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第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第十二章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
一、常数项级数的概念
引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正

(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 dx 1 n 1 x p (n 1) p1 n p 1 p 1
的敛散性. 证: 将级数 的部分和为
n 1
un 的前 k 项去掉,
n

所得新级数
n uk l S k n S k
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
a
q 1 时, 等比级数发散 .
例 判别无穷级数 22 n 31 n 的收敛性.
n 1
4 公比 q , 3
| q | 1,
原级数发散.
例
解
试把循环小数 2.317 2.3171717 表示成
2.317 2.3 17 17 17 3 5 7 10 10 10
第十二章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .

Sn uk , 正项级数部分和{Sn}数列为单调递增数列 .
对于一般级数 u n 收敛
例.判断级数的敛散性:
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
小结（审敛法）
1、特殊级数法:等比级数,P 级数( p 1调和级数)
2、必要条件:若 lim un 0, 则级数 un发散
n
3、基本性质:
n 1
性质1. 级数
与级数

(c为 非零常数)同敛散
n 1 n 1
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如， 1) (1 1) 0 , 但 (1
发散.
lim Sn S 存在
部分和序列
故有界.
定理2 (比较审敛法) 设 且
(1) 若强级数 (2) 若弱级数 证:
是两个正项级数,
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也收敛 ;
也发散 .
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数
收敛, 则有
所以强级数的部分和数列 由定理 1 可知, 弱级数
性质2. 收敛级数S
也收敛 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质4. 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散 性质5: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
4、定义法: un收敛 lim sn 存在
n 1 n
n 1
un , vn 的和 ( un vn )
有界, 即： 也收敛 .
即弱级数的部分和数列{Sn}有界,
(2) 若弱级数
因此 证:
发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数
收敛, 则有
定理2 (比较审敛法) 设 且
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
是两个正项级数,
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示

这个和逼近于圆的面积 A .
即
给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 定义： 次相加, 简记为 u n , 即
n 1
这个和逼近于圆的面积 A .
即
给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 定义： 次相加, 简记为 u n , 即
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn

由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1

说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
n 1

但若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1) 2n , vn (1) 2 n 1 ,
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则称无穷级数
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 .
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然 级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
则称无穷级数
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
1 1 ( n ） 1 n 1 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
矛盾! 所以假设不真 .
n 1
k 1
n
n 1

lim Sn S 存在
n
定理 1. 正项级数 有界 . 证: ― ‖ 若
收敛
部分和序列
收敛 ,
故有界.
一、正项级数及其审敛法
― 又已知 ‖ 有界, 故
n 1
∴部分和数列
收敛 , 从而
n
单调递增,
也收敛.
对于一般级数 u n 收敛 定理 1. 正项级数 有界 . 证: ― ‖ 若 收敛 , 收敛
( q 称为公比 ) 的敛散性.
2). 若 则 因此级数发散 ; 级数成为
因此 从而
a, Sn 0,
n 为奇数 n 为偶数
不存在 , 因此级数发散.
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性. 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛于 1 q ;
也收敛 ;
也发散 .
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(常数 k > 0 )
定理2 (比较审敛法) 设 且
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
是两个正项级数,
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也收敛 ;
也发散 .
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
三、级数收敛的必要条件（性质5）
设收敛级数 证: un S n S n 1 则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0,因此这个级数发散.
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性. 当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要的参考级数: 几何级数, p-级数, 调和级数. 若存在 N N , 对一切 n N ,
例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1) 2

1 发散 k 2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;