3.若质数,p q 满足:340q p --=,111p q +<.则pq 的最大值为 .【答】1007.由340q p --=得34p q =-,所以(34)pq q q =-,显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大,当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.又因为111p q +<,即p q +=44q -111<,所以29q <.因为q 为质数,所以q 的可能的取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2.当q =23时,34p q =-=65,不是质数;当q =19时,34p q =-=53,是质数.所以,q 的最大值为19,pq 的最大值为53×19=1007.4. 题目和解答与(A )卷第3题相同.第二试 (A )一、(本题满分20分)已知,a b 为正整数,求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解 因为,a b 为正整数,要使得22324M a ab b =---的值为正整数,显然有2a ≥.当2a =时,b 只能为1,此时4M =,故22324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.………………5分当3a =时,b 只能为1或2.若b =1,则M =18;若b =2,则M =7.当4a =时,b 只能为1或2或3.若b =1,则M =38;若b =2,则M =24;若b =3,则M =2.………………10分下面考虑: 22324M a ab b =---的值能否为1?若1M =,即223241a ab b ---=,即22325a ab b -=+ ①,注意到25b +为奇数,所以a 是奇数, b 是偶数,此时,223a ab -被4除所得余数为3,25b +被4除所得余数为1,故①式不可能成立,即1M ≠.因此,22324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分二、(本题满分25分)如图,点C 在以AB 为直径的⊙O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,AE AC =,四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明:FN DE =.证明 连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径,CD AB ⊥,∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.∵CAB DAC ∠=∠,ACB ADC ∠=∠,∴△ACB ∽△ADC , ∴AC AB AD AC=,∴2AC AD AB =⋅. ……………………5分 又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知:点M 在CD 上,B ADE DM EF MF ===.∵NAB DAM ∠=∠,ANB ADM ∠=∠,∴△ANB ∽△ADM ,∴AN AB AD AM =, ∴AD AB AM AN ⋅=⋅.∴2AC AM AN =⋅,又AE AC =,∴2AE AM AN =⋅.……………………15分 以F 为圆心、FE 为半径作⊙F ,与直线AM 交于另一点P ,显然:⊙F 与AB 切于点E .于是,由切割线定理可得2AE AM AP =⋅.∴AN AP =,∴点N 即为点P ,∴点N 在⊙F 上,∴FN FE DE ==.……………………25分三、(本题满分25分)已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. (1)求111xy yz zx++的值. (2)证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.解 (1)由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=得 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=,展开整理得222222222222[()()()]()4x y z x yz xy z x y z y z x z x y x y z xyz ++-++++++++=, 即()()()()0xyz xy yz xz x y z xy yz xz x y z xyz ++-+++++++-=,所以[()](1)0xyz x y z xy yz xz -++++-=. ……………………10分 又因为1xy yz zx ++≠,所以()0xyz x y z -++=,所以xyz x y z =++,因此,1111xy yz zx++=. ……………………15分(2)因为,,x y z 为正数,所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++=9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx +++-++++ =2222226x y xy x z xz y z yz xyz +++++-=222()()()0x y z y z x z x y -+-+-≥,所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.……………………25分第二试 (B )一、(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二、(本题满分25分)已知:5a b c ++=,22215a b c ++=,33347a b c ++=.求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.解 因为5a b c ++=,22215a b c ++=,所以22222()()()10ab bc ac a b c a b c ++=++-++=,所以5ab bc ac ++=. ……………………5分 结合恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---,可得4735(155)abc -=- 50=,所以1abc =-. ……………………10分 而22()()()a ab b a b a b c ab bc ac ++=+++-++5(5)55(4)c c =--=-. ……………15分 同理可得225(4)b bc c a ++=-,225(4)c ca a b ++=-,所以 222222()()()125(4)(4)(4)a ab b b bc c c ca a a b c ++++++=---125[6416545(1)]=-⨯+⨯--625=. ……………………25分三、(本题满分25分)如图,在等腰△ABC中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ,求AD AF ⋅的值. 解 连接AE 、ED 、CF ,由题设条件可知ABC ACB AED ∠=∠=∠,所以A 、E 、B 、D 四点共圆,于是可得BED BAD ∠=∠.……………………10分又因为点C 和点E 关于直线AD 对称,所以BED BCF ∠=∠.……………………15分因此BAD BCF ∠=∠,所以A 、B 、F 、C 四点共圆,又AB AC =,所以ABD ACB AFB ∠=∠=∠, ……………………20分所以△ABD ∽△AFB ,所以AB AD AF AB =,所以25AD AF AB ⋅==. ……………………25分E C。

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题-参考答案及评分标准

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题-参考答案及评分标准

2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题20応年全国高中数学联合竟赛(四川初賽)tt目—一三.总琥織>3H15k«ft井—iw■鼻人釐核人(5月脾日下年1牡30一- 16: 30)考生注蠢:U車14卷共三丸总全糅構裁"0分・2.用H〔置〉色I■珠塔以®!爼件善- 3・计WS>運讯工为苹権常入岛坊.L»对tz±i二* ♦咆JB 大民找疔牛小盏.毎*蜃帝井・共:W甘〉4K 為M 的離算成中孑的乐K[址_____________ . 1用鎳诈独怦:齐》X«K ^i. & w ,卩、y WjhfctJl 2则脅比的十比网列” sma . tin fi ,审打尸构琰專比Ifl过密封纹一tl(刈*锵£備口的佃駁_______________ .9- Ll^ll ll P1WW 5 K 为4・/儿個_MT*.过-& A竹越临 6 詢柚为、SC\ SD 竹别处』fi、「3 ttJitlAl AEf ti I1. _________ .m* 的奸呛Xi CL n ittA + *4<x =•. wucusz^c (fttfiJil. —W分1讦番人一、单序逢挥魁f卒刘■共野T小独,却小MS 5^,共盹分)If* 电敷K、y、s , jr+y+r + w^l ¥1. ShASC中*谟内箱片、亀、C■的肘血怅甘剤冲<J、h、r ■*'J M= xw + 2yw+ 3jty + 3ZM +4XJ十,心的如K机址p:S + C^2A ・Li^ + c = 2o:曲ifiq: 2片(7 AtiE-一例瞻,址命理督的A.光藁睾料B、充井豪件样不总盛旻条件C, 0農靈件担平是矗并離啊IX眈牛屋充井糸件X不耀必舅条件2.若f为世总厚忖,MWi=^+i/. Mz^'1的值足2 2\2. XH trw地汀y. HJ(51 >.心u ff s'i ftrj.T.* < ft □ gmr a 的r 眼亍独若乂、R、「晟亍订IWtt*机滴足秦件;0) MH B\- 2016;3 H(A)+ fiiB} + n<C) - n(财|弭厂农cC|EWit丈值圧_______________A* —1 BK —i C\ i□、I3. -2tr+f t ^xe[-M)iib 记/CO 的挝小値为环啊曲的ftXIFi^A. -2D, I忡帀”强廉[WiT聲数的亍«T.则/(100,3J- I 「A、!1 B* 13 C. M 6 19弭设療列仇]洲Q 吗f—叭篦応何刁・"心时叮刃农示砂H、JR工豹葷冀轄甦・尻为冊」的(in喷*,则占抑石的牛但躍了址I ]冉.1 B* 2 C. 5 □, 6仏口5®鬥•尺足#4两和期丽浚的舍地捕点・P址它苗的T公从点,儿疋片户£ .gJW谀桶删和测曲晚的陽心罰之秋的M小伯16 \ 1 2016 ^r:tN^'fi■!■ VfF4Jll+r<tt:^ [ « (H 4 «l>w分钾料人三.«f f AKO A 4 *9 Ml 20 ^r RHO丨九说筲比載的旧”]的耐丹能刨对耳“ 5. = 2" f r 戶卸需业肌iC^ - 2(1 + logj ) (rt € ^').< 1> | )1*117;I<2)旺时卜汗jffli的jl :彗t![心节f J -俎-匕色…… * " ' ” M*Jn *、戦■・%热札.■R'1. K* 的晕KM.>p)«A中IT学K£•〔艸"I种碍,an 2 4( 11^ 42S6年全国拓中川初豪)第3災(共4页)1仏已知a 、b. c 为正实敌. 求abc 2 丁孝:+ [匕⑺ + b-c)(b + c-a)(c+a-b).15.已知抛物线於=2px 过定点Ql,2),在抛物线上任取不冋于点C 的一点M ・直找*C 了白线尸叶3交于点几 过点P 作■轴的半和线交抛物鏡于点〃・(!)求证,直线过定点: (2)求44BC面帜的最小值・16.已知a为实散• rfittXx>=|?-ax|-lnr.谕讨论函数人力的单调件.201b W金IHA中殴学IWHX川"〉6 4 ft (A 4 «)2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题参考答案及评分标准说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准 •选择题和填空题只设 5分和0分两档; 其它各题的评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中 构造f (n) 则 f(n Jf(n)112 14 .厂124 1 2(n 1)Jn 2 2(n 1)1 2n 2n 24n 12n 9 4n 2 12n 815分间档次• 于是{ f (n )}严格单增,则f (n )的最小值为f (1) \ 2 , 420分4一、选择题(本大题共 6个小题,每小题 5分, 4、 共30分) 1、A 2、D 3、 C C 5、A 6、B二、填空题 (本大题共 6个小题, 每小题 5分, 共 30分)7、180 1 8、 9、 4.3 10、 111、§ 12、201524 2三、解答题 (本大题共 4个小题, 每小题 20分 共 80分)2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评 阅时可参考本评分标准适当划分档次评分, 5分一个档次,不要再增加其它中间 档次.13、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 2n r ( r 为常数),*记 b n 2(1 log 2 a n ) (nN).(1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ; 求证:abca b c(a b11 1~27"2 ~ab c证 明:(1 )先证:abc(ab)2(bc)2 (ca)2abc(a b c),令 x ab, ybc,z ca , 由不等式 立.•- 5分即实数k 的最大值是14、已知a 、b 、c 为正实数, (a b c)(b c (2)再证:a b cc)(b c a)(c a b).a b c等价 于证明:1 1 1 , ~2 - aJ ~2 c2 x 2y2z xy yzzx 知结论成 a)(c ab)求实数k 的最大值. 解:(1)由条件易知a 1 2 r,a 2又由a ; a-i a 3得r1 .于是S n 2n 1 . 故 a n2n1, b n因此T n 1 212 22 L(n 22T n 1 2 32 2L (n 由①-②得:T n 21 22L2n所以,数列{a n b n } 的前n 项和为T n(2)因为k11bi 1 b 2 1 1 b n V n ~1bib 2Lb n(2)若对于任意的正整数 n ,都有1—L ―2blb 2 b nS 2 S 1 2, a 3S 3 S 2 4,....5 分 2(1 log 2 a n ) 2n , a n b n n2n .1) 2 n 1nn 2 ①1) 2n n 2n 1②1n 2n 1,故 T n (n 1) 2n 12(n 1) 2n 1 2(n N *).……10分k 、n 1成立,由于不等式是轮换对称的,① 当 ② 当 b c b c12(b故x, y, z 均大于 11 2 1 4 L 1 2n2 42n不妨设 a max {a, b, c },贝U a0时,结论显然成立; 0时,令a y12(ca), y0.不等式(*)变为:2(x y z ) 只需证:丄丄丄yz zx xy4 (y z)2 a b), z8xyz[— (y 4 (z x)2 2注意到:(y z )4yz ,则4 (y z)2丄yz1 b 2c1 ~2 c 0,c(*)x,c 1尹b c),10分z)21 (z x)24 (x y)2(x y)2]15分4141同理: J丄,——•所以,原不等式成立.……20分(z x) zx (x y) xy 15、已知抛物线y 2 2px 过定点C(1,2),在抛物线上任取不同于点 C 的一点A , 直线AC 与直线y x 3交于点P ,过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点 B . (1)求证:直线AB 过定点; 即(2m 3 a)(y 1 2) o .因此式对任意丫伴2都成立,所以 2m 3 a o ,即3 2m a , 因此直线x my a 过定点Q(3, 2).……1o 分(2)由(1 )可设直线 AB 的方程为x 3 m(y 2), 与抛物线方程联立得 y 2 4my 4(2m 3) o . 贝V y 1 y 2 4m , y 1y 2 4(2 m 3),(2)求厶ABC 面积的最小值. 解:(1 )由抛物线 物线方程为y 2 4x . 设点A 坐标为 与y x 3联立解得方程为y 2当,翌1 4 y o 2y o 22y 。

2016年全国初中数学联赛参考答案及评分标准(八年级) (1)

2016年全国初中数学联赛参考答案及评分标准(八年级) (1)

∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试(C)
一、(本题满分 20 分) 三只蚂蚁同时从点 A 出发,沿三角形道路 A B C A 爬行,已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒,10 厘米/秒,15 厘米/秒;第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒,15 厘米/秒,10 厘米/秒;第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒,20 厘米/秒,12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点,求 ABC 的 值。 解:记 AB c, BC a, CA b , 则
由 2 x 2 y a ,可知 a 必为偶数, 又 1
22 为整数,所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 ( )
2.定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a b 1) ,则 10*7 b(b 1)(b 2) 2 1
c 2a 2b a : b : c 3 : 5 : 4 ,……………………………………………………(15) c 3a b
∴ ABC 90 。………………………………………………………………………(20)
二、(本题满分 25 分)
如图,在 ABC 中, ABC 59 , ACB 30.5 ,延长 ABC 的内角平分线 BD 至 E , 使得 DE DA ,求 E 的值。 证明:在 BC 上取一点 G ,使得 AB BG 。………………………………(5)
20142 2015 2016 20162 2017 2018 2015! 2017!

2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则

2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则

2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 1 页 共 3 页2016年全国初中数学联赛初赛试卷(考试时间:2016年3月13日下午3:00—5:00)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 1、C . 2、C . 3、D . 4、C . 5、B . 6、A . 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分) 78、18.9、3.10三、(本大题满分20分)11、解:由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2,得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0, ············································· (5分) 配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0, ············································· (10分) 所以3a -c =0,2a -b =0,3b -2c =0,即c =3a ,b =2a . ······································································· (15分)代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611. ··········································· (20分)解法二:由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2,得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0, ············································· (5分)5[c 2-2(365a b +)c +(365a b +)2]+13a 2+10b 2-4ab -2(36)5a b +=0,5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0,所以5(c -365a b +)2+145(2a -b )2=0, ··············································· (10分) 由此得,c -365a b+=0,2a -b =0, 解得b =2a ,c =3a . ···································································· (15分)代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611. ··········································· (20分)四、(本大题满分25分)12、解:(1)由已知得,-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解, 所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3>0,可知m 是任意实数. ································································· (5分) 又因为点A 在x 轴的负半轴上,点B 在x 轴的正半轴上. 所以方程,-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负, 所以- (m +3)<0,解得m >-3.所以所求m 的取值范围是m >-3. ··············································· (10分) (2)解法一:设点A (a ,0),B (b ,0),a >0,b <0,2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 2 页 共 3 页则a =-3b ,且a +b =2(m +1),ab =-(m +3), 解得m =0.函数解析式为y =-x 2+2x +3. ······················································· (15分) 所以A (3,0),B (-1,0),C (0,3)。

2016全国初中数学联赛试题答案及解

2016全国初中数学联赛试题答案及解

2016年全国初中数学联合竞赛试题(初二年级) 第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1. 用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知321-=t ,a 是t 的小数部分,b 是-t 的小数部分,则=-ab 121 A.21 B.23 C.1D.32. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案共有 A.9种B.10种C.11种D.12种3. 如图,P 为∆ABC 内一点,︒=∠70BAC ,︒=∠120BPC ,BD 是ABP ∠的平分线,CE 是ACP ∠的平分线,BD 与CE 交于F ,则=∠BFC A .︒85B.︒90C .︒95D .︒1004. 记()22222211113121121111++++++++++=n n S n ,则=20162016S A .20172016B .20162017C .20182017D .201720185. 点D 、E 、F 分别在∆ABC 的三边BC 、AB 、AC 上,且AD 、BF 、CE 相交于一点M ,若5=+CF AC BE AB ,则=MD AMA. B.C. D.PABCE DF 2532726. 设a,b,c,d 都是正整数,且a 5=b 2,c 3=d 4,a -c =319,则=-d c a b 2A.15B.17C.18D.20二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1. 如图,已知四边形ABCD 的对角互补,且DAC BAC ∠=∠,AB=15,AD=12.过顶点C 作AB CE ⊥于点E ,则._______=AEc b ab c b a 20282112222++<+++,3. 若质数p ,q 满足:111043<+=--q p p q ,,则pq 的最大值 为____________.4. 将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中个数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为________.第二试一、(本题满分20分)如图,ABCD 为平行四边形,E 为BC 的中点,AE DF ⊥于F ,H 为DF 的中点,证明:DF CH ⊥.二、(本题满分25分)B E ACB设互不相等的非零实数a ,b ,c 满足ac c b b a 222+=+=+,求222222⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c c b b a 的值.三、(本题满分25分)已知a ,b 为正整数,求42322---=b ab a M 能取到的最小正整数值.答案与解第一试 一、选择题1.[][]21131324132432134332=---=⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=---=-=-=<<∴+=原式,t t b t t a t t 2.种方案,有本设三种书分别买11100010022010020151030,,≤≤⎩⎨⎧≥+=≥-=⇒⎩⎨⎧=++=++x x z x y z y x z y x z y x3. 略4.()()()()201720181212111111131211211111111111121112111121211111222222222=++=⇒++=+-+=+-+++-++-+=+-+=+++⨯+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-++=+++原式n n n S n nn n n n n S k k k k k k k k k k k k k k k k k n n 5.A B CD EFM()33525,111111==+⋅⇒=++⇒=+⎩⎨⎧⋅=⋅==+=+=+=+=+=+=+=+=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆t S S S t S SS S CF AC BE AB S t S S t S t MD AM S SS S CF AF CF CF AF CF AC S S S S BE AEBE BE AE BE AB BMCBMD DMC BMC AMB BMC AMC BMDAMB DMC AMC BMC AMB BFC AFB BMC AMC BEC AEC 设6.()()173201129319319,,,34452242345212431025=-=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⨯==-+⇒=-====⇒⎪⎩⎪⎨⎧====n m n n m m n m n m n m n m m d m c m b m a nd c m b a 原式设二、填空题 1.略 2.()()2108401108472021120282222222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒<--+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<+---++原式c b a c b b a c b ab c b a 3.()10075319,6523432,3,5,7,11,13,17,19,23291114443=====-==<⇒<-⇒-=原式时,舍;时,取最大值,当原式p q p q q q q q q q q p4.()1033215=++⨯=M第二试一、略(提示:倍长AE 至G ,连GC ) 二、()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()6328:46:65:5462524228:32132221222222222633222===⇒=⇒-=⇒---=---⎪⎩⎪⎨⎧-=---=---=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===+=⨯⨯⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=--=-⇒+=+⇒+=+k k k abc k b c a b c a abc a c c b b a k b c a b a k a b c a c k c a b c b k ca ka ac kc ab kb kba abcb a ac ab a c c b ac c b b a bc c b c b abc b c b c abc cbc b ab 原式设同理,三、()()()214mod 334,3441233124mod 152145452235252312222222=≠∴≡++=-+=-+=≡+∴+=+=+=-++=-=M M k k q n ab a n a b p m b m b b a ab a b b ab a M 矛盾设,设为偶数为奇数,故为奇数为奇数,得由,则若。

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