九年级数学上册 图形变换与证明专题整理 北师大版1

24题图形变换中考题形整理一、河北近几年图形变换中考试题例1（2009河北）在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）（1）证明：∵四边形BCGF 和CDHN 都是正方形，又∵点N 与点G 重合，点M 与点C 重合，∴FB = BM = MG = MD = DH ，∠FBM =∠MDH = 90°． ∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ．∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM ⊥HM ． （2）证明：连接MB 、MD ，如图2，设FM 与AC 交于点P ． ∵B 、D 、M 分别是AC 、CE 、AE 的中点， ∴MD ∥BC ，且MD = BC = BF ；MB ∥CD ， 且MB =CD =DH ．∴四边形BCDM 是平行四边形． ∴ ∠CBM =∠CDM ．又∵∠FBP =∠HDC ，∴∠FBM =∠MDH ． ∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ， 且∠MFB =∠HMD ．∴∠FMH =∠FMD －∠HMD =∠APM －∠MFB =∠FBP = 90°． ∴△FMH 是等腰直角三角形． （3）是．例2（08河北）如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你图2 AH C DE BFG N MP认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=． 又AC BC ⊥ ，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=． 在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠= ，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．②如图3，延长BQ 交AP 于点M ．Rt Rt BCQ ACP △≌△，12∴∠=∠．在Rt BCQ △中，1390∠+∠=，又34∠=∠，241390∴∠+∠=∠+∠= ． 90QMA ∴∠= ．BQ AP ∴⊥．（3）成立．证明：①如图4，45EPF ∠= ，45CPQ ∴∠=． 又AC BC ⊥ ，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=． 在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠= ，CQ CP =， Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．②如图4，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．Rt Rt BCQ ACP △≌△，BQC APC ∴∠=∠．在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=，90APC PBN ∴∠+∠= ．90PNB ∴∠= ． QB AP ∴⊥．例3（07河北）在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）二、图形变换典型例题例4．用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。

现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。

将三角板绕点A逆时针方向旋转。

（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a）①猜想BE与CF的数量关系是__________________；②证明你猜想的结论。

（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b）,连结EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论。

证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE。

而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 。

所以∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE，∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 。

在△ADB和△ADC中，∠BAD＝∠CADAD＝AD∠ADB ＝∠ADC所以△ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。

例5（08义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．(1)①BG=DE ，BG ⊥DE …………………2分 ②BG=DE ，BG ⊥DE 仍然成立 …1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴BC=CD ，CG=CE ，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCG=∠DCE ………………………………1分∴△BCG ≌△DCE （SAS ）……………………………1分∴BG=DE ∠CBG=∠CDE又∵∠CBG+∠BHC=90° ∠BGC=∠DHO ∴∠CDE+∠DHO=90°∴∠DOH=90°∴BG ⊥DE …………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 ………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴BC CG bDC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆ …………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………1分 ∴22654BE DG +=……………………………………………1分 例6（08年黑龙江鸡西）正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证BM+DN=MN ． （1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图3图2图1NMN M M NA B C DA B CD BC D A解析 (1)如图17，把△AND 绕点A 顺时针90°，得到△ABE ，则有DN=BE,∠EAM= ∠MAN=45°.进而可证得：△AEM ≌△AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.(2) 线段BM,ND 和MN 之间存在MN = DN －MB.点评 平移、翻折和旋转是初中几何重要的三种变换方式，变换之后的几何图形与原图形对应的边、角均相等.巧妙的运用变换的基本性质或构造变换图形，均可以使题目的解答简易而顺畅.例7、（2009山东德州）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 答案： 解：（1）证明：在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG =12FD ．………… 1分同理，在Rt △DEF 中，EG =12FD ． ………………2分 ∴ CG =EG ．…………………3分 （2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………………………4分 证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ，∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG =CG ．………………………5分 在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ，∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG =NG在矩形AENM 中，AM =EN ． ……………6分 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵ AM =EN ， MG =NG ， ∴ △AMG ≌△ENG ． ∴ AG =EG ．FB A D CEG第6题图①FBADCEG第6题图②FBACE第6题图③F B A D C E GM N N 图 ②（一）∴ EG =CG ． ……………………………8分证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ． ∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ．∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，∵ MF =CB ，EF =BE ，∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴ △MEC 为直角三角形． ∵ MG = CG ， ∴ EG =21MC ． ∴ EG CG =．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分例8（江苏盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC ＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．例9.（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世FBADCE图③GF B A D C EG M图 ②（二） ABCDEF第28题图图甲图乙 FEDC BAF ED CB A图丙界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】. 解:⑴图10（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10, ∴AC=30在Rt △ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40 ∴ BP=24022=+BC CP S 1=10240+⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA′垂足为C ，则A′C=50， 又BC=40∴BA'=4110504022=+ 由轴对称知：PA=PA' ∴S 2=BA'=4110 ∴1S ﹥2S(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S 2=BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'， 连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'=5505010022=+ ∴所求四边形的周长为55050+PXBAQYB'A'例10（2009年益阳市）如图11，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.【关键词】轴对称【答案】(1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF . ∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠FAC ，又∠BAC ＝45°， ∴∠EAF ＝90°. 又∵AD ⊥BC∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90°. 又∵AE ＝AD ，AF ＝AD∴AE ＝AF .∴四边形AEGF 是正方形.(2)解：设AD ＝x ，则AE ＝EG ＝GF ＝x . ∵BD ＝2，DC ＝3 ∴BE ＝2 ，CF ＝3 ∴BG ＝x －2，CG ＝x －3. 在Rt △BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2∴( x －2)2＋(x －3)2＝52. 化简得，x 2－5x －6＝0解得x 1＝6，x 2＝－1（舍） 所以AD ＝x ＝6例11．（2009年牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【关键词】旋转【答案】解：图2成立；图3不成立． 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°再证MDE NDF DM DN ∠=∠=， 有DME DNF △≌△DME DNF S S ∴=△△DEF CEF DMCN DECF S S S S ∴==+△△四边形四边形 由信息可知12ABC DMCN S S =△四边形 AE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F图2ADBCE M NF12DEF CEF ABC S S S ∴+=△△△ 图3不成立，DEF CEF ABC S S S △△△、、的关系是：12DEF CEF ABC S S S -=△△△例12（2009东营）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）【关键词】正方形与旋转【答案】解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点， ∴ CG= FD ．同理，在Rt △DEF 中， EG= FD ． ∴ CG=EG ．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ， ∴ △DAG ≌△DCG ． ∴ AG=CG ． 在△DMG 与△FNG 中，FB ADC E G第24题图①FBADCEG第24题图②DFBACE第24题图③∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴△MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．∴．（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．用心爱心专心。