矩形菱形练习题
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
矩形菱形基本过关题
1.在下列性质中，平行四边形具有的是__________，矩形具有的是_________，菱形具有的是__________. (1)四边都相等；(2)对角线互相平分；(3)对角线相等；(4)对角线互相垂直；(5)四个角都是直角；(6)每条对角线平分一组对角；(7)对边相等且平行；(8)有两条对称轴。
2.下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行 3.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=_ _4.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______5.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________6.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____7.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___8.已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 9.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相垂直 10.已知菱形的周长为40 cm ，两对角线长的比是3∶4，则两对角线长分别是（ ）A ．6 cm,8 cmB ．3 cm,4 cmC ．12 cm,16cmD ．24 cm, 32 cm11.菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是 （ ）A ．6 cmB ．1．5 cmC ．3 cmD ．0．75 cm12.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是 （ ）A ．168 cm2B ．336 cm2C ．672 cm2D ．84 cm213.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线互相平分D ．一组对角相等且一条对角线平分这组对角14.菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（ ）A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．23 cm15.若菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的面积是_____________。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
（完整版）矩形与菱形性质及判定练习题含答案
（完整版）矩形与菱形性质及判定练习题含答案oDABCE矩形与菱形性质及其判定⼀、精⼼选⼀选（每⼩题3分，共30分）1．已知⼀矩形的周长是24cm ，相邻两边之⽐是1:2，那么这个矩形的⾯积是…………（） A ．24cm 2B ．32cm 2C ．48cm 2D ．128cm 22．矩形具有⽽⼀般的平⾏四边形不具有的特征是…………………………………（）A ．对⾓线相等B ．对边相等C ．对⾓相等D ．对⾓线互相平分3．下列图形既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形的是……………………………………（） A ．矩形B ．直⾓三⾓形C ．等腰三⾓形D ．平⾏四边形4．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是………………………………………（） A ．□ ABCD 中，AB =BCB ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD5．若直⾓三⾓形中两直⾓边的长分别为12和5，则斜边上的中线是……………………（） A ．13B ．6C ．6.5D ．6.5或66．菱形和矩形都具有的性质是 ……………………………………………………………（） A ．对⾓线相等B ．对⾓线互相平分C ．对⾓线平分⼀组对⾓D ．对⾓线互相垂直7．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于…………（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°8．已知菱形的边长和⼀条对⾓线的长均为2cm ，则菱形的⾯积为………………………（）A ．23cmB ．24cmC ．23cmD ．223cm9．菱形相邻两⾓的⽐为1:2，那么菱形的对⾓线与边长的⽐为…………………………（） A ．1:2:3B ．1:2:1C ．1:3:2D ．1:3:110．将矩形纸⽚ABCD 按如图所⽰的⽅式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（） A ．3B ．2C ．3D ．32⼆、专⼼填⼀填（每⼩题3分，共30分）11．若矩形的⼀条⾓平分线分⼀边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为． 12．如图，四边形ABCD 是平⾏四边形，使它成为矩形的条件可以是．CB AD13．若矩形短边长4cm ，两对⾓线的夹⾓为60度，则对⾓线长是 cm．14．如图，在菱形ABCD 中,∠BAD =80度，AB 的垂直平分线交对⾓线AC 于点F ，E 为垂⾜，连接DF ，则∠CDF 的度数为．（第12题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图） 15．顺次连结对⾓线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是．16．如图，⼀斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长． 17．如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上⼀点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂⾜分别为点D 、E ，则DE = ．18．菱形OABC 在平⾯直⾓坐标系中的位置如图所⽰，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为．19．如图，⼀活动菱形⾐架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉⼦间的距离16cm AB BC ==，则1=∠度．（第18题图）（第19题图）（第20题图） 20．如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的⾯积是 cm 2．三、耐⼼做⼀做（本题有5⼩题，共40分）21．（本题6分）已知：如图所⽰，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ．xyO C B A1 ABCA DCB F E22．（本题8分）如图，ABCD是菱形，对⾓线AC与BD相交于O，306ACD BD∠==°，．（1）求证：△ABD是正三⾓形；（2）求AC的长（结果可保留根号）．23．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于⼀点O，AE平分∠BAD, 若∠EAO=15°,求∠BOE的度数．24．（本题8分）⼯⼈师傅做铝合⾦窗框分下⾯三个步骤进⾏：（1）先截出两对符合规格的铝合⾦窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是．（3）将直⾓尺靠紧窗框的⼀个⾓（如图③），调整窗框的边框，当直⾓尺的两条直⾓边与窗框⽆缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是．①ODBAoCD25．（本题10分）已知，⼀张矩形纸⽚ABCD 的边长分别为9cm 和3cm ，把顶点A 和C 叠合在⼀起，得折痕EF （如图）．（1）猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的猜想．（2）求折痕EF 的长．26、在如图所⽰的图形中，所有的四边形都是正⽅形，所有的三⾓形都是直⾓三⾓形，其中最⼤的正⽅形的边长为7cm ，则正⽅形A 、B 、C 、D 的⾯积和是多少？27、（2010肇庆）如图，ABCD 是正⽅形．G 是 BC 上的⼀点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△；（2）求证：DE EF FB =+．28. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．第21题图A BCDEFMADE F CGB⼀、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A A C C B C D D C⼆、填空题11、22cm或26m12、AC=BD或∠ABC=90度（或其他三个⾓也可以）13、814、60度 15、矩形 16、1：22 17、5 18、（2+1，1）19、120度20、2三、解答题21、略22、（1）略 2）AC=63 23、75度解：⽅法1：设AB=1，∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，∴∠OBC=30°，∴∠AOB=60°，∴△OAB为等边三⾓形，∴OA=1，AE= ，AC=2，∴，∵∠OAE=∠EAC，∴△AOE∽△AEC，∴∠AEO=∠ACE=30°，⼜∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，∴∠BEO=75°．⽅法2：：∵ABCD为矩形，∴∠BAD=90°∵ABCD相交于O点，∴AO=CO=BO=DO∵AE平分∠BAD交BC于E点∴∠BAE=∠EAD=45°∵∠EAC=15°∴∠BA0=60°∵AO=BO∴∠ABO=60°∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°∴∠AOB=60°∴△AOB为等边三⾓形即AB=OA=BO⼜∵∠ABC=90°∠EAB=45°∠ABC+∠EAB+∠BEA=180∴∠BEA=45°∴△ABE为等腰直⾓三⾓形∴BE=BA ∵BE=BA⽽BA=BO∴BE=BO即△OBE为等腰三⾓形∵∠ABC=90°∠ABO=60°∴∠OBE=30°∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．故∠BOE的度数75°．24、（2）平⾏四边形，两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形。
菱形矩形正方形练习题
菱形矩形正方形练习题菱形矩形正方形练习题矩形、菱形与正方形练习题1. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm ，四边形ABCD 面积是11cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（） F （A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm2. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n （B ）4n （C ）2n +1 （D ）2n +23. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为A.17B.17C.18D.19 4. 如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 B.3 C. 3 D.6 25. （2021浙江衢州，1,3新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡A F 、A G 分别架在墙体的点B 、点C 处，且A B =A C , 侧面四边形B D E C 为矩形，若测得∠F A G =100︒，则∠FBD =( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条7. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．18.. 如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，21则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定‧是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形9.. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面AA ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 10. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．611 如图, 四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD, 顺次连接四边形ABCD 各边中点, 得到四边形A 1B 1C 1D 1, 再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点, 得到四边形A 2B 2C 2D 2……, 如此进行下去, 得到四边形A n B n C n D n . 下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C5D 5的周长; ④四边形A n B n C n D n 的面积是A. ①②B.②③C.②③④D.①②③④ 12. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm 13. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∩A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF, 则四边形BCDE 的面积是（）A ．23B ．33C ．4D ．43 14. 下列关于矩形的说法中正确的是A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 15．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补二、填空题1. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。
中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（39题）一 、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 连接AC BD ， 若120∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点 且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（ ）A ．12 B ．1 C 3D 35．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值 只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（ ）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴 D ．直线AC 为线段BD 的对称轴8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点 连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点 连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．410．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上 动点F 在线段OD 上 点,E F 同时从点O 出发 分别向终点,B D 运动 且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是（ ）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点 连接BE BE BA = 连接CE 并延长 与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（ ）A ．2B 3C ．1D 2二 解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时 求证：四边形BECF 是矩形．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点 过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时 连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状 并说明理由．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点 且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹 不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状 并说明理由．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上 连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上 且AD BC = AE BF ==．CE DF(1)求证：AE BF∥=时求证：四边形DECF是菱形．(2)若DF FC23．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）(2)若直线MN分别交AD BC于E F两点求证：四边形AFCE是菱形AC BD交于点O分别以点,B C为圆心24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABCD的对角线,11,22AC BD 长为半径画弧 两弧交于点P 连接,BP CP ．(1)试判断四边形BPCO 的形状 并说明理由(2)请说明当ABCD 的对角线满足什么条件时 四边形BPCO 是正方形？25．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在ABC 中 D 是BC 的中点 E 是AD 的中点 过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：AF BD =(2)连接BF 若AB AC = 求证：四边形ADBF 是矩形．26．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M 在ABCD 的边AD 上 BM CM = 请从以下三个选项中①12∠=∠ ①AM DM = ①34∠∠= 选择一个合适的选项作为已知条件 使ABCD 为矩形．(1)你添加的条件是_________（填序号）(2)添加条件后 请证明ABCD 为矩形．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 为AB 边上任意一点（不与点A B 重合） 过点D 作DE BC ∥ DF AC ∥ 分别交AC BC 于点E F 连接EF ．(1)求证：四边形ECFD 是矩形(2)若24CF CE ==， 求点C 到EF 的距离．28．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ A C ∠=∠ BD 为对角线．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形．(2)已知AD AB > 请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF 顶点E F 分别在边BC AD 上（保留作图痕迹 不要求写作法）．三 填空题29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AD BC = AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______ 使四边形ABCD 成为菱形．30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AC BD 、为菱形的对角线60,10DBC BD ︒∠== 点F 为BC 中点，则EF 的长为_______________．31．（2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．32．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 40DAB ∠=︒ 连接AC 以点A 为圆心 AC 长为半径作弧 交直线AD 于点E 连接CE ，则AEC ∠的度数是________．33．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 60DAB ∠=︒ BE AB ⊥ DF CD ⊥ 垂足分别为B D 若6cm AB =，则EF =________cm ．34．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E 交BC 于点O 连接BE CE 过点C 作CF BE ∥ 交EO 的延长线于点F 连接BF ．若8AD = 5CE =，则四边形BFCE 的面积为______．.35．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 点E F G H 分别是AB BC CD AD 上的点 且BE BF CG AH === 若菱形的面积等于24 8BD =，则EF GH +=___________________．36．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一 最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 任意切成多块小图形 几何图形的总面积保持不变 等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一 如图，在矩形ABCD 中 5AB = 12AD = 对角线AC 与BD 交于点O 点E 为BC 边上的一个动点 EF AC ⊥ EG BD ⊥ 垂足分别为点F G ，则EF EG +=___________．37．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为___________．38．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 对角线AC 与BD 相交于点O E 为BC 上一点 7CE = F 为DE 的中点 若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．39．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 4AB = 6AD =．在边AD 上取一点E 使BE BC = 过点C 作CF BE ⊥ 垂足为点F ，则BF 的长为________．参考答案一 单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 连接AC BD ， 若120∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD ⊥∥，则1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒ 进而即可求解．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形①,BD AC AB CD ⊥∥①1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒①120∠=︒①2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质 熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中 对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点 且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒【答案】C 【分析】首先根据正方形的性质得到45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO = 然后结合EF AD ∥得到OE OF = 然后证明出()SAS AOF DOE △≌△ 最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】①四边形ABCD 是正方形①45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO =①EF AD ∥①45OEF OAD ∠=∠=︒ 45OFE ODA ∠=∠=︒①OEF OFE ∠=∠①OE OF =又①90AOF DOE ∠=∠=︒ AO DO =①()SAS AOF DOE △≌△①15ODE FAC ∠=∠=︒①30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒①180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质 全等三角形的性质和判定 等腰直角三角形三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【分析】根据正方形 平行四边形 矩形 菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 正方形的对角线相等且互相垂直平分 描述正确B 对角互补的四边形不一定是平行四边形 只是内接于圆 描述错误C 矩形的对角线不一定垂直 但相等 描述错误D 一组邻边相等的平行四边形才构成菱形 描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形 矩形 菱形 正方形的性质和判定 解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（ ）A ．12B ．1C 3D 3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明ABD △是等边三角形 由AC BD ⊥ 得到1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ 即可得到1122OB AB == 利用勾股定理求出AO 的长度 即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥ AB AD = AC BD ⊥ 12AO OC AC ==①60DAB ∠=︒ 且AB AD =①ABD △是等边三角形①AC BD ⊥ ①1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ ①1122OB AB == ①2222111322AO AB OB ⎛⎫-= ⎪⎭=-⎝ ①23AC AO ==故选：D ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质 勾股定理 等边三角形的判定和性质 30︒角所对直角边等于斜边的一半 关键是熟练掌握菱形的性质．5．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ：AB CD ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ：AD BC = ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A B ∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD =∴ABCD 为矩形故C 符合题意D ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A D ∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质 平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识 熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值 只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G 易得：,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥ 利用矩形的性质和三角形的面积公式 可得1212BCDES S S +=矩形 再根据1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形 得到12ABC S S S S -=- 即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G①矩形BCDE①,,BC BE BC CD BE CD ⊥⊥=①,FG BE FG CD ⊥⊥①四边形BFGC 为矩形①,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥①1211,22S BE AF S CD AG =⋅=⋅①()12111222BCDE BE AF AG BE B S C S S =+=⋅=+矩形又1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形①121122ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S =+---=矩形矩形 ①只需要知道ABC 的面积即可求出12S S S --的值故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质 求三角形的面积．解题的关键是得到1212BCDES S S +=矩形 7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（ ）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D ．直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A 【分析】由矩形ABCD 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 线段AB 的对称中心是线段AB 的中点 矩形ABCD 是轴对称图形 对称轴是过一组对边中点的直线 从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD 是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 故A 符合题意线段AB 的对称中心是线段AB 的中点 故B 不符合题意矩形ABCD 是轴对称图形 对称轴是过一组对边中点的直线故C D 不符合题意故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义 矩形的性质 熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点 连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 【答案】C【分析】先根据正方形的性质 三角形全等的判定证出ADM CDM ≅ 根据全等三角形的性质可得DAM DCM ∠=∠ 再根据等腰三角形的性质可得CMP DCM ∠=∠ 从而可得30DAM ∠=︒ 然后利用勾股定理 含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形ABCD 是边长为6的正方形6,90,45AD CD ADC ADM CDM ∴==∠=︒∠=∠=︒在ADM △和CDM 中 45DM DM ADM CDM AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS ADM CDM ∴≅DAM DCM ∴∠=∠PM PC =CMP DCM ∴∠=∠22APD CMP DCM DCM DAM ∴∠=∠+∠=∠=∠又18090APD DAM ADC ∠+∠=︒-∠=︒30DAM ∴∠=︒设PD x =，则22AP PD x == 6PM PC CD PD x ==-=-2236AD AP PD x ∴=-= 解得3x =663PM x ∴=-=- 243AP x ==(()43623631AM AP PM ∴=-=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 含30度角的直角三角形的性质 等腰三角形的性质等知识点 熟练掌握正方形的性质是解题关键．9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点 连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】B 【分析】先由菱形的性质得AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD ==⨯= 再由勾股定理求出5BC = 然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：①菱形ABCD①AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD === ①由勾股定理 得225BC OB OC =+=①E 为边BC 的中点 ①1155222OE BC ==⨯= 故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质 勾股定理 直角三角形的性质 熟练掌握菱形的性质 直角三角形的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形 2FH AB == 4GE BC == 由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：①将矩形ABCD 对折 使边AB 与DC BC 与AD 分别重合 展开后得到四边形EFGH①EF GH ⊥ EF 与GH 互相平分①四边形EFGH 是菱形①2FH AB == 4GE BC ==①菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=． 故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠 菱形的判定和性质等知识 熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上 动点F 在线段OD 上 点,E F 同时从点O 出发 分别向终点,B D 运动 且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是（ ）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意 分别证明四边形1212E E F F 是菱形 平行四边形 矩形 即可求解．【详解】①四边形ABCD 是矩形①AB CD ∥ 90BAD ABC ∠=∠=︒①60BDC ABD ∠=∠=︒ 906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒①OE OF = OB OD =①DF EB =①对称①21DF DF BF BF ==， 21,BE BE DE DE ==①1221E F E F =①对称①260F DC CDF ∠=∠=︒ 130EDA E DA ∠=∠=︒①160E DB ∠=︒同理160F BD ∠=︒①11DE BF ∥①1221E F E F ∥①四边形1212E E F F 是平行四边形如图所示当,,E F O 三点重合时 DO BO =①1212DE DF AE AE ===即1212E E E F =①四边形1212E E F F 是菱形如图所示 当,E F 分别为,OD OB 的中点时设4DB =，则21DF DF == 13DE DE ==在Rt △ABD 中 2,23AB AD ==连接AE AO①602ABO BO AB ∠=︒==，①ABO 是等边三角形①E 为OB 中点①AE OB ⊥ 1BE = ①22213AE - 根据对称性可得13AE AE =①2221112,9,3AD DE AE ===①22211AD AE DE =+①1DE A 是直角三角形 且190E ∠=︒①四边形1212E E F F 是矩形当,F E 分别与,D B 重合时 11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形①在整个过程中 四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定 平行四边形的性质与判定 矩形的性质与判定 勾股定理与勾股定理的逆定理 轴对称的性质 含30度角的直角三角形的性质 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点 连接BE BE BA = 连接CE 并延长 与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（ ）A ．2B 3C ．1D 2【答案】D 【分析】连接AF 根据正方形ABCD 得到AB BC BE == 90ABC ∠=︒ 根据角平分线的性质和等腰三角形的性质 求得45BFE ∠=︒ 再证明ABF EBF ≌ 求得90AFC ∠=︒ 最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半 即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF四边形ABCD 是正方形AB BE BC ∴== 90ABC ∠=︒ 222AC ==BEC BCE ∴∠=∠1802EBC BEC ∴∠=︒-∠290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒ BF 平分ABE ∠1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAF BEF ∴△≌△45BFE BFA ∴∠=∠=︒90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒O 为对角线AC 的中点122OF AC ∴= 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质 三角形内角和定理 正方形的性质 直角三角形特征 作出正确的辅助线 求得45BFE ∠=︒是解题的关键．二 解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF 分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠ 根据O 是BD 的中点 可得BO DO = 即可证明()AAS BOF DOE ≌△△（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF = 进而可得四边形EBFD 是平行四边形 根据对角线互相垂直的四边形是菱形 即可得证．【详解】（1）证明：如图所示①四边形ABCD 是矩形①AD BC ∥①12,34∠=∠∠=∠①O 是BD 的中点①BO DO =在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BOF DOE ≌△△（2）①BOF DOE ≌△△①ED BF =又①ED BF ∥①四边形EBFD 是平行四边形①EF BD ⊥①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质 全等三角形的性质与判定 菱形的判定 熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD = 然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理 （2）根据矩形的性质求得OCD 的面积 然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：①DE AC CE BD ∥,∥ ①四边形OCED 是平行四边形又①矩形ABCD 中 OC OD =①平行四边形OCED 是菱形（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=①OCD 的面积为13642⨯= ①菱形OCED 的面积为3232⨯=． 【点睛】本题考查矩形的性质 菱形的判定 属于中考基础题 掌握矩形的性质和菱形的判定方法 正确推理论证是解题关键．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形 其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)AOB 是直角三角形 理由见解析．(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD == 再根据勾股定理的逆定理 即可得出结论（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形 即可求证．【详解】（1）解：AOB 是直角三角形 理由如下：①四边形ABCD 是平行四边形 ①142BO BD ==①222222345OA OB AB +=+==①AOB 是直角三角形．（2）证明：由（1）可得：AOB 是直角三角形①90AOB ∠=︒即AC BD ⊥①四边形ABCD 是平行四边形①四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 勾股定理的逆定理 菱形的判定 解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时 求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）直接证明()ASA AOB DOC ≌△△ 得出OA OD = 根据E F 分别是AO DO 的中点 即可得证（2）证明四边形BECF 是平行四边形 进而根据30A ∠=︒ 推导出BOE △是等边三角形 进而可得BC EF = 即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】（1）证明：在AOB 与DOC △中90ABO DCO OB OCAOB DOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA AOB DOC ≌△△①OA OD =又①E F 分别是AO DO 的中点①OE OF =（2）①OB OC OF OE ==，①四边形BECF 是平行四边形 22BC OB EF OE ==，①E 为AO 的中点 90∠=︒ABO①EB EO EA ==①30A ∠=︒①60BOE ∠=︒①BOE △是等边三角形①OB OE =①BC EF =①四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质与判定 矩形判定 熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线 且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析 (2)3【分析】（1）先证AD BC ∥ 再证AE FC 从而四边形AECF 是平行四边形 又AE AF = 于是四边形AECF 是菱形（2）连接AC 先求得60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒ 再证AC AB ⊥9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒= 3AB AC= 得3AB AC = 再证AE BE CE == 从而根据面积公式即可求得AC =43 【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ BAD BCD ∠∠=①BEA DAE ∠∠=①AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线①BAE DAE ∠∠==12BAD ∠ BCF ∠=12BCD ∠①DAE BCF BEA ∠∠∠==①AE FC①四边形AECF 是平行四边形①AE AF =①四边形AECF 是菱形（2）解：连接AC①AD BC ∥ 60ABC ∠=︒①180120BAD ABC ∠∠=︒-=︒①60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒①四边形AECF 是菱形①EAC ∠=1230DAE ∠=︒①90BAC BAE EAC ∠∠∠=+=︒①AC AB ⊥ 9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒=①AE CE = tan 30tan AB ACB AC ︒=∠=3AB AC= ①3AB AC = ①BAE ABC ∠∠=①AE BE CE ==①ABE 的面积等于43 ①211338322ABC S AC AB AC AC AC =⋅=== ①平行线AB 与DC 间的距离AC =43【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质 菱形的判定 角平分线的定义 等腰三角形的判定 三角函数的应用以及平行线间的距离 熟练掌握平行四边形的判定及性质 菱形的判定 角平分线的定义 等腰三角形的判定 三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点 过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时 连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状 并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形EBFD 为菱形 理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌即可（2）连接EB FD 根据DOE BOF ≌ 得出ED BF = 根据ED BF ∥ 证明四边形EBFD 为平行四边形 根据EF BD ⊥ 证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：①点O 为对角线BD 的中点①BO DO =①AD BC ∥①ODE OBF ∠=∠ OED OFB ∠=∠在DOE 和BOF 中ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS DOE BOF ≌（2）解：四边形EBFD 为菱形 理由如下：连接EB FD 如图所示：根据解析（1）可知 DOE BOF ≌①ED BF =①ED BF ∥①四边形EBFD 为平行四边形①l BD ⊥ 即EF BD ⊥①四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质 菱形的判定 平行线的性质 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F 连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析 (2)60︒【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE AF =．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出BAD ∠度数 再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出BAE ∠和DAF ∠度数 从而求出EAF ∠度数 证明了等边三角形AEF 即可求出AEF ∠的度数．【详解】（1）证明：菱形ABCD,AB AD B D ∴=∠=∠又,AE BC AF CD ⊥⊥90AEB AFD ∴∠=∠=︒．在AEB △和AFD △中AEB AFD B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≌．AE AF ∴=．（2）解：菱形ABCD180B BAD ∴∠+∠=︒=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒．又90,60AEB B ∠=︒∠=︒30BAE =∴∠︒．由（1）知ABE ADF ≌30BAE DAF ∴∠=∠=︒．120303060EAF ∴∠=︒-︒-︒=︒． =AE AFAEF ∴等边三角形．60AEF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等 菱形的性质 等边三角形的性质 解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点 且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹 不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状 并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形AEFD 是菱形 理由见解析【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出DAF AFE ∠=∠ 结合角平分线的定义可得EFA EAF ∠=∠，则AE EF = 然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）四边形AEFD 是菱形理由：①矩形ABCD 中 AD BC ∥①DAF AFE ∠=∠①AF 平分DAE ∠①DAF EAF ∠=∠①EFA EAF ∠=∠①AE EF =①AE AD =①AD EF =①AD EF ∥①四边形AEFD 是平行四边形又①AE AD =①平行四边形AEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线 矩形的性质 平行线的性质 等腰三角形的判定 平行四边形的判定以及菱形的判定等知识 熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上 连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析 (2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF = 30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥ 依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明（2）如图，在Rt ACB △中 由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC == 60ABC ∠=︒ 由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒ 再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD 最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△AC DF =∴ 30CAB FDE ∠=∠=︒AC DF ∥∴四边形AFDC 地平行四边形（2）如图，在Rt ACB △中 90ACB ∠=︒ 30CAB ∠=︒ 6cm BC212cm AB BC ∴== 60ABC ∠=︒四边形AFDC 是菱形AD ∴平分CDF ∠30CDA FDA ∴∠=∠=︒ABC CDA BCD ∠=∠+∠603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BCD CDA ∴∠=∠6cm BC BD ∴==18cm AD AB BD ∴=+=故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质 平行四边形的判定 菱形的性质 30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余 三角形外角及等角对等边 解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上 且AD BC = AE BF = CE DF =．。
矩形、菱形、正方形例题
矩形：1．在矩形中，对角线具有的性质是（ ） A ．相等且互相垂直B ．相等且互相平分C ．互相垂直且互相平分D ．互相垂直且平分内角2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。
A ．4B ．3C ．2D ．13.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2B ．4C．D．4.（2008山西太原）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。
5．如果矩形两条对角线所成的钝角为120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ） A ．3∶2B ．2∶1C ．4∶3D ．1∶16．已知矩形的周长是40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm ，则较大的边长为 cm ．7．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，E 为BC 中点，F 在AB 上，且BF ＝2AF ，则四边形AFEC 的面积为 ．8．如图10，在矩形ABCD 中，AD ＝30，AB ＝20，E 、F 三等分对角线AC ，则△ABE 的面积等于（ ） A ．60B ．100C ．150D ．2009．如图7，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于点E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ ） A ．15B ．14C ．13D ．31010.如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2B ．3C．D．ABCDO DCA B第14题11.(2008黑龙江黑河)如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2E F B E=，则AFC S =△ 2cm ． 12.（2008桂林市）如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡＢＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡＢＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 。
矩形菱形练习题及答案
矩形 【2 】.菱形常识考点：懂得并控制矩形的剖断与性质,并能应用所学常识解决有关问题. 精典例题：【例1】如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC.BD 订交于点O,AE ⊥BD,垂足为E,∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1,求∠EAC 的度数.剖析：本题充分应用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的根本图形进行求解. 解略,答案450.例1图E ODC BA例2图FE DCB A例3图【例2】如图,已知菱形ABCD 的边长为3,延伸AB 到点E,使BE ＝2AB,贯穿连接EC 并延伸交AD 的延伸线于点F,求AF 的长.剖析：本题应用菱形的性质,联合平行线分线段成比例的性质定理,可使问题得解. 解略,答案AF ＝4.5.【例3】如图,在矩形ABCD 中,M 是BC 上的一动点,DE ⊥AM,垂足为E,3AB ＝2BC,并且AB.BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根.（1）求k 的值;（2）当点M 分开点B 若干时,△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请解释来由. 剖析：用韦达定理树立线段AB.AC 与一元二次方程系数的关系,求出k . 略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ,AB ·BC ＝k 2,又由BC ＝23AB 可消去AB,得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ,解得1k ＝12,2k ＝31,因AB ＋BC ＝2-k ＞0,∴k ＞2,故2k ＝31应舍去. （2）当k ＝12时,AB ＋BC ＝10,AB ·BC ＝k 2＝24,因为AB ＜BC,所以AB ＝4,BC ＝6,由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM.易证△AED ∽△MBA 得MB AE ＝AMAD ,设AE ＝a 3,AM ＝a 4,则MB ＝22a ,而AB 2＋BM 2＝AM 2,故2421644a a =+,解得2a ＝2,MB ＝22a ＝4.即当MB ＝4时,DEM AED S S ∆∆=3.评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化,这类分解题既有几何证实中的剖析和推理,又有代数式的灵巧变换.盘算,其解题进程层次较多,步骤较庞杂,书写进程也要增强练习.摸索与创新：【问题一】如图,四边形ABCD 中,AB ＝6,BC ＝35-,CD ＝6,且∠ABC ＝1350,∠BCD ＝1200,你知道AD 的长吗？剖析：这个四边形是一个不规矩四边形,应将它补割为规矩四边形才便于求解. 略解：作AE ⊥CB 的延伸线于E,DF ⊥BC 的延伸线于F,再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350,∴∠ABE ＝450 ∴△ABE 是等腰直角三角形又∵AB ＝6,∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200,∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6,CF ＝3,DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8,FG ＝AE ＝3从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中,∠AGD ＝900∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情况,请你猜想四边形ABDE 是什问题一图GD问题二图么图形,并证实你的猜想.剖析与结论：本题依据题设并联合图形猜想该四边形是等腰梯形,应用对称及全等三角形的有关常识易证.跟踪练习：一.填空题：1.若矩形的对称中间到双方的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为.2.已知菱形的锐角是600,边长是20cm,则较短的对角线长是cm.3.如图,矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若AE ⊥BD 于E,且OE ∶OD ＝1∶2,AE ＝3cm,则DE ＝cm.4.如图,P 是矩形ABCD 内一点,PA ＝3,PD ＝4,PC ＝5,则PB ＝.5.如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝∠EAF ＝600,∠BAE ＝200,则∠CEF ＝.第3题图E O DC BA第4题图543P D CBA 第5题图FEBA二.选择题：6.在矩形ABCD 的各边AB.BC.CD.DA 上分离取点E.F.G.H,使EFGH 为矩形,则如许的矩形（ ）A.仅能作一个B.可以作四个C.一般情况下不可作D.可以作无限多个7.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝4cm,AD ＝12cm,P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 活动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从C 点动身,在CB 间往返活动,二点同时动身,待P 点到达D 点为止,在这段时光内,线段PQ 有（ ）次平行于AB. A.1 B.2 C.3 D.4••第7题图QPDCB第8题图GFE DCBA8.如图,已知矩形纸片ABCD 中,AD ＝9cm,AB ＝3cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分离是（ ） A.4cm.10cm B.5cm.10cmC.4cm.32cmD.5cm.32cm9.给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且对角线互相等分的四边形是矩形;④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.个中准确的命题有（ ） A.①②B.③④C.③D.①②③④10.平行四边形四个内角的等分线,假如能围成一个四边形,那么这个四边形必定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 三.解答题：11.如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延伸线交DC 的延伸线于点G,DE ⊥AG 于E,且DE ＝DC,依据上述前提,请在图中找出一对全等三角形,并证实你的结论.第11题图GFEDCBA第12题图 EBA第13题图C12.如图,在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的等分线AE 交CD 于F,EG ⊥AB 于G,求证：四边形GECF 是菱形.13.如图,以△ABC的三边为边在BC的统一侧分离作三个等边三角形,即△ABD.△BCE.△ACF.请答复下列问题（不请求证实）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC知足什么前提时,四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC知足什么前提时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失？跟踪练习参考答案一.填空题：3;5.2001.180;2.20cm;3.3;4.2提醒：4题过点P作矩形任一边的垂线,应用勾股定理求解;5题贯穿连接AC,证△ABE≌△ACF得AE＝AF,从而△AEF是等边三角形.二.DDBBA三.解答题：11.可证△DEA≌△ABF12.略证：AE等分∠BAC,且EG⊥AB,EC⊥AC,故EG＝EC,易得∠AEC＝∠CEF,∵CF ＝EC,EG＝CF,又因EG⊥AB,CD⊥AB,故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形,又因EG＝FG,故GECF是菱形.13.（1）平行四边形;（2）∠BAC＝1500;（3）当∠BAC＝600时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失.。
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1 如图，四边形ABCD 中，CD //AB ，AC 平分BAD ∠，AD //CE 交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．2.如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线BC MN //, 设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）说明EF OC 21=； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．3．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF ＝DC ，连结CF ． (1)求证：D 是BC 的中点；(2)如果AB ＝AC ，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．4．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．5．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD是对角线，过顶点C作BD•的平行线与AB的延长线相交于点E，求证：△ACE是等腰三角形．6．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED=1：3，AD=6cm，求AE的长．7．如图所示，M是ABCD的中点，且MB=MC，求证：ABCD是矩形．8．如图所示，在矩形ABCD中，F为BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG于点E，且DE=DC．根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．9．如图所示，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，且BE=CF，AF，DE相交于点M，•求证：AM=DM．10．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F•在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．11.如图所示,在菱形ABCD中,AC、BD相交于O,且AC∶BD=1∶3,若AB=2.求菱形ABCD的面积.12.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB 于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.13.如图,在一张长12 cm、宽5 cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？14．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．16．如图所示，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高DM的长．17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由．18．如图，已知O是矩形ABCD对角线BD的中点，过点O作BD•的垂线交DC于F，交AB于E，说明四边形DEBF的形状．19．如图所示，M、N分别是ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB．求证：四边形PMQN是矩形．19．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，求EF+BF的最小值．（提示：根据轴对称的性质）20．如图所示，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，•CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．21.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米／秒的速移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAＰC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论.22. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.23．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，并加以证明．结论：BF＝______．证明：24．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．(1)求证：△ABF ≌△EDF(2)若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．25．（6分）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．26．（06沈阳改编）如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，连接四边形ABCD的各边中点得到四边形A 1B 1C 1D 1；再连接四边形A 1B 1C 1D 1的各边中点得到四边形A 2B 2C 2D 2；……如此下去得到四边形A n B n C n D n 。
(1)求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形； (2)求四边形A 1B 1C 1D 1和A 2B 2C 2D 2的面积； (3)用含有n 的式子表示四边形A n B n C n D n 的面积； (4)求四边形A 5B 5C 5D 5的周长。
AB C DEF D ′AB CD1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2DEDCBA图12F27、（8分）已知：如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿试证明：这个多边形是菱形。
28、已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM ⊥AB ，EF ⊥AB ， ME ⊥AC ，DG ⊥AC ．求证：四边形MEND 是菱形．N MG F E D BA29．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上一点， AE=AB ，AB=2AD ，求∠EBC 的度数30如图5，矩形ABCD 的面积为5、1AO 为两邻边作平行四边形11O ABC ，平行四边形11O ABC AB 、2AO 为两邻边作平行四边形22O ABC ，……，依次类推，则平行四边形n n O ABC 的面积为 【 】（A ）n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 （B ）1215+⎪⎭⎫⎝⎛⨯n （C ） n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯215 （D ）1215-⎪⎭⎫⎝⎛⨯n31、（8分）如图12，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边的中点。
（1）求证：四边形BDEF 是菱形； （2）若AB=12cm ，求菱形BDEF 的周长。
ABCFE32、例已知四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O 。
现给出四个条件：①AC ⊥BD ，②AC 平分对角线BD ，③AD//BC ，④∠OAD=∠ODA 。
请你以其中的三个条件作为命题的假设，以“四边形ABCD 是菱形”作为命题的结论， （1）写出一个真命题，并证明；（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明。
33、如图19,在□ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻转180°，将得到△AB ´C⑴求证：以A 、C 、D 、B ´为顶点的四边形是矩形 ⑵若四边形ABCD 的面积S=12㎝2.求翻转原纸片重叠部分的面积S △ACE .34、已知：如图11所示,BD 是△ABC 的角平分线,EF 是BD 的垂直平分线,且交AB 于E,交BC 于点F.求证：四边形BFDE 是菱形.ABC EOB ＇图19FE DCBA35、（10分）如图， 三角形ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE //AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．请判断四边形ADCE 的形状，说明理由．36、（10分）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数． ．37 (10分)如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．⑴求证：△ABF ≌△ECF;ABCDOFE图11⑵若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．38．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为( )．(A)1(B)2 (C)2(D)339．如图，以△ABC 的各边向同侧作正△ABD ，BCF ，ACE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）当△ABC 是______三角形时，四边形AEFD 是菱形； （3）当∠BAC=_____时，四边形AEFD 是矩形；（4）当∠BAC=_______时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．（8分）40．（6分）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．DEABCDEF D ′40、（本题10分）把如图的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这个4个全等的直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙）把你的拼法按照实际大小画出。