八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理(2)教案 (新版)新人教版
人教版八年级数学下册17.1.1《勾股定理》教学设计
（四）课堂练习
1.设计具有层次性和挑战性的练习题，让学生在课堂上巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.直接应用勾股定理求解直角三角形边长的问题。
b.结合生活实际，运用勾股定理解决实际问题。
c.勾股定理的逆向应用，判断三角形是否为直角三角形。
5.能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法引导学生学习：
1.利用历史背景和数学故事激发学生的学习兴趣，如介绍毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的。
2.采用探究式学习，鼓励学生通过小组合作、讨论和自主尝试来发现勾股定理。
3.运用多媒体和实物模型，进行直观教学，让学生在观察、操作中理解并记忆勾股定理。
4.设计具有层次性的练习题，由浅入深地引导学生掌握勾股定理的应用，提高解决问题的能力。
5.引导学生通过比较、分析、归纳等方法，掌握勾股定理及其逆定理之间的关系。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发他们学习数学的热情。
2.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中互相学习、共同进步。
（6）设计一道综合性的应用题，要求学生结合勾股定理和之前学过的几何知识进行解答，培养学生的综合分析能力。
4.创新思维：
（7）鼓励学生自编一道关于勾股定理的题目，并与同学进行交流、讨论，激发学生的创新意识。
（8）引导学生思考勾股定理在古代建筑、艺术等方面的应用，撰写一篇短文，分享自己的发现和感悟。
5.合作学习：
2.生活实际应用：
（3）请学生观察生活中存在的直角三角形，测量相关数据，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、篮球架的倾斜角度等。
17.1 勾股定理 第2课时 教学设计
人教版初中数学八年级下册 第十七章《勾股定理》17.1 勾股定理 第2课时 教学设计教学目标：1.知识与技能：(1) 利用勾股定理解决实际问题.(2) 从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想.2.过程与方法：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.3.情感态度与价值观：(1) 通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．(2) 通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.教学重点：勾股定理的应用．教学难点：勾股定理在实际生活中的应用．教学流程：第一环节：复习旧知，情景引入（1）复习勾股定理的内容、变型公式及作用.（2）练习1）求出下列直角三角形中未知的边．6 10 A C B 8 A 15 C B回答： ①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？2）在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 长．解：在Rt △ ABC 中，∠B=90°,由勾股定理可知：AC=5212222=+=+BC AB第二环节：探索新知1．探究活动1：小明家装修时需要一块薄木板，已知小明家的门框尺寸是宽1 m ，高2 m ，如图所示，那么长3 m ，宽2.2 m 的薄木板能否2 45° 30°2 A C B D顺利通过门框呢？分析：木板的长边和短边都超过了门框的高，薄木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试能否斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC的长，再与木版的宽进行比较，就能知道木版能否通过.解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC=22=5≈2.23612∵AC≈2.236>2.2∴木板能从门框内通过小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长.∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理)探究活动2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m 吗？AB C解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°∴222ABBCAC=+ 2.42+ BC2＝2.52∴BC＝0.7m由题意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°∴DC2+ CE2＝DE222+ BC2＝2.52∴CE＝1.5m∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m活动探究3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解: 设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2 =(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米，芦苇高为13米。
《17.1勾股定理》教学设计(第2课时)
《17．1 勾股定理》教学设计（第2课时）一、内容和内容解析1.内容勾股定理的简单应用.2.内容解析勾股定理在教学中有专门重要的地位，定理本身也有重要的实际应用.依照勾股定理，已知两直角边的长，就能够求出斜边的长.即，依照算术平方根的意义，得到，如此就得出了斜边的长.由勾股定理还能够得到，，，类似地，我们得到.由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就能够求出另一条直角边的长.也确实是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就能够求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定明白得决问题，并运用定理证明了斜边和两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用勾股定明白得决简单的实际应用问题.二、目标和目标解析1.教学目标(1)在探究并证明勾股定理的基础上，联系实际，归纳抽象，应用勾股定明白得决实际问题;(2)通过观看、分析、讨论、归纳的过程，提高学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力;(3) 在解决问题过程中更好地明白得勾股定理，培养学生学好数学的信心.2.目标解析(1)学生能通过独立摸索，将实际问题抽象成数学问题;(2)学生能遵循解决数学问题的一样方法，并在解题过程中自觉地运用数形结合的思想和分类讨论的思想.(3)学生能体会勾股定理的应用价值，通过自主探究与合作交流，激发数学学习的爱好，树立学好数学的信心.三、教学问题诊断分析本节内容要紧是在前面探究和证明勾股定理的基础上，对勾股定理进行简单的应用.由于目前所把握的知识工具专门有限，因此只能解决一些较简单的实际应用题.在应用勾股定明白得题前，能够带领学生回忆三角形的相关知识，包括面积公式，专门三角形的性质等;专门是直角三角形中，两锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半等重要结论，差不多上结合勾股定明白得决应用问题的重要依据.教学时，应引导学生注意构造勾股定理的使用条件，在应用定理时关注数学结合和分类讨论的思想.本节课的教学难点为：将实际问题转化为数学问题.四、教学过程设计1.复习提问回忆定理问题1勾股定理的内容是什么?有何用途?师生活动学生回答。
17.1勾股定理(2)教学设计
勾股定理(二)教学设计第2课时如上图，如果知道桥面以上的索塔AB的高，如何才能计算出各条拉索AC、AD、AE的长这个环节主要是从由简单的实际问题（平面上）激发学生的探求欲望，通过探求过程，学会分析问题中隐藏的几何模型（直角三角形），体会勾股定理在生活中无处不在。
激发和点燃学生学习的兴趣。
为后续学习起到了引领作用。
二、自主探究探究1：一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽的薄木板能否从门框内通过为什么首先让学生独立思考解决问题的思路与方法，然后让学生展示自己的方法。
然后老师总结并给出完整的解题步骤。
设计意图：进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力．分析：可以看到，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．三、合作交流探究2：如下图，一个长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B也外移 m吗首先让学生独立思考，然后小组合作交流。
最后各小组展示方法，老师点评总结，给出完整的解题步骤。
设计意图：进一步熟悉如何将实际问题转化成数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力．四、方法总结让学生回顾两道例题的解题思路与方法，然后总结出利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:(1)将实际问题转化为数学问题,建立数学模型.(2)运用勾股定理解决数学问题.设计意图：培养学生的概括归纳能力，进一步体会转化的数学思想和建模的数学思想。
五、基础练习如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点．测得CB ＝60m，AC＝20m，你能求出A、B两点间的距离吗让学生独立的完成在自己的学案上，由一位同学到黑板上完成此题。
设计意图：巩固总结的方法，进一步提高学生应用勾股定理解决问题的能力．提高学生学习。
17.1 勾股定理(第2课时 勾股定理的应用)学案 2022—2023学年人教版数学八年级下册
17.1 勾股定理（第2课时勾股定理的应用）学案学习目标•理解勾股定理的应用场景•掌握勾股定理的应用方法•运用勾股定理解决实际问题基础知识回顾在前一节的学习中，我们学习了勾股定理的基本概念和证明过程。
回顾一下，勾股定理可以表达为：a2+b2=c2其中，a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的一个重要定理，广泛应用于各个领域。
下面我们将探讨一些常见的应用场景。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理最基本的应用就是测量直角三角形的边长。
当我们已知直角三角形的两条直角边，想要求解斜边的长度时，可以直接利用勾股定理计算。
2. 解决实际问题勾股定理在解决实际问题时也起到重要的作用。
例如，在土木工程中，我们常常需要测量建筑物的高度或者水平距离。
通过勾股定理，我们可以利用已知的线段长度和角度来计算未知的线段长度，从而帮助我们解决实际问题。
勾股定理的应用方法1. 已知两条直角边，求解斜边假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以利用勾股定理进行求解。
具体步骤如下：1.将已知的直角边代入勾股定理得到等式a2+b2=c2。
2.将已知的直角边的值代入等式，解得斜边的长度c。
2. 已知直角边和斜边，求解另一条直角边当我们已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，想要求解另一条直角边时，可以利用勾股定理进行求解。
具体步骤如下：1.将已知的直角边和斜边代入勾股定理得到等式a2+b2=c2。
2.将已知的直角边和斜边的值代入等式，解得另一条直角边的长度。
3. 解决实际问题在实际问题中应用勾股定理时，我们需要根据问题的具体情况，确定需要求解的未知量是哪一个。
通过观察题目中给出的已知条件和需求，我们可以根据勾股定理的应用方法进行求解。
案例分析案例一：求斜边长度已知直角三角形的一条直角边长为3cm，另一条直角边长为4cm，求斜边的长度。
解答步骤如下：1.将已知直角边代入勾股定理得到等式：32+42=c2。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
2023-2024学年七年级八年级数学下册第17章勾股定理17.1勾股定理第2课时上课课件新版新人教
米.如果保持梯子底端位置不动，
将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面 2米，则小巷的宽度为
2.5
（ C ）.
2.4
2
A. 0.7米
B. 1.5米
C. 2.2米
D. 2.4米
0.7 1.5
2.已知一个三角形工件尺寸如图，计算高 l 的长（结果
取整数）. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
B
64mm D
88mm lA
分析：可以看出，木板横着或者竖 着都不能从门框内通过，只能尝试 斜着能不能通过.门框对角线 AC 的 长度是斜着能通过的最大长度.求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道 木板能否通过.
D
C
2m
A
B
1m
因为AC ＞1.5m，所以木板可以 从门框中通过. 聪明的你，
想到了吗？
DC
2m AB
1m
因为AC ＞1.5m，所以木板可以从 门框中通过.
O
BD
A C
O
BD
A C
O
BD
所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 1.从实际问题中抽象出几何图形； 2.确定所求线段所在的直角三角形； 3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立 等量关系； 4.求得结果.
勾股定理应用的常见类型 1.已知直角三角形的任意两边求第三边； 2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题； 4.求解几何体表面上的最短路程问题； 5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决 生产、生活中的实际问题.
新知探究 跟踪训练
17.1勾股定理(第2课时)教学设计 2022—2023学年人教版数学八年级下册
17.1勾股定理（第2课时）教学设计一、教学目标1.理解勾股定理的定义和含义；2.掌握应用勾股定理解决直角三角形的边长问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学准备1.教师准备：黑板、白板笔、投影仪；2.学生准备：教科书、练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和引入相关问题，调动学生的思维，激发学生的学习兴趣。
例如：教师：大家知道什么是勾股定理吗？在什么情况下可以使用勾股定理来求解问题呢？学生：勾股定理是直角三角形中比较重要的一条定理，可以求解直角三角形的边长问题。
教师：非常好！那我们今天就来学习一下关于勾股定理的内容。
2. 概念讲解（10分钟）教师通过投影仪展示相关的图像和公式，结合具体例子，向学生讲解勾股定理的定义和含义。
教师：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腰边的平方之和。
表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
教师在黑板上写出勾股定理的表达式，并提出问题。
教师：如果一个直角三角形的一条直角边的长度为6，另一条直角边的长度为8，那么斜边的长度是多少？学生：斜边的长度应该是10。
教师：非常好！你是如何求解的呢？学生：根据勾股定理，6² + 8² = c²，解方程可得c = 10。
3. 计算练习（15分钟）教师提供一些计算练习，并让学生根据所学内容解答。
教师可以帮助学生解答疑惑，并对解答正确的学生进行表扬和奖励。
示例练习1：已知一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。
示例练习2：已知一个直角三角形的斜边长度为5，直角边长度为4，求另一条直角边的长度。
4. 综合应用（15分钟）教师提供一些综合应用题，帮助学生将勾股定理应用于实际问题的解决过程中。
教师引导学生分析问题、提炼关键信息，并通过分组讨论的形式进行解答。
示例题1：甲、乙两人站立在直线上，甲人离地面的高度为3米，乙人离地面的高度为4米。
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17.1 勾股定理
课题17.1 勾股定理（2）授课类型新授课课标依据
教学目标知识与
技能
能熟练运用勾股定理解决一些实际问题。
过程与
方法
通过对勾股定理的应用，树立学生对知识的应用意识。
情感态
度与价
值观
经历解决问题的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣。
教学重点难点教学
重点
将实际问题转化为直角三角形模型。
教学
难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题。
教学媒体选择分析表
知识点学习目标媒体
类型
教学作
用
使用
方式
所得结论
占用时
间
媒体来源
介绍知识目标PPT A G 拓展知识3分钟自制
讲解过程与方
法
PPT D G 建立表象10分钟自制
观看过程与方
法
PPT D B 帮助理解15分钟自制
①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；
G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。
②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；
H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J.其他
教学过程师生活动设计意图
设计一、复习旧知
1、什么是勾股定理？
2、求出下列直角三角形中未知的
边．求出下列直角三角形中未知的边。
二、讲授新课
问题1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通
过？为什么？
生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
AC2=AB2+BC2=12+22=52．
因此AC≈5≈2.236．
因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过。
变式训练1
一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要
做多长？
变式训练2 复习旧知识，为学习新知识做好准备。
进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力。
进一步熟悉如何将实际问题转化成数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力。
培养学生的概括归纳能力，进一步体会转化的数学思想和建模的数学思想。
及时的巩固练习，进一步提高学生应用勾股定理解决问题的能力。
提高学生学习数学的兴趣。
做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入,为什么？试用今天学过的知识说明。
问题2：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离。
可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．
师：OB，OD如何求呢？
生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．
OB≈1.658m（精确到0.001m）
在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，
所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．
归纳：让学生回顾两道例题的解题思路与方法，然后总结出利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
(1)将实际问题转化为数学问题,建立数学模型。
(2)运用勾股定理解决数学问题。
三、巩固练习：
1、台风袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。
这棵树原来有多高？
2、有一个圆柱,它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁，它想从点A爬到点B ，蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)
3、在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
4、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
五、课堂小结：今天大家有什么收获？
六、课后作业：习题17.1 2、4、5
3
2
20
B
A。