【精品课件】3.3.2简单线性规划问题
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课件8：3.3.2 简单的线性规划问题
解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
x＋y≤10， 由题意知x0≥.30x，＋0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即
可行域．
作直线 l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l0 的一组直线 x＋0.5y ＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点且与直线 x＋0.5y＝0 的距离最大，这里 M 点是直线 x＋y＝ 10 和 0.3x＋0.1y＝1.8 的交点． 解方程组x0＋.3xy＋＝01.01，y＝1.8， 得xy＝＝46，，
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品 x kg、y kg，利润 z 万元，
9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， 则依题意可得约束条件：3x＋10y≤300， x≥0， y≥0.
利润目标函数为 z＝7x＋12y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．
作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直 线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．
【答案】6
9 5
题型三 线性规划的实际应用 例3：某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损 率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要 求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两 个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解方程组x7＋x＋2y1＝0y3＝，17， 得 M(1,1)． 故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
2x＋y≥4， 变式训练 1：设 x，y 满足x－y≥－1， 则 z＝x＋y( )
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
3.3.2简单的线性规划问题ppt
2
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
2
4
6
8
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日 生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所 安排的生产任务x,y才有意义。
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
三、例题 例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
工厂的厂长，你将会面对 1 4 0 生产安排、资源利用、人 力调配的问题 …… 4 2 0
x, y 0
作出约束条件所表示的平面区域，如图所示
设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件，
3.3.2 简单的线性规划问题 课件
3.3.2
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
3.3.2简单的线性规划问题课件
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 12x＋8y≥64， ＋ ≥ ， ＋ ≥ ， 6x＋6y≥42， ＋ ≥ ， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 3x＋2y≥16， ＋ ≥ ， 即 ＋ ≥ ， x＋y≥7， ＋ ≥ 3x＋5y≥27.
作出
可行域如图， 可行域如图，
x－y＋2≥0， － ＋ ≥ ， － ＋ ≤ ， 束条件x－5y＋10≤0， ＋ － ≤ ， x＋y－8≤0，
的最大值和最小值分别为( 的最大值和最小值分别为( A．3，－ ，－11 ． ，－ C．11，－ ，－3 ． ，－
【思路点拨】 思路点拨】
解答本题可先画出可行域， 解答本题可先画出可行域，再平
1.(2010 ⋅ 吉林联考)若点(1,3) 和(−4， 2) 在直线 − 2x + y + m = 0的两侧，则m的取值范围是( C B. m = −5或m = 10 D. − 5 ≤ m ≤ 10 10 A. m < −5或m > 10 C. − 5 < m < 10
)
解析：由已知两点在直线的两侧， 即( m + 5)( m − 10) < 0，所以 − 5 < m < 10，选C. 则( 2 + 3 + m )( −8 − 2 + m ) < 0，
让目标函数表示直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移， ＋ ＝ 在可行域上平移 在可行域上平移， 让目标函数表示直线 由此可知z＝ 处取得最小值． 由此可知 ＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． ＋ 在 处取得最小值 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和 个单 个单位的午餐和3个单 因此，应当为该儿童预订 个单位的午餐和 位的晚餐，就可满足要求． 位的晚餐，就可满足要求．
课件3：3.3.2 简单的线性规划问题
最优解
M
y=3
x
x +2y-8=0
线性规划问题
有关概念
约束条件：由x、y的不等式（方程）构成的不等式组. 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等 式或方程. 目标函数：欲求最值的关于x、y的解析式. 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次 解析式.
有关概念
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）. 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值. 可行域：所有可行解组成的集合. 最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解.
截距
z 3
最大,即z最大.
解方程组
x x
2y 4
8
0得
所以 zmax 2 x 3 y 14
M 4,2
答:每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获最大 利润14万元.
认识名词
x 2y 8
44
x y
16 12
x
0
线性目标 y 0
函数
z 2x 3y
可行解
y
N O
可行域
x=4
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 ,x∈N y≥0 ,y∈N 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
y
调整优值法
15
目标函数z= x+y x+y =0
10 B(3,9)
8
C(4,8)
A(18/5,39/5)
6
4
2
0
2
4
可行域中的整点（5，2）使z =320x+504y取得最小值，
M
y=3
x
x +2y-8=0
线性规划问题
有关概念
约束条件：由x、y的不等式（方程）构成的不等式组. 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等 式或方程. 目标函数：欲求最值的关于x、y的解析式. 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次 解析式.
有关概念
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）. 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值. 可行域：所有可行解组成的集合. 最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解.
截距
z 3
最大,即z最大.
解方程组
x x
2y 4
8
0得
所以 zmax 2 x 3 y 14
M 4,2
答:每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获最大 利润14万元.
认识名词
x 2y 8
44
x y
16 12
x
0
线性目标 y 0
函数
z 2x 3y
可行解
y
N O
可行域
x=4
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 ,x∈N y≥0 ,y∈N 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
y
调整优值法
15
目标函数z= x+y x+y =0
10 B(3,9)
8
C(4,8)
A(18/5,39/5)
6
4
2
0
2
4
可行域中的整点（5，2）使z =320x+504y取得最小值，
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
3.32简单的线性规划问题课件人教新课标
1 -1 O
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
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三、例题 例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求， 同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少 kg？
M点是两条直线的交点天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元。
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型 钢板类型
A规格 2 1
5x＋3y 15 y x＋1 x－5y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋ y 1 y －1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
线性约束条件
转化 转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
图 解 法
最优解
四个步骤：
寻找平行线组的 最大（小）纵截距
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 X张 第二种钢板 y张
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所 用钢板张数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
zmax 2 3 3 11
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条 件。 把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为 它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
的直线 l 2
2 1 B • • 注意：直线取最大截距 时，等价于 1 z 2 -1 O 1 取得最大值，则z取 得最小值 l 0 l -1 22 39 2 z min 1 2 5 5 同理，当直线取最小截距时，z有最大值
A
x-4y+3=0
3x+5y-25=0 2
3
4
5
6
7
x
zmax 5 2 2 1
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000 元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
4 N（2，3） 3
4
0
x 8 1 y x4 2
1 z y x 3 3
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。 容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3
y
故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o
练习：
1.如图所示，已知 ΔABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B( 1, 2) , C (1, 0), 点 P(x, y) 在 ΔABC 内部及边界运动， 请你探究并讨论以下问题： ① z x y ②
{
打网格线法
15
B(3,9)
C(4,8)
目标函数t = x+y
9
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
x 78
2x+y=15
18
27
作出一组平行直线t = x+y， 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解 ，
x+2y=18 x+3y=27
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
4.若实数x,y满足 x 4 y 3 求z=x-2y的最大值、最小 3 x 5 y 25 值
1 1 y x z 6 2 2 把z看成参数，同样是一组平行
x 1y 分析：目标函数变形为
x=1
线，且平行线与可行域有交点。 5 • 22 最大截距为过C (1, ) C• 4 5 的直线 l1 3 l 最小截距为过A(5,2) 1
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
0.105x＋0.10 y 0.075 7 x 7 y 5 0.07x＋0.14 y 0.06 7 x 14 y 6 0.14x 0.07 y 0.06 14x 7 y 6 x 0 x 0 y 0 y 0
2.解：作出平面区域
y
A o C x
5 x＋ 3 y 15 y x＋ 1 x－ 5 y 3
z＝3x＋5y
B
作出直线3x＋5y ＝z 的 图像，可知直线经过A点时， 求得A（1.5，2.5）， B（－2，－1），则 Z取最大值；直线经过B点 Zmax=17，Zmin=－11。 时，Z取最小值。
z 28 是直线在y轴上
5/7
M
3/7
如图可见，当直线 z＝28x＋21y 经过可 行域上的点M时，截距 最小，即z最小。
o
3/7
5/7
6/7 x
7 x 7 y 5 14x 7 y 6 x 得M点的坐标为： y
所以zmin＝28x＋21y＝16
C
5
2.作出下列不 等式组的所表 示的平面区域
x-4y+3=0
A
B
O
1 5 x=1
x
3x+5y-25=0
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1
问题1：x 有无最大（小）值？ 问题2：y 有无最大（小）值？ 问题3：2x+y 有无最大（小）值？
【引例】： 某工厂用A、B两种配 件生产甲、乙两种产 品，每生产一件甲产 品使用4个A配件并耗 时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件并 耗时2h，该厂每天最 多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件， 按每天工作8h计算， 该厂所有可能的日生 产安排是什么？
当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最大值,即可得z的最大值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值. y
x 2y 8 4 4 x 16 3 M（4，2） x 8 4 4 y 12 1 y x4 0 x 0 2 2 z y 0 y x 3 3 Zmax 4 2 2 3 14
目标函数为：z＝28x＋21y
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z， 那么
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
随z变化的一组平行直 6/7 y 线系
4 z 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y x 3 28 4 它表示斜率为 3
的截距，当截距最 小时，z的值最小。
在____处有最大值___， A 6 在____处有最小值___； BC 1 在____处有最大值___， C 1 在____处有最小值___； B -3
y
A (2 , 4)
z xy
B
(1, 2)
0
C (1, 0)
x
2、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件： y x x＋ y 1 y －1 3、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
4
【进一步】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
2
M ( 4 ,2 )
2
4
6
8
2 z z y 2 x 3 y x 3 3
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述二元一次不等式组且为非负整 数时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图）
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N
y
15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y，
10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8