湖南省岳阳市华容县第一中学2017届高三上学期第二次月考数学(文)试题含答案

12
.13A 12.13B -5.13C 5.13
D -2016年下学期华容一中高三年级第二次月考
数学试卷（文科）
时值：120分钟 满分：150分
一、选择填空题：（每小题5分，共计60分）
1．已知集合A={x|y=lnx}，集合B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（ ）
A ．（1，2）
B ．{1，2}
C ．{﹣1，﹣2}
D ．（0，+∞）
2．有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若x 2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”
B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C ．对于命题p ：∂x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0．则¬p：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0
D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题
3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．f （x ）
= B ．f （x ）
=
C ．f （x ）=2﹣x ﹣2x
D ．f （x ）=﹣tanx 4．已知△ABC 中，a=4，
b=4，A=30°，则B 等于（ ）
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
5．给出下列命题：
①若()f x 在区间(),a b 上是增函数，都有'()0f x >
②若()f x 在区间(),a b 上可导，则()f x 必为(),a b 上的单调函数
③若对任意(),x a b ∈，都有'()0f x >，则()f x 在(),a b 上是增函数
④若可导函数()f x 在区间(),a b 上有'()0f x <，则()f x 区间(),a b 上有()0f x < 其中真命题的序号是( )
A ．①②
B ． ①③
C ． ③
D ．②④
6．若 则 （ ）
()0sin 55α+=()012sin 125,13α-=
7．“对任意x ，ksinxcosx ＜x”是“k＜1”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．设0<θ<π2
，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ， 则tan θ＝( )
A ．12
B ．－43
C ．－2
D ．1 9．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )
A ．－200
B ．－100
C ．200
D ．100 10．函数f （x ）=2x |log 0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意的x ∈，关于x 的不等式f （x 2+a ）＞a 2f （x ）恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，2]
B ．（0，4]
C ．（0，+∞）
D ．时，求函数f （x ）的值域．
19．（12分）在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.
(1)求|AB →－AC →|；
(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值．
20．（12分）已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)求数列{b n }的前n 项和．
21．（13分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设CD=2x （米），将y 表示成x 的函数关系式；
②设∠BOC=θ（rad ），将y 表示成θ的函数关系式．
（Ⅱ）求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．
22．（13分）已知函数f （x ）=lnx ﹣mx+m ，m ∈R ．
（1）已知函数f （x ）在点（l ，f （1））处与x 轴相切，求实数m 的值；
（2）求函数f （x ）的单调区间；
（3）在（1）的结论下，对于任意的0＜a ＜b ，证明：＜﹣1．
答案
1~12 BDCDCA BADBBC
12.【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2，∴f（x）=，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），
∵不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax）在x∈恒成立，
∴x2+a＞ax在x∈恒成立，
令g（x）=x2﹣ax+a，函数的对称轴为x=，
当，即a＞2时，不等式恒成立，可得g（a﹣1）=（a﹣1）2﹣a（a﹣1）+a=1＞0，恒成立；
当，即﹣2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g（）=（）2﹣a（）+a＞0恒成立，
解得a∈（0，2]；
当，即a＜﹣2时，不等式恒成立，可得g（a+1）=（a+1）2﹣a（a+1）+a=2a+1＞0不恒成立；
综上：a＞0．
故选：C．
13、6.4 14、[15、 0 ,21 16、①②④
17、解：（1）由已知得：A={x|m﹣2≤x≤m+2}．B={x|﹣1≤x≤3}，
∵A∩B=，
∴，
∴，
∴m=2．
（2）∵q是¬p的充分条件，
∴B⊆∁R A，而∁R A={x|x＜m﹣2或x＞m+2}，
∴m ﹣2＞3或m+2＜﹣1，
∴m ＞5或m ＜﹣3．
∴实数m 的取值范围为m ＞5或m ＜﹣3．
18、（Ⅰ）△ABC 中，∵
，
∴
，∵C=π﹣（A+B ），
∴=，
∴，∵0＜A ＜π，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
=
， ∴λ﹣3=2，从而λ=5，
∴
，
从而，
∴，∴．
当时，，
∴
，
从而，
∴f （x ）的值域为
． 19、解 (1)由AD →＝511
DB →，且A ，B ，D 三点共线， 可知|AD →|＝511
|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11. 在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2
＝75，
在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，
所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.
(2)由(1)知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|CB →|＝14，
在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝|AC →|2＋|AB →|2－|CB →|22|AB →|·|AC →|
＝12. 由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，
知k ＝x ·y ＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)
＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2
＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12
＋100t ＝80t 2＋356t ＋80.
由二次函数的图象，可知该函数在'=（sin θ）'+（sin θ•cos θ）'=cos θ+cos 2θ﹣sin 2θ=2cos 2θ+cos θ﹣1，
令y'=0，
∴2cos 2θ+cos θ﹣1=0，解得，即，cos θ=﹣1（舍），
∵当
时，y'＞0，则函数y 在上单调递增，
当
时，y'＜0，则函数y 在上单调递减，
∴当时，，
22、 【解答】（1）解：由f （x ）=lnx ﹣mx+m ，得
． ∵f （x ）在点（l ，f （1））处与x 轴相切，
∴f′（1）=1﹣m=0，即m=1；
（2）解：∵
．
当m ≤0时，，知函数f （x ）在（0，+∞）递增；
当m ＞0时，，由f′（x ）＞0，得，
由f′（x ）＞0，得
．
即函数f （x ）在上递增，在上递减；
（3）证明：由（1）知m=1，得f （x ）=lnx ﹣x+1，
对于任意的0＜a＜b，＜﹣1可化为
，其中0＜a＜b，
⇔，其中0＜a＜b，
⇔⇔lnt﹣t+1＜0，t＞1，即f（t）＜0，t＞1．
由（2）知，函数f（x）在（1，+∞）递减，且f（1）=0，于是上式成立．
故对于任意的0＜a＜b，成立．。