2019高考数学(理科)大题规范练二Word版含解析

大题规范练二
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本题满分12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋ 3.
(1)求A 的大小；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．
解：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①， ∵3A ＝2A ＋A ，
∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②， 又sin 2A ＝2sin A cos A ③，cos 2A ＝2cos 2A －1 ④，
将①②③④代入已知，得2sin 2A cos A ＋ 3 cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝3
2， 又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2， ∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π
3
.
(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π
3－B ，
∵△ABC 为锐角三角形， ∴2π
3－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 解得B ∈⎝⎛⎭⎫
π6，π2，
在△ABC 中，由正弦定理得
2sin B ＝c
sin C
， ∴(sin 2 A cos A －cos 2 A sin A )＋3cos A ＝ 3 ∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π
3－B sin B ＝3
tan B
＋1，
又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1，4)， ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝⎛⎭
⎫3
2，23.
2．(本题满分12分)光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性
及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点．在某县居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．
学期望；
(2)在总结试点经验的基础上，将村级光伏发电站确定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8 元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度，试估计该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
解：(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )＝7＋8＋1550＝35
，
由题意可知X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎫10，35，故X 的数学期望E (X )＝10×3
5＝6. (2)设该村居民每户的平均用电量为E (Y )，由样本数据可得
E (Y )＝100×750＋300×850＋500×1550＋700×1350＋900×7
50＝520，则该村年均用电量约为
300×520＝156 000度．
又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，所以该发电机组每年所发电量除保证该村的正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144 000×0.8＝115 200元．
3．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离
心率为
3
2
，点A 是椭圆上任意一点，△AF 1F 2的周长为4＋2 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点Q (－4，0)任作一动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ →＝λQN →
，若在线段MN 上取一点R ，使得MR →＝－λRN →
，则当直线l 转动时，点R 在某一定直线上运动，求该定直线的方程．
解：(1)因为△AF 1F 2的周长为4＋23， 所以2a ＋2c ＝4＋23，即a ＋c ＝2＋ 3. 又椭圆的离心率e ＝c a ＝3
2，所以a ＝2，c ＝3，
所以b 2＝a 2－c 2＝1.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率必存在．
故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2＝1，y ＝k （x ＋4），消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋32k 2x ＋64k 2－4＝0，
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋1，x 1x 2＝64k 2－44k 2＋1，
由MQ →＝λQN →
，得(－4－x 1，－y 1)＝λ(4＋x 2，y 2)， 所以－4－x 1＝λ(x 2＋4)， 所以λ＝－x 1＋4
x 2＋4
.
设点R 的坐标为(x 0，y 0)，
由MR →＝－λRN →
，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝－λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，
所以x 0－x 1＝－λ(x 2－x 0)，
解得x 0＝x 1－λx 21－λ＝x 1＋
x 1＋4
x 2＋4×x 2
1＋
x 1＋4x 2＋4
＝2x 1x 2＋4（x 1＋x 2）
（x 1＋x 2）＋8
.
而2x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＝2×64k 2－44k 2＋1＋4×－32k 24k 2＋1＝－8
4k 2＋1，
(x 1＋x 2)＋8＝－32k 24k 2＋1＋8＝8
4k 2＋1，
所以x 0＝－1.
故点R 在定直线x ＝－1上．
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋1
2t ，
y ＝32t
(t 为参数)．在以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫
π4＋θ.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求|MN |的值． 解：(1)易得直线l 的普通方程为3x －y －3＝0. ∵ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫
π4＋θ＝2(cos θ－sin θ)， ∴ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，
∴x 2＋y 2＝2(x －y )，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2， ∴曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋3t －1＝0， 此方程的两根分别为直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数t M ，t N . ∵t M ＋t N ＝－3，t M t N ＝－1，
∴|MN |＝|t M －t N |＝
（t M ＋t N ）2－4t M t N ＝7.
5．(本题满分10分)已知f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )＜2的解集；
(2)若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －2|成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＜2等价于
⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－（2x ＋3）＋（2x －1）＜2或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，（2x ＋3）＋（2x －1）＜2 或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞12，（2x ＋3）－（2x －1）＜2，解得x ＜－32或－32
≤x ＜0，
所以不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0)． (2)∵f (x )≤|(2x ＋3)－(2x －1)|＝4，∴f (x )max ＝4， ∴|3a －2|＜4，解得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2
3，2.。