2007-2019新课标理 - 极坐标参数方程--有答案教师版

4
又
OA
2,
所以△ABC面积的最大值为
1 2
23
(
2
3) 2
3
2
A
1
10
8
6
4
2
O
1
2
2
4
B
22.
在直角坐标系xOy中,
直线l1的参数方程为
x y
2 kt
t
(t为
x 2 m 2017新课标Ⅲ理
参数 ),
直线l2的参数方程为
y
m k
( m为参数 ).设l1与l2
的交点为P,当k变化时, P的轨迹为曲线C .
2019新课标Ⅱ理
(1)因为M(0 ,0 )在C上,当0
3
时6 ,
0
4 sin
3
2
3.
OP
OA cos
2, 设Q(, )为l上除5 点P的任意一点,
3
4
在Rt△OPQ中, cos
3
OP
3
2,
M
经检验, 点P
2,
3
在曲线
cos
2
1
3
P
2上,
Q
所以8,
l的极坐6 标方程4为
cos2
4 3
x
2
22.
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x y
2 4
cos , sin ,
(
为参数
),
直线l的参数方程为
x y
1 2
t t
cos sin
, ,
(t为参数
)
(1) 求C和l的直角坐标方程;
2018新课标Ⅱ理
(2) 若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1, 2),求l的
斜率.
距离d
3x 2
y
,所以S△OAB
1 2
2d
3x y 2
又因为B点坐标满足( x
2)2
y2
5
4,由柯西不等式得
( x
2)2
y2
2
3
(1)2
4
2
3( x 2) 3 y
即 4 3( x 2) y 4,
即 4 2 3 3x y 4 2 3
10
8
所以S△OAB
3 x 6 y
4
2
22 3 2
4cos
π 3
11
7
7
当
2π 3
时,
4 cos
π 3
11取得最小值7,
故C上的点到l的距离的最小值为 7.
22. 在极坐标系中, O为极点,点M(0 ,0 ) (0 0)在曲线
C : 4sin上, 直线l过点A(4, 0)且与OM垂直,垂足为P
(1) 当0
3
,
求0及l的极坐标方程;
(2) 若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
(1)由x cos , y sin , 得C2的直角坐标方程为
( x 1)2 y2 4.
(2)由(1)可知曲线C2是以A(1, 0)为圆心,半径为2的圆. 由题意可知C1是以B(0, 2)为顶点的关于y轴对称的两条 射线. 而之下与圆的交点个数只能为0,1, 2三种,
(2)
法二：将
ρ cos θ ρ sin θ
x y
代入l3
:
ρ cos θ
sin θ
2 0,
可得l3 : x y 2
32
联立方程
x
2
y2
4
x
y
2
2
x
2
x y 2 x y 2
故M的直角坐标为
3
2 2
,
2 2
,所以
y
2 2
16 y2 16 x2
x2 y2 16,
因为x 0,化简得 : x2 y2 4x( x 0)
(2)
设点A的极坐标为(2,
π 3
),
点B在曲线C2上,
求△OAB面积
的最大值.
(2) 解法1：由(1)知曲线C2的极坐标方程为ρ 4cosθ,故可设
B点的坐标为(4 cos θ , θ ) 5
(1 3cos2 )t2 4(2cos sin )t 8 0 ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1, 2)在C内,所以① 有两个解, 设为t1, t2 , 则t1 t2 0.
又由①, 得t1
t2
4(2cos sin ) 1 3cos2
, 故 2 cos
sin
0
于是直线l的斜率k tan 2
1
π
S△OAB
2 4cosθ 2
sin( 3
θ)
2
3 co4 sθ2 2sin θ cos θ
3 cos 2θ sin 2θ 3 2sin(2θ π ) 3
3
3
2
A
1
由
10
π
2
θ
π8
2
6
, 得S△OAB
4
2
3,
2
O
1
2
4
即最大值为2 3
B
2
(2) 解法2：在直角坐标系中, A点的坐标为(1, 3), 直线OA的 方程为 3x y 0,设点B的坐标为( x, y),则点B到直线OA的
3
O
2.
2
4A
(2) 当M 在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极 坐标方程.
(2) 设P(, ), 在Rt△OAP中, OP OA cos 4cos ,
即 4cos .
因为P在线段OM上,
且AP
OM
, 故6的取值范围是
4
,
2
所以P点轨迹的极坐标方程为 5
4cos ,
22.
在直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为
x y
cos sin
(为参数),过点(0, 2), 且倾斜角为的直线l与⊙O交
于A, B两点. (2) 求AB的中点P的轨迹的参数方程.
2018新课标Ⅲ理
(2)
l的参数方程为
x
y
t cos
2
t
sin
(t为参数,
π 4
3π )
4
设A, B, P对应的参数分别为tA , tB , tP , 则tP
tA
2
tB
,
且tA , tB满足t 2 2 2t sin 1 0,
于是tA tB 2 2 sin , tP 2 sin
又点P的坐标(
x,
y)满足
x
tP
cos
y 2 tP sin
所以点P的轨迹的参数方程是
x
2 sin 2
2
y
2 2
2 cos 2
2
(为参数, π 3π )
所以两条射线所在直线与圆位置关系只能是一个相切,
一个相交．设过B(0, 2)与圆相切的直线方程为y kx 2,
则 k 2 2 k 0, k 4 ,
1 k2
3
当k 0时,曲线C1的方程为y 2,
B
与圆只有一个交点, 故舍去.
当k
4 3
时,曲线C1, A
O
与圆有且只有三个交点, 故曲线C1的方程为y
3
6
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选 一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y k x 2.以 坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为 2 2
(1) 求C2的直角坐标方程;
cos
3
0. 2018新课标Ⅰ理
x
1
t
2
y
1
4t t2
(t为参数).以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极
坐标系, 直线l的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0.
(1) 求C和l的直角坐标方程;
2019新课标Ⅰ理
(1)因为 1
1 1
t2 t2
≤1, 且x2
y 2
2
1 t2
1
t
2
2
4t 2 (1 t 2 )2
则点P到直线l的距离d 3cos 4sin 4 a
17
5sin 4 a ,其中tan 3
17
4
max 1 a , 9 a
依题意, 得dmax
17, 17
解得 : a 16或a 8
22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点, x轴正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ 4.
(1) 写出C的普通方程;
(1)
直线l1
:
y
k( x 2),直线l2
:
y
x2 k
联立l1 , l2的方程,消去参数k,可得 : x2 y2 4
当y 0时,m 0,t 0,此时两直线没有交点,所以曲线C的 普通方程为 : x2 y2 4 ( y 0)
(2) 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
求P的极坐标. (2) 设P( , ),由题设及(1)可知
若0 ≤ ≤ , 则2cos 3, 解得 ;
4
6
若 ≤ ≤ 3 , 则2sin 3, 解得 或 2 ;
4
4
3
3
若 3 ≤ ≤ , 则 2cos 3, 解得 5
4
6
综上, P点的极坐标为
(
3, )或(
3, )
6
3
或( 3, 2 )或( 3, 5 )
4
4
22.
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为