田一晴(异面直线的证明)
证明异面直线的方法
证明异面直线的方法
嘿，大家知道怎么证明异面直线吗？这可是很重要的知识点呢！
首先来说说证明异面直线的步骤和注意事项哈。
通常可以采用反证法或者直接证明的方法。
反证法呢，就是先假设两条直线不是异面直线，然后推出矛盾，从而证明它们确实是异面直线。
直接证明的话，就可以通过找到一个平面，使得其中一条直线在这个平面内，而另一条直线不在，那就可以说明它们异面啦。
这里要注意的是，一定要仔细分析条件，找到关键的点和线来进行证明哦，可不能马虎呀！
然后呢，说说这个过程中的安全性和稳定性。
哎呀，就像走钢丝一样，得小心翼翼的，但只要方法对了，那就是稳稳当当的啦！只要按照正确的步骤和注意事项来操作，就不用担心会出错啦。
再来讲讲应用场景和优势。
在空间几何中，经常会遇到判断直线位置关系的问题呀，这时候证明异面直线的方法就派上大用场啦！它的优势就在于能够准确地确定直线的位置关系，为后续的解题提供坚实的基础呀，是不是很厉害呢？
举个实际案例吧，比如在一个正方体中，要判断某些棱之间是不是异面直线，这时候用我们说的方法就能轻松搞定啦！通过观察和分析，找到合适的平面，就能准确地判断出来啦。
实际应用效果那可是杠杠的呀！
所以呀，证明异面直线的方法真的很重要很实用呢！大家可得好好掌握呀！。
异面直线的概念
异面直线的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊异面直线这个有趣的概念呀！
你看哈，异面直线就像是在一个大集体中，有着完全不同“性格”和“生活轨迹”的两个人。
它们不在同一个平面内，各自有着自己独特的走向。
比如说，咱家里的天花板和地板，它们就是异面的呀！永远不会有交集，各走各的路。
这多像我们生活中的一些人呀，虽然同在一个世界，但彼此的道路却相差甚远。
再想想，异面直线有时候就像是两个固执的家伙，谁也不愿意妥协，就那么倔强地保持着自己的方向。
这不就和我们身边那些有个性的朋友一样嘛！
它们之间的距离也是很奇妙的哦！有时候看起来很近，可就是够不着。
这和我们追求梦想的过程是不是有点像呢？感觉梦想就在眼前，可就是还差那么一点点努力才能触及。
还有啊，异面直线的存在让空间变得更加丰富多彩了呢！要是所有的线都在一个平面里，那多无聊呀！就像我们的生活，如果只有一种模式，那还有啥意思呢？正是因为有了异面直线这样的独特存在，才让几何的世界变得如此神奇和充满魅力。
你说，要是没有异面直线，那几何的世界该少了多少乐趣呀！我们的思维也会被局限在一个小小的平面里呢！所以呀，异面直线虽然有些让人捉摸不透，但真的是非常重要的呢！
它们就像是生活中的那些意外和惊喜，打破了常规，给我们带来新的思考和启发。
我们不能总是习惯于在一个平面里看问题，要学会像异面直线一样，从不同的角度去探索和发现。
总之呢，异面直线可真是个神奇的存在呀！它们让几何变得不再单调，让我们的思维更加开阔。
大家以后看到异面直线的时候，可别忘了好好感受一下它们的独特魅力哟！。
高一数学必修2异面直线
高一数学必修2异面直线异面直线是指两条直线在空间中既不相交又不平行的情况。
在高中数学必修2中，学生将学习如何判断两条直线是否异面以及如何求解异面直线的性质。
首先，我们可以通过两条直线的方向向量来判断它们是否平行。
如果两条直线的方向向量不平行，则它们一定不平行。
然而，两条直线的方向向量平行并不意味着它们一定平行，因为两条直线可以在空间中任意平移。
为了判断两条直线是否相交，我们可以使用方程组的方法。
假设已知两条直线的参数方程分别为：直线1：x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1t直线2：x = x2 + a2t, y = y2 + b2t, z = z2 + c2t其中(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是直线1和直线2上的一点，而(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)则是直线1和直线2的方向向量。
我们可以通过解方程组来判断两条直线是否相交。
如果方程组有解，则两条直线相交；如果方程组无解，则两条直线不相交。
如果两条直线相交，则我们可以进一步求解它们的交点。
将直线1和直线2的参数方程对应的x、y、z分量相等，可以得到一个关于t的方程组。
通过解这个方程组，我们可以求得两条直线的交点坐标。
在求解异面直线的性质时，我们通常会考虑两条直线的夹角。
两条异面直线的夹角是指它们的方向向量之间的夹角。
可以使用向量的内积公式来计算夹角，即cosθ = (a1a2 + b1b2 + c1c2) /(|a1b1c1||a2b2c2|)，其中θ表示夹角。
另外，异面直线还有一个重要的性质是它们的距离。
两条异面直线的距离是指两条直线上任意一点的距离的最小值。
要计算两条异面直线的距离，我们可以选择其中一条直线上的一点，然后计算该点到另一条直线的距离。
综上所述，高一数学必修2中的异面直线是一个重要的概念。
通过学习如何判断两条直线是否异面以及如何求解异面直线的性质，学生将能够更好地理解空间中的直线和它们之间的关系，为后续学习提供基础。
异面直线的定义及判断方法
异面直线的定义及判断方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊异面直线呀！啥是异面直线呢？简单说，就是不在同一平面内的两条直线。
这就好像两个人，一个在地球这头，一个在地球那头，根本碰不着面儿，嘿嘿。
你想想啊，在咱们生活的这个三维世界里，直线那可是到处都是。
可有些直线呢，它们就是那么特别，怎么都不可能处在同一个平面里。
就好比是两条倔强的小蛇，扭来扭去就是不想在一个平面上待着。
那怎么判断两条直线是不是异面直线呢？这可得有点小窍门哦。
你可以先看看这两条直线是不是平行，如果平行那肯定不是异面啦。
那要是不平行呢？再看看它们是不是相交，相交也不是异面呀。
如果既不平行又不相交，那恭喜你，找到异面直线啦！这就好像找不同一样，把不符合条件的都排除掉，剩下的就是我们要找的啦。
比如说，你看那房子的一根柱子和房顶上的一根横梁，它们不就是异面直线嘛！一个竖着，一个横着，怎么都不可能在一个平面上。
再比如，你拿两支笔，一支平放在桌子上，另一支竖着立在旁边，它们也是异面直线呀。
有时候异面直线还挺调皮的呢！它们就喜欢在空间里“捉迷藏”，让你去找它们。
但只要我们掌握了方法，就能轻松把它们揪出来。
异面直线虽然看起来有点复杂，但其实也没那么难理解啦。
只要我们多观察观察周围的事物，就能发现好多异面直线的例子。
这多有意思呀！
你说，数学世界是不是很奇妙？就这么个异面直线，都能让我们研究半天，还能发现这么多有趣的地方。
所以呀，别害怕数学，要带着好奇的心去探索它，你会发现很多惊喜的！总之，异面直线就是这么个独特的存在，我们得好好认识它，利用它，让它为我们的数学学习增添乐趣和挑战！。
空间异面直线的判定
异面直线的判定用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.两直线平行的判定(1) 垂直于同一个平面的两直线平行②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a ∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.两直线垂直的判定③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b ⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.直线与平面平行的判定②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l ∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.直线与平面垂直的判定②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.两平面平行的判定②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.两平面垂直的判定②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.0°＜θ≤90°.直线和平面所成的角作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ0°≤θ≤90°二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD ⊥β.。
异面直线判定
异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.(这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）>（三）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,⊥⊥，那么这个平面内，过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.。
异面直线的证明
共面
相交 平行
异面
唯一公共点 记为：a∩b=A. 无公共点 记为：a∩b=φ.
螺母
e
a
f
b c
d
1、平行于同一条直线的两条Biblioteka 线 互相平行。CB A
C1
B1 A1
2、如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行并且方向相同，则 这两个角相等。
A
B
C
D
E
F
1.异面直线的概念： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 注：概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” .
二、知识迁移：
5、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求下列每组边所成的角。
（1）AA1 与 DC （2）A1B 与 C1C （3）AD1 与 A1B
D1
C1
A1
B1
（4）A1B 和 C1D
（5）AB1 和 BC1
D
（6）与棱 B1B 垂直的棱有________条。
C
A
B
6、P、Q、R、S 分别是空间四边形 ABCD 四边的中点，则 （1）四边形 PQRS 是______________； （2）若 AC⊥BD，则四边形 PQRS 是____________； （3）若 AC=BD，则四边形 PQRS 是___________； （4）若 AC⊥BD 且 AC=BD，则四边形 PQRS 是____________；
(5)若 AC=3，BD=4，AC 与 BD 成 600 角，求四边形 PQRS 的面积。
A
S P
D B
Q
R
111
C
异面直线 的证明
例1：已知： a ，A，B ，B a 。 求证：直线AB和a是异面直线。
异面直线的证明
O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾． 所以直线MN与PQ异面．
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面
点B
B 直线l
直线AB与l异面.
b
b
b
a
a
a
请为异面直线选择合适的定义：
A、空间中不相交的两条直线；
B、某平面内的一条直线和这平面 外的直线； C、分别在不同平面内的两条直线； D、不在同一平面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线；
在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
D1
C1
二、知识迁移：
5、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求下列每组边所成的角。 （1）AA1 与 DC D1 C1 （2）A1B 与 C1C B1 A1 （3）AD1 与 A1B （4）A1B 和 C1D （5）AB1 和 BC1 D C （6）与棱 B1B 垂直的棱有________条。 B A
111
(5)若 AC=3，BD=4，AC 与 BD 成 600 角，求四边形 PQRS 的面积。
S D
异面直线 的证明
例1：已知： a ，A ，B ，B a
。
求证：直线AB和a是异面直线。
111
【练习】已知：如图，空间四边形ABCD 中，AC和 BD是对角线。 求证：AC和BD是异面直线
l
l
例3.如图的正方体中， 判定直线A1B与AC的位置关系,并加以证明． 答：直线A1B与AC为异面直线．
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又 Q、 N∈ b，∴ b α 又 O∈ b，∴ O∈α
又 P∈ α ，∴ c α 同理 a α ，∴ a、 b、 c 共面 . 这与已知 a、 b、 c 不共面矛盾 . ∴假设错误，故 MN 、 PQ 是异面直线 . Ⅲ.课堂练习 已知：平面 α ∩ β =l ， A∈ l、 D ∈ l、AC α ， BD β . 求证： AC 和 BD 是异面直线 . 证明：假设 AC 与 BD 共面于 γ
清思路，再去推理，千万不能漫无目标，信手做来
.反证法证题三步曲，推出矛盾是反证法
证题的关键所在 .
［例 3］如图，不共面的三条直线 N、 Q 不是同一点，点 P∈ c.
a、 b、c 相交于点 O，点 M ∈a，点 N∈ b，点 Q∈ b，
2/5
求证： MN 与 PQ 异面 证明：假设 MN 与 PQ 共面于 α ， 则 M、 N、 P、Q∈ α，
相交直线所成的角， 然后在含这个角的某一三角形中， 运用解三角形的知识， 求得角的大小 .
2.角所在的三角形，线段所在的三角形，都要能较好的联系已知，这两类问题解决的方 法都是将空间问题化成了平面问题 .
3.对这两类问题的解法，同学们都要切实增强化归意识，理清化归思路，具体问题具体
分析，设法使所求与已知产生联系，寻求到好的解题途径
海文教育（德阳天山南路）校区个性化辅导教案
教师 备课时间
学生 授课时间
辅导科目 学校年级
数学
课时数 第 课时
课题名称
教务审核
教学目标 ：
熟练掌握反证法的证题步骤，会用反证法证明简单的问题，掌握异面直线的证明方法；
通过对简单问题的证明， 使学生掌握证题规律、方法和步骤， 并从中学会认识事物、分析问
题、转化矛盾 .
.这节课我们来讨论异面直线的证
明.
Ⅱ.新课讨论
［师］ 关于异面直线的证明，常用反证法，请同学们回忆一下，反证法是怎样的一种推 理方法？
［生］反证法是通过否定命题结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的一种推理方法
.
［师］反证法证题的步骤是怎样的？
［生］ 首先假设结论的反面成立， 其次在假设的基础上， 按照正确的推理， 推出矛盾 (与
∴ P∈ α ∩ β＝ a，∴ a∩c＝ P，这与 a∥ c 矛盾 .
由上可知， b、 c 既不平行又不相交
∴ b、c 是异面直线 .
由上面两题的证明可以看出，在假设的基础上，按照正确的推理，
都要推出矛盾， 这是
反证法证题必然出现的结果 .之所以出现矛盾，原因都是假设错误，因而才有否定假设，才
能肯定结论之说 .至于究竟与什么矛盾，这要在假设的基础上，即把假设作为一个条件，理
∵ A∈ a， a∥ c，∴ A∈c，且 c α ，A∈ α
而经过直线 c 与其外一点 A 的平面有且只有一个 .
∴ α 与γ 重合 .
∵ a α， α 与 γ重合，∴ a γ 内的两条相交直线 .
由已知， a、 b 是 β 内的两条相交直线 .
而经过两条相交直线 a、b 的平面有且只有一个
已知矛盾、与真命题矛盾、与定理公理矛盾、自相矛盾等
)，第三否定假设肯定结论 .
［师］下面我们来看个例子 .
［ 例 1］ 求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面 直线 .
1/5
［师］为了证题过程表述的方便，先把文字语言写成符号语言
.
［生］已知： a α 、 A∈α 、 B∈α 、 B∈ a.
教学重点 ：
反证法、异面直线的证明
教学难点 ：
反证法、异面直线的证明 .
教学过程 ：
Ⅰ.课题导入
［师］ 上节课我们在研究异面直线所成的角与异面直线间距离的定义的基础上，
通过具
体问题，讨论了异面直线所成角与异面直线的距离的计算
.清楚了求角、求距离的关键是—
—
1.求异面直线所成角的关键是找到一个恰当的点，通过平移，把异面直线所成的角化为
心所在，至于与什么矛盾，要认真做好分析，不能盲目乱推，造成到处碰壁的局面 些命题宜用反证法来证 .这里又补充进了一个内容：异面直线的证明一般用反证法来证 Ⅴ.课后作业
.关于哪 .
(一 )补充 1.a、b 是异面直线，且分别在平面 交. 证明：假设 a、b 都与 l 不相交 .
α 、 β 内， α ∩β ＝ l.求证： a、 b 至少有一条与 l 相
∵ A、 D、 C 既在 γ 内又在 α 内，且 A、 D、 C 三点不共线 ∴ α 与γ 重合 . ∵ A、 B、D 既在 γ 内又在 β 内，且 A、 B、D 三点不共线 .
∴ β 与γ 重合 . 综上 α与 β 重合，这与 α∩ β ＝ l 矛盾 . ∴假设错误，故 AC 和 BD 是异面直线 . Ⅳ.课时小结 本节课我们讨论了异面直线的证明， 应用的方法是反证法， 请同学们注意， 反证法证题 的三步曲是：第一步，假设结论的反面成立；第二步，在假设的基础上，按照正确的推理， 推出矛盾；第三步，否定假设，肯定结论 .三步曲中，关键是第二步，它是反证法证题的核
2.如图， a、 b 是异面直线， A、 B∈ a， C、 D∈ b， E、 F 分别 是线段 AC 和 BD 的中点，判断 EF 与 a、 EF 与 b 的位置关系，
求证：直线 AB 和 a 是异面直线 .
证明：假设直线 AB 和 a 共面于 β .
即 AB β ， a β
于是 A∈ β ，B∈ β
∵a α，B∈α，B∈a
∴过 a 和 B 有且仅有一个平面 于是 α与 β 是同一平面，即 α ＝ β
由假设知 A∈β ，∴ A∈ α 这与已知 A∈ α 矛盾
∴假设错误，故直线 AB 与 a 是异面直线 . ［例 2］ 已知 α ∩ β＝ a， b β ， a∩ b＝A， c α ，c∥ a，求证 b、 c 是异面直线 . 证法一：假设 b、 c 共面于 γ ，则 b γ ， c γ ∵ A∈ b， b γ，∴ A∈γ ，即 c γ ， A∈ γ
∴ β 与γ 重合，又 α 与 γ重合
∴ α 与β 重合，这与 α ∩β ＝ a 矛盾 .
∴假设错误，故 b、 c 是异面直线 .
证法二：假设 b、 c 共面，则 b∥ c 或 b、 c 相交
若 b∥c，又 a∥ c，
∴ a∥ b，这与 a∩ b＝ A 矛盾 .
若 b∩c＝ P，又 c α ， b β，